Mécanique quantique - spectre discret / continu

[doul11]

Bonsoir,

Dans le cas discret on a :

(équation 1)


Dans le cas continu on a :

(équation 2)


Donc en gros je comprends bien que c'est la même chose, on remplace la somme discrète par une intégrale sur un volume , l'auteur du livre précise bien que l'on peut parler avec précaution d'état |r> ça ne change pas la compréhension de la physique, mais en toute rigueur on doit utiliser le bra pour un spectre continu qui peut ce définir seulement dans le dual de (qui pour le coup n'est plus un espace de Hilbert, ça c'est moi qui le rajoute). Pourquoi seulement dans le dual ? parce que c'est l'ensemble des formes linéaire ?

Dans l’équation 2 j'ai pas de souci avec , puisque c'est un bra, c'est le ket qui me pose problème, j'ai trouvé des infos sur le forum et dans wiki.

Non-normalizable states and non-Hilbert spaces

Bra-ket notation can be used even if the vector space is not a Hilbert space.

In quantum mechanics, it is common practice to write down kets which have infinite norm, i.e. non-normalisable wavefunctions. Examples include states whose wavefunctions are Dirac delta functions or infinite plane waves. These do not, technically, belong to the Hilbert space itself. However, the definition of "Hilbert space" can be broadened to accomodate these states (see the Gelfand–Naimark–Segal construction or rigged Hilbert spaces). The bra-ket notation continues to work in an analogous way in this broader context.

Dans le cas discret on peut quand même considérer une "base" avec ?


Comme vous pouvez le voir dans les détails c'est pas clair pour moi. Si quelqu'un pouvais m'aider un peut ça me permettrais de ne pas faire l'impasse la dessus, non pas que ça m’empêcherai de continuer le livre mais ça serai quand même mieux pour la suite. D'avance merci
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[invitef17c7c8d]

Un paquet d'onde est de longueur finie pourtant il est constitué d'ondes de longueurs infinies...

C'est la même chose avec les états quantiques représentés dans une base continue...

[invite7399a8aa]

Salut,

Ecris ta fonction Y dans son intégralité tu comprendras trés vite


Cordialement


Ludwig

[invite76543456789]

Salut!
En fait pour repondre a ta question il faudrait faire pas mal de maths. Je sais pas trop quel genre de reponse tu desires.

Bonsoir,

Dans le cas discret on a :

(équation 1)


Dans le cas continu on a :

(équation 2)


Donc en gros je comprends bien que c'est la même chose, on remplace la somme discrète par une intégrale sur un volume , l'auteur du livre précise bien que l'on peut parler avec précaution d'état |r> ça ne change pas la compréhension de la physique, mais en toute rigueur on doit utiliser le bra pour un spectre continu qui peut ce définir seulement dans le dual de (qui pour le coup n'est plus un espace de Hilbert, ça c'est moi qui le rajoute). Pourquoi seulement dans le dual ? parce que c'est l'ensemble des formes linéaire ?

En fait le bra <r| est naturellement une forme linéaire sur l'espace de Hilbert (en fait c'est un peu plus compliqué que ca parce qu'on peut pas le definir sur tout l'espace de hilbert, il est juste defini sur un sous truc dense), il est defini comme tu imagines, a f il associe f(r).

Maintenant c'est pas un ket, parce que il est pas continue pour la norme sur l'espace de Hilbert.
C'est donc un element du dual et pas de l'espace de base.

Dans l’équation 2 j'ai pas de souci avec , puisque c'est un bra, c'est le ket qui me pose problème, j'ai trouvé des infos sur le forum et dans wiki.




Dans le cas discret on peut quand même considérer une "base" avec ?


Comme vous pouvez le voir dans les détails c'est pas clair pour moi. Si quelqu'un pouvais m'aider un peut ça me permettrais de ne pas faire l'impasse la dessus, non pas que ça m’empêcherai de continuer le livre mais ça serai quand même mieux pour la suite. D'avance merci

Dans le cas discret tes espaces sont finis, donc y a plus trop de probleme entre dual et espace, toutes les formes linéaires sont continues et s'identifient donc a des elements de l'espace.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

Bonsoir,

Un paquet d'onde est de longueur finie pourtant il est constitué d'ondes de longueurs infinies...

C'est la même chose avec les états quantiques représentés dans une base continue...

Je vois pas bien, tu pourrais expliciter un peut plus ?

Ce que j'ai c'est l’hypothèse que l'on doit faire pour "discrétiser" la continuité : un paquet d'onde d'amplitude non nulle dans un certain volume que l'on fait tendre vers zéro. et donc on peut utiliser avec précaution le ket.

En fait pour repondre a ta question il faudrait faire pas mal de maths. Je sais pas trop quel genre de reponse tu desires.

Je ne cherche pas a maitriser le formalisme, mon intérêt premier c'est la physique, mais a ce niveau il est impossible de rentrer dans les détails de la physique sans comprendre un minimum de formalisme, en fait j'aimerais une réponse de haut niveau, mais j'ai un faible niveau, il faudrait trouver un juste milieu, pas facile ... Ce que tu m'a expliqué est presque suffisant, si tu pouvait m'en dire un peut plus ça serai super !

[invitef17c7c8d]

Cette histoire est juste un petit problème de mathématique sans grand intérêt en fait pour le physicien.
En effet une base doit être constituée de fonctions de carré sommable.
Or un dirac ou une onde plane n'est pas de carré sommable. Mais cesfonctions sont tellement pratiques qu'on leur étend les propriétés des bases discrètes.
Et l'astuce est de se placer dans l'espace dual.
En gros, même si un dirac n'a pas de sens physique, la fonction d'onde qui est une combinaison linéaire de fonction de Dirac est suceptible de décrire un état physique.

[invite76543456789]

Je ne cherche pas a maitriser le formalisme, mon intérêt premier c'est la physique, mais a ce niveau il est impossible de rentrer dans les détails de la physique sans comprendre un minimum de formalisme, en fait j'aimerais une réponse de haut niveau, mais j'ai un faible niveau, il faudrait trouver un juste milieu, pas facile ... Ce que tu m'a expliqué est presque suffisant, si tu pouvait m'en dire un peut plus ça serai super !

Heu, je veux bien t'en dire un peu plus, mais ce serait plus facile si tu avais des questions precises.

Comme je te l'ai dit en premiere approximation (c'est a dire dans 99,9% de la physique a ma connaissance) il n'est pas dommageable de considerer que les bra <r| sont bien partout definis, et sont des kets. Ce qui justifie grosso modo les notations que tu as dans ta formule ci dessus.

Apres for all intents and purposes, tres souvent tu ne travaille pas dans l'espace de Hilbert tout entier, mais dans un un sous espace de celui ci qui est de dimension finie (qui est grosso modo l'espace des paramètres de ton probleme et des resultats possibles) , et là tes soucis disparaissent completement si tu te placent dans le cadre des espace de Hilberts de dimension finie.

[doul11]

J'ai pas de questions précises, mais bon avec ce que tu m'a dit ça ira bien pour le moment

J'y vois un peut plus clair maintenant et je dois me familiariser avec ces notions, merci a tous et a bientôt sur le forum.