Qualification d'un mélange de poudres

[invitecaafce96]

Bonjour ,

C'est plutôt un sujet de statistiques , mais comme ce fut aussi un cas réel professionnel dans une vie antérieure , je commence en Physique .

J'ai 2.5 10^6 grains d'une poudre A et aussi 2.5 10^6 grains d'une poudre B .
Je dois les mélanger ; je réalise le mélange avec un dispositif aéraulique de conception locale .
Problème : mon client me demande de lui prouver "que c'est bien mélangé " ...

Je sais différencier simplement par observation optique et tri , les grains A et les grains B .
Prélever et trier 100 grains dure 5 minutes .
Prélever et trier 1000 grains dure 50 minutes .
J'ai la possibilité de transvaser , pour faire des prélèvements aléatoires , toute la poudre d'un container 1 dans un container 2 : un transvasement dure 30 minutes .
Je souhaite ne consacrer que 8 heures aux manipulations .

Mes questions : quelles opérations dois je faire dans les 8 heures imparties ? Comment présenter les résultats ? Qu'en déduire ?
Ce n'est pas un exercice . Vous pouvez développer librement . Merci .
-----

[invitecaafce96]

Re,
Je me rends compte que je peux transvaser en permanence en temps masqué . Je prélève durant les transvasements .
Donc, il reste à organiser les prélèvements aléatoires .

[skeptikos]

Bonsoir,
La perfection n'est pas de ce monde.
En conséquence ce ne peut être parfaitement mélangé.
@+

[invitecaafce96]

Bonjour,
Je vois des personnes qui s'intéressent aux probabilités , ce jour ; donc, je remonte mon sujet .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cecbb6f]

Hum, ce n'est pas particulièrement mon domaine mais voila ce que je ferais.

Trier 1000 grains 3 fois avec prélèvement aléatoire (soit 4h).
Mesurer la proportion de A (et donc de B) dans chaque cas.
Comparer avec un tirage aléatoire de type loi binomiale (1000 tirages devrait donner une gaussienne par le théorème centrale limite non ?).
Si tout se passe bien tu peux dire si c'est identique avec un intervalle de confiance (genre 95%).

[f6bes]

Problème : mon client me demande de lui prouver "que c'est bien mélangé " ...
.

Bjr à toi,
Le probléme est déplacé ...ailleurs ! Le client peut trés bien te demander de lui PROUVER que tu as bien trier. Et là !
J'ai rencontré cela dans la vie professionnelle.
Fallait fournir des notes de calcul sur des moments de stabilité pour l'implantation de support béton, au maitre d'oeuvre ( EDF)
Réaction du "péposé" au controle : " qui me prouve que vos calculs sont justes " !!
De quoi restait sur le cul !
Bonne journée

[invite6dffde4c]

Bonjour Catmandou.
Je n’ai pas compris ce que fait le dispositif de mélange.
Est-ce qu’on peut le voir comme le mélange de deux paquets de cartes (à chaque fois une carte tombe, provenant d’un des deux paquets, au hasard) ?

Et, je veux savoir ce que le client considère comme « bien mélangé ».
Car dans chaque échantillon, le nombre de chaque type de grains ne sera jamais identique, mais il y aura des variations statistiques.

J’imagine qu’il suffit de prendre deux ou trois échantillons de quelques dizaines de grains, faire les stats, et appliquer le test de khi2 ou de Student. C’est ce que font les statisticiens à 4 sous pour avoir bonne conscience.
Au revoir.

[invitecaafce96]

Bonjour LPFR ,
Au départ les 2 poudres proviennent de 2 fournisseurs différents ;
Il faut n'en faire qu'un seul lot , le mélange étant le plus homogène possible :
Idéalement , sur tous les prélèvements de 100 grains , on trouverait 50 grains A et 50 grains B .

[invitecaafce96]

Le probléme est déplacé ...ailleurs ! Le client peut trés bien te demander de lui PROUVER que tu as bien trier. Et là !

Bonjour f6bes
Non, pas de ce cas précis : nous sommes entre personnes seulement animées d'un esprit scientifique , hors de toute autre contingence matérielle .

[invite6dffde4c]

...
Idéalement , sur tous les prélèvements de 100 grains , on trouverait 50 grains A et 50 grains B .

Re.
Ça, c’est théoriquement impossible.
On peut calculer, pour un mélange idéal, la probabilité que sur 100 grains il y en ait ‘n’ d’un type et 100 – n de l’autre.
C’est un problème pour débutants. Mais comme je ne suis plus débutant depuis aussi longtemps que vous, je ne me souviens pas de la méthode. Peut-être que je la retrouverai pendant la nuit.
On peut faire le calcul sur un tirage de deux grains. La probabilité pour que le second soit du même type que le premier est ½.
A+

[invite6dffde4c]

Re.
Je crois que ça me revient. On considère le développement du binôme (a + b)^100.
La somme des exposants de ‘a’ et ‘b’ donne 100 et les coefficients donnent le nombre de combinaisons qui donnent ces valeurs d'exposants. Le coefficient est combinaisons de 100 éléments pris ‘n’ à ‘n’.
Donc la probabilité d’avoir ‘n’ grains d’un type sur un tirage de 100 est



A+
Edit:

La probabilité pour que dans un tirage de 100 grains il y en ait exactement 50 d’un type, est de
0,079589…
http://www.wolframalpha.com/input/?i=100+!%2F+%28%28%2850+!%29^2 %29+*+2^100%29#subpod_0100_1_z oom

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Encore plus joli:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28100+!%29%2F%28%28n+ !%29*%28100+-+n%29!+*+2^100%29+fron+n%3D+40 +to+n+%3D60
Au revoir.

[invite93279690]

Bonjour LPFR ,
Au départ les 2 poudres proviennent de 2 fournisseurs différents ;
Il faut n'en faire qu'un seul lot , le mélange étant le plus homogène possible :
Idéalement , sur tous les prélèvements de 100 grains , on trouverait 50 grains A et 50 grains B .

Salut,

Est ce qu'elles ont la meme polydispersite ? Si il y a une difference de taille manifeste entre les deux types grains, en fonction de comment le melange est fait, cela peut engendrer une ségrégation verticale de ces derniers par effet Noix du Brésil.

Sinon, comme dit LPFR, si les poudres sont bien mélangées alors la probabilités de trouver grains du type A parmis N est simplement



Cette formule telle que ne t'avance pas forcement beaucoup.

La moyenne en revanche est directement reliee a



et donc évidemment tu trouves que .

Si maintenant tu considères mesures indépendantes qui suivent la loi de probabilité , la loi des grands nombres stipule que l'estimateur (biaise)



tend vers en .

Donc l'idée la plus sure est de faire une estimation de avec un premier (petit) nombre de tests . Si, en passant de a , la valeur de l'estimation de se rapproche de 1/2, c'est bon signe; sinon cela peut indiquer que le melange n'est pas aussi ideal que voulu.

Dans le pire des cas, tu peux utiliser en fait la formule donnée par LPFR pour rejeter quasi-certainement l'hypothèse selon laquelle . Il suffit de regarder la cumulative de la distribution et de regarder dans un premier temps quelle valeur de est telle que ne contient que 5% de la cumulative. De la meme manière tu peux définir tel que ne contient également que 5% de la cumulative. Si tu trouves une valeur de inférieur a ou supérieure a , tu es donc sur a 95% que la loi de probabilité n'est pas 1/2. Pour cela une mesure suffit en principe. Tu peux aussi choisir un autre critère que 5% bien sur.
Attention cela dit, comme tu le sais sans aucun doute, l'outil ci-dessus (p-value) n'est bon qu'a rejeter des hypotheses; il ne les valide pas pour autant.
Pour avoir un semblant de validation tu peux utiliser le fait que et vont évidemment dépendre de et si tu trouves de manière consistante qu'en augmentant la taille de l'échantillon, tu ne peux jamais invalider l'hypothèse que , alors c'est quelque chose d'assez fort en faveur de la proposition que .

[invitecaafce96]

Re,
Merci pour vos interventions .
Ceci devrait déjà m'occuper un bon moment ...