[Mécanique vibratoire] Réponses à questions pour meilleure compréhension

[RedRobin]

Bonjour,

J'ai débuté mes cours de mécanique vibratoire (4 séances depuis) et je me prépare actuellement pour le prochain examen.
Je m'entraîne donc notamment en essayant de répondre à des questions présentes dans les sujets des années précédentes, ce qui me permet de me rendre compte si j'ai bien compris le cours ou non.

J'ai donc répondu avec succès à plusieurs questions (que je ne mettrai donc pas dans ce post), mais malheureusement je bloque sur certaines et/ou j'ai l'impression que je répond à côté voir faux. Pouvez-vous m'éclairer?

Comment la procédure conduisant aux équations de Lagrange tient-elle compte des restrictions sur le mouvement

Vient du fait que : Coordonnées généralisées = nb de points*3 – nb d’équations de contraintes holonômes)


Comment les équations de Lagrange, d'abord établies pour les systèmes formés de points matériels, s'adaptent-elles aux systèmes formés de solides indéformables et aux systèmes continus sans masses propres mais avec masses et inerties concentrées ? Détaillez.

Je ne sais pas

Dans la solution générale q (t )=Ση(t)*x(indice r), justifiez que l'amplitude modale η(t ) du mode r dépende de la masse généralisée μ de ce mode.

Comme à chaque vecteur propre Xr est associé une valeur propre w2, et que w2=raideur/masse généralisés, alors l'amplitude modale dépend bien de la masse généralisée

Montrez que la réponse percussionnelle est la dérivée de la réponse indicielle. (0.5 point)

Pas encore vu, mais au prochain cours


Montrez que les modes rigides sont des modes propres de pulsation/valeur propre nulle. (1 point)

Pas encore vu, mais au prochain cours

Physiquement, que représente un vecteur rigide ?

Les coordonnées d'un solide indéformable.

Pourquoi les forces intérieures de corps indéformables peuvent-elles être ignorées dans les équations de Lagrange ?

Pas d'énergie interne quand il n'y a pas d'efforts intérieurs, ce qui est le cas d'un solide indéformable.

La recherche d'une solution particulière au système M q’’ + K q = 0
conduit à chercher les solutions propres du système (K-w²M)x=0 . Selon quel principe trouve-t-on les valeurs propres ?

A l'aide du déterminant

Quelles sont les différences et les ressemblances entre les équations de Newton et les équations de Lagrange

Les équations de Lagrange sont une reformulation de l'équation de Newton à partir du principe d’Alembert, mais Lagrange ne fait pas intervenir les forces de réaction.

Admettons avoir exprimé l'énergie cinétique et l'énergie potentielle d'un système en fonction de ses coordonnées généralisées.
• Comment calcule-t-on la valeur de ces coordonnées généralisées pour l'état d'équilibre supposé stable ?
• Comment peut-on qualifier l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle lorsque, lors du mouvement, le système passe par ce point d'équilibre ?

Je ne sais pas


Parmi les solutions propres du système (K -w²M) x = 0, il peut y avoir des racines multiples avec des vecteurs propres associés qui sont différents. Donnez une explication physique et un exemple concret de ce phénomène.

Je ne sais pas

Physiquement, que représente un vecteur propre associé à un système mécanique ?

Un vecteur propre correspond à l'étude des axes privilégiés d’un système, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. (wikipedia)

Quel est l'intérêt respectif des sollicitations indicielles, percussionnelles et harmoniques forcées dans l'étude de la réponse dynamique des systèmes mécaniques

Pas encore vu

Merci d'avance pour l'attention que vous porterai à mon post
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenu sur le forum,

Je ne réponds qu'à ce que je sais, et je ne réponds pas là où vous avez indiqué "pas encore vu" ou "au prochain cours".

Comment les équations de Lagrange, d'abord établies pour les systèmes formés de points matériels, s'adaptent-elles aux systèmes formés de solides indéformables et aux systèmes continus sans masses propres mais avec masses et inerties concentrées ? Détaillez.

Je ne sais pas

J'ai du mal à voir ce que la réponse attendue peut-être.
Je dirais qu'on applique les équations de Lagrange à chaque masse localisée. On obtient les équations de Lagrange pour un système continu par passage à la limite (le rapport masse / longueur caractéristique tend vers une certaine valeur lorsque la longueur caractéristique tend vers zéro).

La recherche d'une solution particulière au système M q’’ + K q = 0
conduit à chercher les solutions propres du système (K-w²M)x=0 . Selon quel principe trouve-t-on les valeurs propres ?

A l'aide du déterminant

Il faut être plus précis.
Vous avez un système linéaire sans second membre. Il ne peut y avoir de solutions non nulles que si le déterminant est nul (système lié).

Admettons avoir exprimé l'énergie cinétique et l'énergie potentielle d'un système en fonction de ses coordonnées généralisées.
• Comment calcule-t-on la valeur de ces coordonnées généralisées pour l'état d'équilibre supposé stable ?
• Comment peut-on qualifier l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle lorsque, lors du mouvement, le système passe par ce point d'équilibre ?

Je ne sais pas

Si état stable = pas de mouvement, l'énergie cinétique exprimée dans le bon repère est nulle.

Parmi les solutions propres du système (K -w²M) x = 0, il peut y avoir des racines multiples avec des vecteurs propres associés qui sont différents. Donnez une explication physique et un exemple concret de ce phénomène.

Je ne sais pas

Prenez l'exemple de trois masses identiques formant une chaîne (G C D, pour gauche, centre, droite), les masses étant reliées par des ressorts identiques.
Tous les modes propre ont la même fréquence (à vérifier, je ne l'ai pas fait), et il y a deux modes de vibration :
- la masse centrale reste fixe et les deux autres : lorsque G s'approche de C, D s'approche de C aussi, lorsque G s'éloigne de C, D s'éloigne aussi ;
- la masse centrale reste fixe et les deux autres masses oscillent de la façon suivante : lorsque G s'approche de C, D s'éloigne, et vice-versa.

Physiquement, que représente un vecteur propre associé à un système mécanique ?

Un vecteur propre correspond à l'étude des axes privilégiés d’un système, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. (wikipedia)

Cela me semble fumeux...

@+

[RedRobin]

Bonjour,

Merci d'avoir pris le temps de répondre à mes questions.

Je vais essayer d'aller plus loin pour la question sur les vecteurs propres:
Je dirais que c'est un vecteur non nul des coordonnées généralisées d'un système mécanique (qui sont les variables dont dépend réellement le mouvement d'un système mécanique) qui permet d'avoir une idée du comportement de ce dernier lorsque soumis à des forces extérieures.... j'espère que je suis pas à côté de la plaque!

J'aurais aussi une dernière faveur. Actuellement j'ai des soucis sur un exercice de poutre en encastrement avec ressort à l'opposé et le but est d'abord de trouver les équations de Lagrange sous forme matricielle à partir du dessin de représentation du système et d'un formulaire de résultats de flèches et rotations pour quelques configurations simples de poutre (malheureusement sans un cas où il y aurait un ressort). Après, trouver les valeurs propres et vecteurs propres ne sera pas une difficulté. J'ai joint l'énoncé du problème et le formulaire en question.

Bien sûr j'arrive à trouver la matrice de masse ce qui donne m*[1 0; 0 1]*[f1'' ; f2''] pour le premier bout de Lagrange. Mais pour ce qui est de la raideur, j'ai essayé plein de choses (en sachant bien sûr que F=-k*y et que l’énergie cinétique du ressort est T=0.5*k*y'²) je n'y arrive pas. En tout cas il faut la trouver avec une étude au préalable de la mise en charge. J'ai trouvé un résultat sans explications et déroulement sur internet qui est 48EI/7L^3*[16 -5; -5 3]*[f1;f2] avec 48EI/7L^3=k d'après énoncé, mais je ne vois pas comment trouver les valeurs de la matrice 2*2... J'ai vraiment des lacunes on dirait...