Spectre d'un oscillateur harmonique

[mariposa]

Bonjour, merci beaucoup pour ton message, c'est déja bien plus claire. Aussi, je voudrais savoir si l'on compage le spectre de deux sinusoîde pure mais de différentes fréquence, j'ai déduis que le signal de plus basse fréquence aura un spectre plus étandu que l'autre de fréquence supérieur.
Qu'en est t'il, ceci est t'il corecte?
Merci bien
flo

Précision de vocabulaire:
.
Le spectre d'un signal temporel c'est la description en ses différentes composantes. Chaque composante peut être une fonction périodique et est donc décrit par une amplitude et une fréquence (accessoirement une phase).

Par exemple A.sin(oméga.t + phi)

c'est ce que l'on appelle la décomposition de Fourier.
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[Floris]

Bonjour mariposa, merci pour ton message. On est bien d'accord, esque j'ai dis quelque chose qui ferais penser que l'on ne parle pas de la même chose?
Bien à toi
Flo

[yahou]

Aussi, je voudrais savoir si l'on compage le spectre de deux sinusoîde pure mais de différentes fréquence, j'ai déduis que le signal de plus basse fréquence aura un spectre plus étandu que l'autre de fréquence supérieur

Qu'entends tu par "étendu" ? Si tu parles de la largeur du spectre, alors ce que tu dis est incompatible avec la définition de mariposa : le spectre d'un signal sinusoïdal, quelque soit sa fréquence, ne contient qu'une composante et par conséquent est infiniment étroit.

[Floris]

Bonjour, bon j'ai encore beaucoup de mal à saisir pourquoi une sinusoîde pire aurais forcément un spectre étroit au maximum des lois de la MQ. Je sais bien qu'en effectuant une transphormé de fourié d'un signal de peut le décomposer en pleis de composantes sinusoîdale. mais qu'à donc de ci particulier la fonction ninusoîdale pour ne pas pouvoir étre décomposer en d'autres types de fonction?

Imaginons que je pend un signal triangulaire et que j'ai la possibilité d'arondire les crétes similairement aux crétes d'une sinusoîde, alors la largeur spectrale de ce signal ne serai t'il pas déja plus fin qu'un simple signal triangulaire?

Merci encore de votre aide et désolé d'étre tétu mais j'essais de comprendre voyez vous.
Amicalement
Flo

[yahou]

Je sais bien qu'en effectuant une transphormé de fourié d'un signal de peut le décomposer en pleis de composantes sinusoîdale. mais qu'à donc de ci particulier la fonction sinusoîdale pour ne pas pouvoir étre décomposer en d'autres types de fonction?

En fait on peut décomposer une sinusoïde en d'autres fonctions. Quand on écrit la décomposition de Fourier
on décompose la sinusoïde de fréquence sur l'ensemble des sinusoïdes (toutes fréquences confondues), et forcément on trouve que la seule composante est à la fréquence , soit un spectre de Dirac, infiniment étroit.

Mais on peut aussi écrire (par exemple)

On décompose la sinusoïde de fréquence sur l'ensemble des fonctions de Dirac, qui ne prennent une valeur non nulle qu'en un point donné, et cette fois les coefficients de la décomposition sont les valeurs de la fonction elle même.

Cette deuxième décomposition est plus ou moins implicite car elle correspond à l'intuition : pour caractériser une fonction, on donne sa valeur en chaque point, concrètement une collection infinie de nombres. Mais ce n'est pas la seule collection infinie de nombres qui contienne toute l'information sur la fonction. On peut aussi donner la composante sinusoïdale à chaque fréquence (Fourier) ou plein d'autres choses encore.

Désolé j'ai un peu de mal à exprimer ma pensée. En fait ça serait plus facile à expliquer si tu avais des notions sur ce qu'est une base d'un espace (vectoriel). Est-ce le cas ?

Dans ce contexte les fonctions de Dirac ou les sinusoïdes ne sont que deux bases parmi une infinité possible pour décrire une fonction.

Quant à savoir pourquoi on utilise beaucoup cette décomposition de Fourier, c'est simplement parce que les sinusoïdes ont des propriétés utiles pour la résolution des équations différentielles. C'est plus net sous forme d'exponentielle complexe : les exponentielles sont des formes privilégiées lorsque l'on cherche des solutions d'équations différentielles du fait qu'elles sont proportionnelles à leur dérivée.

[Floris]

Bonsoir, jemerci pour ton message yahou, bon effectivement mathématiquement c'est parlant en effet. Bon pour que je puisse comprendre plus en profondeur, je vais poser la question suivante. Imaginons une charge accéléré, de quoi va dépendre le spectre de son rayonement?

Dans le cas du synchrotron, je sais que le spectre est très étandu, la charge dois donc émettre un signal presque similaire à un signal en crénaux non?

Enfin si je prend un atome, chaque orbitales n'est t'elle pas à un oscillateur?


Merci pour votre aide.
bien à vous tois.
Flo

[Floris]

Bonjour, j'ai une autre question, oui en ce moment c'est reparti
Alors je me demandais une chose, il me semble que le facteur de qualité d'un dipole RLC dépend de sa résistance n'est ce pas? J'ai cru m'aperçevoir que la largeur spectrale de raisonance dépend de la résistance interne du dipole, ceci est t'il corecte?

Merci pour votre aide.
Flo

[Floris]

J'ajouterais au passage la question suivante, la signal d'un oscillateur posèdant un traès mauvais facteur de qualitée est t'il une sinusoîde parfaite? La perfection du signal dépend t'il du facteur de qualitée?.
Merci pour votre aide.
Flo

[yahou]

Alors je me demandais une chose, il me semble que le facteur de qualité d'un dipole RLC dépend de sa résistance n'est ce pas?

En effet. Plus précisément le facteur de qualité est donné par
C'est assez logique puisque le facteur de qualité peut être vu comme le rapport du temps d'amortissement sur la période propre. Quand on augmente R, on augmente l'amortissement, donc le temps d'amortissement diminue et le facteur de qualité aussi.

la signal d'un oscillateur posèdant un traès mauvais facteur de qualitée est t'il une sinusoîde parfaite? La perfection du signal dépend t'il du facteur de qualitée?

A partir du moment où le système est linéaire (ce qui justifie le traitement dans le domaine de Fourier), la réponse à une sinusoïde est une sinusoïde : le système ne "crée" pas de nouvelles fréquences.

[Floris]

A partir du moment où le système est linéaire (ce qui justifie le traitement dans le domaine de Fourier), la réponse à une sinusoïde est une sinusoïde : le système ne "crée" pas de nouvelles fréquences.

Bonjour Yahou, merci pour ton message. Néamoin je ne comprend pas très bien ce que tu dit ici. Je sais que la sinusoîde se décompose en sinusoîde mais par contre je ne vois pas ce que tu veux dire par" le système ne créée pas de nouvelles fréquences". Un oscilo avec un très mauvais facteur de qualité devrai ne pas produire une ninusoîde parfaite si?

De même pour un oscilo non entretenu, le temps d'amortissement dépend t'il de sa fréquence de raisonance?

Enfin, le temps d'amortisement d'un oscilo est t'il similaire au temps de relaxation d'un atome exité?
merci bien
Flo

[yahou]

Je sais que la sinusoîde se décompose en sinusoîde

Une sinusoïde ne se décompose pas vraiment en sinusoïdes dans le sens où elle est déjà décomposée...

par contre je ne vois pas ce que tu veux dire par" le système ne créée pas de nouvelles fréquences". Un oscilo avec un très mauvais facteur de qualité devrai ne pas produire une ninusoîde parfaite si?

Je veux dire que si une fréquence n'est pas présente dans le spectre du signal d'entrée (c'est-à-dire si la décomposition en sinusoïdes ne contient pas la sinusoïde ayant cette fréquence), alors elle ne sera pas non plus dans le spectre du signal de sortie. Si le signal d'entrée est sinusoïdal, son spectre ne contient qu'une seule fréquence et il en est de même pour le signal de sortie, qui est donc une sinusoïde de même fréquence.

Ca découle du fait que le spectre du signal de sortie est le produit du spectre du signal d'entrée par la fonction de transfert. C'est une propriété générale des systèmes linéaires et ça n'a donc rien a voir avec le facteur de qualité, ni même avec le fait qu'on parle d'un circuit RLC.

pour un oscilo non entretenu, le temps d'amortissement dépend t'il de sa fréquence de raisonance?

Ca dépend comment tu choisis tes variables.
Ton RLC non entretenu se décrit mathématiquement par une équation aux dérivées partielles :

où est la charge du condensateur.

On peut introduire la période propre et le facteur de qualité et réécrire l'équation :


On peut aussi introduire un temps caractéristique d'amortissement et réécrire l'équation :


L'idée c'est que pour décrire ton oscillateur tu as besoin de deux paramètres indépendants, qui peuvent être et , ou et Q, ou et , ou plein d'autres choses encore... Une fois que tu as choisi deux paramètres, tu peux regarder comment différentes variables varient en fonction de ces paramètres, mais la distinction entre paramètre et variable est purement arbitraire, elle dépend de ton choix des deux paramètres de départ.

Remarque : j'ai défini de façon à ne pas traîner de partout, ce n'est peut-être pas la définition officielle.

le temps d'amortisement d'un oscilo est t'il similaire au temps de relaxation d'un atome exité?

Si l'on décrit la désexcitation de l'électron par une équation du type RLC, alors est effectivement le temps de relaxation.

[Floris]

Bonjour yahou, merci pour ces éclaircissements. Je me demandais que se passerai t'il si je soumet un oscillateur de type LC par exemple, à un pique de dirac? Etant donné que le spectre d'un pique de diract est infiniment étandue à ma conaissance, l'oscillateur devrai se mettre à osciler non?
Merci bien