Mecanique Quantique spectre discret

[Elmayl]

Salut,


si quelqu’un peut m’éclaireé cette phrase; A est un opérateur dont le spectre est entièrement discret ?
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[albanxiii]

Bonjour,

Euh... la réponse est dans la question.
Savez-vous ce qu'est un opérateur ? Et ce qu'est le spectre d'un opérateur ?

@+

[invitee0fcad7a]

Un opérateur n'est qu'une application linéaire. En dimension finie, on peut l'exprimer par une matrice.

Il n'y a pas de problème pour définir une application linéaire en dimension infinie, mais beaucoup des propriétés "intuitives", ou que l'on suppose inconsciemment ne sont pas valables. Pour commencer, on ne peut pas forcément composer deux applications linéaires (sans hypothèse supplémentaire; une condition suffisant peut être de dire qu'elles sont bornées, mais il faut une norme). Ou par example une application linéaire d'un espace vers lui même peut être injectif mais non surjective et réciproquement, alors que c'est automatique en dimension finie.

En mécanique quantique, les espace vectoriels ne sont pas quelconques mais des espaces de Hilbert, de sorte que l'on peut définir l'adjoint d'un opérateur et donc la notion d'opérateur auto-adjoint (généralisation des matrices symmétriques (espaces vectoriel réels), ou hermitiennes (espace vectoriel complexe)). Par ailleurs, l'espace de Hilbert a une norme et on peut définir ce qu'est un opérateur borné (ou continue).

L' example typique est l'opérateur impulsion (non bornée)
Ce genre d'opérateur non-borné n'est en général pas définit sur tout l'espace de Hilbert, mais seulement sur un sous-ensemble, pareil pour son adjoint.

Une valeur propre d'une matrice M, est un réel/complex tel qu'il existe un vecteur non nul vérifiant
ou ce qui est équivalent
En s'inspirant de cela, on définit pour un opérateur M dans un espace de Hilbert (on étudie aussi les opérteurs dans les espaces de Banach, la définition est la même):
valeur propre ou fait partie du spectre de M non inversible
(Bon, comme suggéré précédement, il y a plusieurs façon d'être non-inversible en dimension infinie, alors qu'il n'y a qu'une façon en dimension finite, donc on peut distinguer différente sortes de valeurs propres)
Le fait que l'opérateur est auto-adjoint implique que le spectre ne contient que des valeurs réelles (même si l'espace de Hilbert est complexe).

Si on considère maintenant les spectres que l'on peut rencontrer: pour certains opérateurs on peut avoir tout entier ce qui est le cas de l'opéreur impulsion ou position (pour l'espace ).
Ce qui arrive parfois en mécanique quantique, c'est que l'espace de Hilbert est l'espace des solutions de l'équation de Shrödinger pour un certain potentiel, et que sur cet espace l'opérateur impulsion a un spectre de la forme une constante. (On dit en général que c'est un spectre discret, mais je pense qu'il y a une définition précise de ce terme. Peut être la topologie induite est discrète, peut être est ce autre chose.).

Bien sur une condition suffisante pour avoir un spectre discret est d'avoir un opérateur dont l'image/le rang est de dimension finie. De manière un peu plus générale, les opérateurs compacts ont un spectre dénombrable avec 0 comme seul point d'accumulation possible.

(Dernière remarque, sous-certaines hypothèses on a l'équivalent de l'écriture matricielle d'un opérateur avec une intégrale, c'est le "Schwartz' kernel theorem")