Quelques questions en MQ sur le cohen tanoudji

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je suis entrain de lire le Cohen Tanoudji tome I et j'aurai diverses questions sur le cours que je poserait au fur et à mesure dans ce post.

Première question :

A la page 100 du livre, il est écrit :

Si un ensemble orthonormé {ui} vérifie :



Alors il forme une base orthonormée.

Je suis d'accord avec ceci mais je ne comprends pas en quoi l'hypothèse ensemble orthonormé est nécessaire.

En effet, soit une fonction d'onde

Je peux écrire :


Donc :



On voit bien que ma fonction d'onde se décompose sur les ui que j'ai supposé l'ensemble orthonormé ou non ?

Pourriez vous me dire là où je fais un oubli ?

Merci.
-----

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

J'aurai une autre question, beaucoup plus basique :

L'opérateur impulsion en tant qu'observable doit être hermitien.

Or :



On voit bien que si on conjugue, on a p_x=-p_x

Donc l'opérateur n'est pas hermitien.

Où fais-je une erreur ?

Est-ce parce que en faisant ceci je ne prend juste le conjugué et je ne fais pas l'analogue de la transposition des matrices pour cet opérateur ?

Merci.

[invite5b57d6ff]

Bonjour,

pour répondre à ta première question tu as bien raison, n'importe quel ensemble qui vérifie la première condition est bien une base. Içi si elle est orthonormée c'est uniquement parce que c'est une hypothèse initiale. Le but était juste de prouver que ça forme une base.

Ensuite pour la seconde question, ca n'est pas tellement le problème de ne pas transposer l'opérateur, mais surtout de ne pas conjuguer l'opérateur dérivation. En fait cet opérateur s'appliquant à des fonctions d'ondes complexes, la dérivation produit un facteur i supplémentaire (comme en électricité ou en asservissement linéaire, où i dérive et 1/i intégre). le produit de h/i et de d/dx est donc un réel, et son conjugué est invariant.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Ok pour la première question.

Pour la seconde je vois ce que vous voulez dire.

En gros on peut dire ceci :



Avec A un opérateur hermitien.

Donc quand je conjugue toute l'expression j'ai ceci :



Mais comment peut on montrer facilement que d/dx <=> i*A avec A hermitien ?

Je vois bien qu'en dérivant par rapport à x on fait sortir un i (cf la décomposition avec la TF inverse), mais rien ne me dit que la TF du p*psi(p) est hermitienne ?

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

J'ai une autre question :

Si on a A hermitien, alors la mesure sur tout psi donnera un nombre réel.

Mais la réciproque est elle vraie ??

Merci.

[albanxiii]

Bonjour,

En gros on peut dire ceci :

Cela me semble au mieux capilotracté, et pire complètement faux : on n'applique pas forcément cet opérateur sur un exponentielle complexe.
Mieux vaut revenir à la définition, le conjugué hermitique de vérifie .
Partez du second membre, faites une intégration par partie, avec les bonnes hypothèses sur les fonctions et , vous pourrez identifier .

@+

[invite8f6d0dd4]

Ok merci.

En fait ma question "Si on a A hermitien, alors la mesure sur tout psi donnera un nombre réel.

Mais la réciproque est elle vraie ??" est vraie, la démo est très simple en plus...

Autre question :

A un moment dans le Cohen Tanoudji, il est écrit que



n'est pas de carré sommable.

Je ne comprends pas pourquoi.

Si on adopte le point de vue rigoureux distribution, un dirac au carré n'a pas de sens il me semble.

Et si on adopte le point de vue de la mq, on considère le dirac comme une fonction centrée en r0 de largeur epsilon et de hauteur 1/epsilon.

Pourquoi son carré ne serait il pas intégrable ?

Merci.

[coussin]

Vous avez répondu à votre question : un Dirac au carré aura une largeur epsilon et une hauteur 1/epsilon^2, donc d'aire 1/epsilon.

[invite8f6d0dd4]

Ah oui exact je n'ai pas réfléchi...

Merci...

[azizovsky]

Salut,


Donc :


c'est ce qu'il a déjà écrit en (A-29)(quelques lignes avant,méthode directe).
(calcul à l'envers)

[invite8f6d0dd4]

Oui, merci.

J'avais compris le calcul mais ce qui me dérangeait c'était l'hypothèse bon surrabondante.

Mais c'était ok pour ce point là.


J'aurai une autre question (page 123).

En fait c'est une question liée à la compréhension en détail de ce qu'on manipule.

Il est écrit :

Ce qui amène à :



Pas de soucis pour arriver à là en manipulant les objets comme des quantités vectorielles.

Mais il y a un conflit pour moi entre cette représentation vectorielle et la représentation "analytique".

En effet, si je fais la démo en manipulant les quantité non plus comme des vecteurs mais comme des fonctions voici ce que j'obtiens :

(Je suppose que je m'intéresse à la fonction d'onde dépendante de r ) :





Une fois arrivé là, comment retrouver la forme "vectorielle" du calcul.

En effet, dans la forme vectorielle on a qu'une intégrale sur alpha, il faudrait donc qu’analytiquement je puisse retrouver le vecteur "psi" (j'ai une intégrale en trop ici...).

Si j'ai bien compris la notion de ket (ce qui n'est pas sur, c'est nouveau pour moi), le ket représente l'état d'une particule.

et représentent rigoureusement le même état d'une même particule si ce n'est que dans le premier cas, on adopte un point de vue "position" ce qui implique un certain type de base, alors que dans le second on reste dans un cas plus général (le second cas représente le vecteur d'un point de vue formel en faisant abstraction des bases choisies alors que le premier cas implique une restriction à certaines bases).

Ainsi, je devrais pouvoir trouver que dans le cas où je choisis une représentation position, une équivalence "analytique" entre le calcul vectoriel et le calcul directement analytique (je devrai arriver à la même équation).

Or ce n'est pas le cas.

Pourriez vous m'aider ??

J’espère avoir été clair.

Merci beaucoup.

[azizovsky]

Bonsoir, je crois qu'il y'a des réponses à tes question ici :http://forums.futura-sciences.com/ph...-ket-plus.html (bonne soirée, à demain )

[invite8f6d0dd4]

Merci pour le lien.

J'ai regardé mais à priori je ne comprends toujours pas d'où vient la non équivalence (selon moi) entre mon calcul "analytique" et le calcul "vectoriel".

Bonne soirée !

[invite8f6d0dd4]

Ah si, en fait le psi représente l'ensemble des psi(x), des psi(p) sur tout l'espace ??

En gros connaitre psi c'est connaitre psi(x), psi(p), psi(unevariableqcq) partout ??

[azizovsky]

Salut, le noeud de ton problème réside dans : et ce qui donne
.
la fonction représente l'état en variable

[DarK MaLaK]

Salut,

Une fois arrivé là, comment retrouver la forme "vectorielle" du calcul.

On peut continuer comme ça :



Par contre, pour moi, la réponse à la première question de la discussion est que la base doit être orthonormée, sinon la somme |u><u| ou |w><w| n'est pas égale à l'identité (comme c'est le cas dans le calcul que je viens d'écrire) et on n'obtient pas que c'est égal à une fonction delta.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Merci de vos réponses.

J'en aurai une autre :

Dans le cohen tanoudji il est écrit que si un ensemble {A,B} forme un ECOC, alors on peut ajouter n'importe quelle observable C qui commute avec A et B à l'ensemble et {A,B,C} sera aussi un ECOC.

Mais supposons que je travaille dans une base constituée de u1,u2,u3

Valeurs propres de C : b2,b1,c3
Valeurs propres de B : b1,b2,b2
Valeurs propres de A : a1,a1,a2

AB aura pour vp : a1*b1, a1*b2, a2*b2 : aucune n'est dégénérée, {A,B} forme bien un ECOC

En revanche ABC aura pour vp : b2a1b1,b1a1b2, c3a2b2

On constate qu'il a une valeur propre double : b2a1b1

ABC n'est donc pas un ECOC.

Ou suis-je entrain de faire une omission ?

Merci.

[invite8f6d0dd4]

Je précise dans mon exemple qe u1,u2,u3 est la base de vp commune à A et B.

Ensuite on a qu'à construire "à la main" une observable C diagonale dans cette base tq sa valeur propre sur u1 est b2, sur u2 : b1 et sur u3 : c3.

[invite8f6d0dd4]

J'en profite pour poser une autre question vraiment très importante pour ma compréhension des outils utilisés, pourriez vous me dire si ceci est vrai :

représente l'état de mon système.
C'est un vecteur d'un espace vectoriel, mais il ne représente pas une fonction.
L'espace des états n'est pas un espace vectoriel de fonctions.

Il représente un état donné de mon système.

Ensuite on peut choisir plusieurs bases pour le représenter :

Si je suis en base (base des positions), alors les composantes de sur chacun des vecteurs de bases correspondront à la valeur que prend en un point donné r de l'espace.
Ainsi, l'ensemble des composantes de permet de reconstruire "point par point" la fonction

(même raisonnement pour la base |p>)

Si on utilise comme outil c'est parce qu'il permet de raisonner dans un cas ultra général. Pour résoudre un problème on a juste à choisir la base de travail adaptée.

Ai-je bien expliqué le sens physique de |PSI> ?

Désolé pour le spam mais c'est vraiment important pour moi de bien comprendre cette notion car j'avoue que c'est assez flou.

Bonne soirée !

[albanxiii]

Bonjour,

Ceci pourrait vous intéresser : http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907070

@+

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Merci beaucoup pour cet excellent document.

Il m'a éclairé sur les points suivants, pourriez vous me confirmer que j'ai bien compris ?

On peut adopter différents points de vue en MQ, on peut travailler sur L2(R), ou sur H l'espace de Hilbert (je ne parle pas du dernier point de vue car il ne me concerne pas trop).

La chose essentielle à retenir est que l'espace L2(R,dx), l'espace L2(R,dp) et l'espace des états H de Hilbert sont tous isomorphes.

Donc par exemple à toute fonction de L2(R,dx), correspond un unique vecteur d'état (et vice versa).

On ne peut pas donner d'autre interprétation à que celle d'un vecteur, ce n'est pas une fonction qui à un nombre associe un nombre, c'est juste un vecteur d'un espace vectoriel, un outil qui représente un état donné d'un système quantique. Ce vecteur comporte en soit toutes les informations sur mon état quantique.

Pour passer de ce vecteur à quelque chose de plus "palpable" quelque chose qu'on puisse exploiter, comme la fonction d'onde en représentation position, on effectue l'opération suivante :

Ainsi, la fonction correspond à la fonction d'onde de Schrödinger .

L'intérêt de raisonner en vecteur dans l'espace des états est qu'on garde un point de vue "général" sur le problème.

Par exemple, si on veut voir le problème en fonction de l'impulsion, on choisit de ne plus prendre la base des positions mais celle des impulsions, et tout le raisonnement est exactement identique.
On pourrait même imaginer une autre représentation en changeant encore de base.

Maintenant, l'espace des états est un espace vectoriel pour la simple raison que l'équation de schrodinger est linéraire et qu'une superposition d'état est tjr solution de l'équation.

Ai-je bien reformulé ?

Pensez vous que j'ai compris l'essentiel ?

Merci et bonne journée.

PS : un document qui m'a aussi éclairé : http://www.espci.fr/enseignement/download.php?e=pq&id=2

[albanxiii]

Bonjour,

Je suis d'accord avec vous, j'ai compris les choses de la même façon (mais la physique quantique n'est pas mon métier).

Une remarque, sur le vocabulaire, quand on considère un espace vectoriel, ses éléments sont des vecteurs, mais on peut trouver des espaces vectoriels de fonctions (auquel cas, les vecteurs seront des fonctions), de matrices, de spineurs, de tout ce qu'on peut imaginer. Vecteur est le terme générique. En mécanique quantique, l'avantage des notations de Dirac est qu'elle permettent de ne pas préciser les objets sur lesquels on travaille.

Et aussi, le fait que la superposition de deux états est encore un état est un des principes de base de la mécanique quantique, cela arrive avant l"équation de Schrödinger. En fait, cela impose que l'équation d'évolution des états soit une équation linéaire (comme l'équation de Schrödinger, ou celle de Dirac).

@+

ps :j'ai connu Daniel Marchand quand j'étais étudiant à l'ESPCI. C'est dommage qu'il n'ai jamais publié ses documents.

[invite8f6d0dd4]

Ok merci.

Mais en fait c'est justement ça que j'ai du mal à saisir, je sais qu'il existe des e-v de fonctions mais ce que je ne comprends pas et qui est expliqué nul part c'est que le , concrètement hormis le fait que ce soit un vecteur c'est quoi, une fonction ?

Ou bien on se limite à se dire "on s'en fou, on l'utilise juste au sens d'un vecteur sa vraie nature n'a pas d'importance, c'est juste un intermédiaire de calcul".

[chaverondier]

AB aura pour vp : a1*b1, a1*b2, a2*b2 : aucune n'est dégénérée, {A,B} forme bien un ECOC

En revanche ABC aura pour vp : b2a1b1,b1a1b2, c3a2b2

On constate qu'il a une valeur propre double : b2a1b1

ABC n'est donc pas un ECOC.

Il n'est pas demandé aux observables d'un ECOC que les valeurs propres des observables soient non dégénérées. Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, par exemple, sont des valeurs propres dégénérées de son Hamiltonien (la dégénérescence est levée en ajoutant les observables "carré du moment cinétique" et "projection selon z de ce moment", du moins tant que l'on ignore le spin du proton et de l'électron ainsi que le mouvement du centre de masse de l'atome http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensembl..._qui_commutent). On demande juste aux observables d'un ECOC:

• d'une part qu'elles se diagonalisent dans une même base Hilbertienne (et du coup elles commutent les unes avec les autres)
• d'autre part que l'état du système considéré soit complètement caractérisable par une fonction de carré sommable sur le spectre joint de cet ensemble d'observables.

Si un jour on découvre une nouvelle grandeur physique requise pour caractériser l'état du système considéré et que sa mesure est possible sans changer aucune des valeurs des observables de ce que l'on croyait former un ECOC de ce système, alors il faut rajouter l'observable associée à cette nouvelle grandeur physique pour vraiment former un ECOC de ce système (jusqu'à la découverte de la prochaine observable si cela se produit).

hormis le fait que ce soit un vecteur c'est quoi psi

C'est une fonction de carré sommable sur le spectre joint d'un ECOC qui caractérise l'état du système considéré donnant l'amplitude de probabilité des valeurs (dans ce spectre joint) caractérisant l'état en question.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Si est une fonction de carré sommable, alors à quelle grandeur fait elle correspondre quelle grandeur ?

Car , donc n'est clairement pas

Donc je veux bien admettre que soit une fonction, mais laquelle ???? Quelle est son expression ?


Merci.

[azizovsky]

Salu, est un état physique, comme la polarisation, il y'a l'état circulaire gauche ou l'état c.droite ou réctiligne qui 'est un mélange des deux .

[invite47ecce17]

Bonjour,

Si est une fonction de carré sommable, alors à quelle grandeur fait elle correspondre quelle grandeur ?

Car , donc n'est clairement pas

Donc je veux bien admettre que soit une fonction, mais laquelle ???? Quelle est son expression ?


Merci.

Ben son expression c'est la fonction d'onde associée à un systeme!
En fait il y a beaucoup de façons de répondre à tes questions de tres basiques à tres sophistiquées.
Quel genre de réponse cherches tu excatement?

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

En fait ma confusion vient du faire que la fonction d'onde c'est :

et pas .

(La fonction d'onde c'est la projection du vecteur d'état sur une base, on ne peut donc pas dire que c'est la même chose, vu que ce n'est pas le même type de quantité, enfin il me semble).

Mais en fait je pense avoir trouvé la réponse précise à ma question en ayant compilé plusieurs sources, mais c'est un peu long à expliquer, je le rédigerai et je vous demanderais votre avis si vous avez le temps.

[edit] : En fait j'aurai une petite question au passage :

Dans mon cours il est écrit au milieu d'une démo :



Où teta représente une observable.

Je ne comprends pas comment on obtient cette égalité.

Je suis d'accord que ça signifie représenter en base r la quantité vectorielle , on devrait donc avoir une fonction qui dépend de r, mais je ne comprends pas tout le détail.

Merci !

[invite47ecce17]

Ben, ca c'est precisement la meme chose (a deux trois grains pres que ce que tu ecris n'est pas veritbalement bien défini mais bon), la fonction \psi, c'est la fonction qui a x associe \psi(x).

[invite8f6d0dd4]

Ben pas vraiment puisqu'on peut aussi très bien dire que c'est la fonction qui à p associe en se plaçant dans la base des impulsions (ou ici psi représente la TF de ).

Et comme la transformée de fourier d'une fonction et la fonction ne sont pas égales, ce n'est pas la même chose.