Passage du discret au continu

[invite476719f2]

Bonjour,

Je me pose une question en physique sur un certain procédé qu'on utilise couramment, à savoir passer d'une sommation discrète à une sommation continue.

En effet, si on considère par exemple un solide, on dit que sa masse totale est la somme discrète des masses le constituant, et ça c'est ok.
En revanche, le physicien dira que c'est aussi l'intégrale sur le volume de µdV, où dV est choisi suffisamment grand pour pouvoir définir la masse volumique µ (de sorte de pouvoir négliger les fluctuations)
Or ce qui me dérange, c'est le fait que le dV ainsi choisi n'a rien d'infinitésimal (il peut atteindre 10^-3 m^3), donc je trouve le fait de se permettre d'intégrer assez douteux.

Si quelqu'un peut m'éclairer, merci beaucoup.
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[invite476719f2]

Personne pour m'aider svp?

[invite6754323456711]

Personne pour m'aider svp?

Il y a aussi le passage du continu au discret.

Un même "phénomène" peut très bien être décrit par une succession de modèles emboités, d’échelle croissante différentes en alternances (discret/continue/discret).

L'émergence d'un comportement continue "fluide" dans un système composé d’éléments distincts s'exprime, me semble t-il, lorsque le trop grand nombre d'éléments qui le constitue rend inopérant leur description en tant qu'entités distinctes (nombre de degré de liberté trop important) ou lorsque l’échelle d'observation est supérieure à échelle du phénomène élémentaire objet de l'étude. C'est le domaine de la physique statistique ou on s’intéresse au comportement de moyenne locales considéré comme instantanées (concentration moyenne, vitesse moyenne, ...). Les inhomogénéités se moyennent, la description d'un milieu inhomogènes aux petites échelles est remplacé par une description effective à plus grande échelle dans laquelle nous faisons apparaître une homogénéité.


Maintenant mieux vaut attendre une réponse de l'autorité orthodoxe qui fait loi dans ce domaine que de lire mes élucubrations

Patrick

[invitef17c7c8d]

Tout dépend de ton volume d'intégration.
Pense au pont de Millau!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Bonjour,

Je me pose une question en physique sur un certain procédé qu'on utilise couramment, à savoir passer d'une sommation discrète à une sommation continue.

En effet, si on considère par exemple un solide, on dit que sa masse totale est la somme discrète des masses le constituant, et ça c'est ok.
En revanche, le physicien dira que c'est aussi l'intégrale sur le volume de µdV, où dV est choisi suffisamment grand pour pouvoir définir la masse volumique µ (de sorte de pouvoir négliger les fluctuations)
Or ce qui me dérange, c'est le fait que le dV ainsi choisi n'a rien d'infinitésimal (il peut atteindre 10^-3 m^3), donc je trouve le fait de se permettre d'intégrer assez douteux.

Si quelqu'un peut m'éclairer, merci beaucoup.

Salut,

Un peu comme le dit ù100fil, l'important c'est les échelles d'intéret. Si on prend ton exemple pour la masse d'un solide (qui n'est pas tout à fait exactement la somme des masses des constituants mais bon) on aura :

On peut ensuite faire une partition de notre solide en cellules indexées par les "coordonnées" de leur centre .
La masse peut donc exactement s'écrire comme étant :

On peut introduire la taille d'une cellule cubique et ça donne :

Maintenant on peut introduire les coordonnées

La plupart du temps la partition choisie est toujours beaucoup plus fine que la taille du matériau en lui même de telle sorte que
.
On peut écrire toujours rigoureusement :

Le passage au continue se fait lorsque le rapport tend vers zero il nous faut donc le faire apparaitre dans le problème en prenant des variables adimensionnées
, la somme devient alors :

Mathématiquement tout cela est exact et ne constitue pour l'instant que des réécritures. Mais dans le cas qui nous intéresse on en fait :

Où la dernière "égalité " provient de la limite d'une Série de Riemann comme étant une intégrale.

L'important dans ce raisonnement selon moi (même si il n'est pas hyper rigoureux mathématiquement) c'est qu'il traite avec des grandeurs adimensionnées à la fin et que seules ces dernières ont un sens "réel" mathématiquement (en effet toute grandeur dimensionnée dépend de l'unité utilisée cf ton 10^-3 m^3 par exemple qui n'a pas de sens claire en math).
La limite porte sur le rapport et non sur tout seul ou tout seul.

Une fois la formulation intégrale trouvée, on peut après faire un changement de variable et retrouver l'intégrale "physique" habituelle.

Rmque : une façon beaucoup plus rapide de procéder est d'utiliser la mesure de Dirac qui en gros sert à passer du discret au continu rigoureusement et à faire des hypothèses ensuite sur les propriétés de la fonction .

[invite476719f2]

Bonsoir gatsu et merci infiniment pour cette réponse détaillée qui m'éclaire déjà beaucoup. J'aimerais cependant juste savoir une chose à propos de ce passage:

On peut introduire la taille d'une cellule cubique et ça donne :

Etant donné un solide de forme quelconque (mettons sphérique) est-il toujours possible de le partitionner en cellules cubiques qui soient toutes de même taille a?

Encore merci

[invite93279690]

Bonsoir gatsu et merci infiniment pour cette réponse détaillée qui m'éclaire déjà beaucoup. J'aimerais cependant juste savoir une chose à propos de ce passage:



Etant donné un solide de forme quelconque (mettons sphérique) est-il toujours possible de le partitionner en cellules cubiques qui soient toutes de même taille a?

Encore merci

A priori oui. Après tout, on peut calculer le volume d'une sphère en utilisant la mesure de Lebesgues i.e. le volume d'un cube de cotés dx,dy et dz. Il faut juste pas se gourer sur les bornes d'intégration.

P.S. : je note que j'ai fais une erreur de frappe en tappant mon premier message. Ce n'est pas x,y,z << L mais bien a << L comme je le reprécise à la fin.