Hamiltonien de Ginzburg Landau passage discret->continu

[invite58a61433]

Bonjour,

Je me suis mis récemment à la lecture du superbe "Des phénomènes critiques aux champs de jauge" de Le Bellac. Donc pour ceux qui connaissent j'en suis au second chapitre "Théorie de Landau" paragraphe A.3 page 68-69.
La discussion traite du Hamiltonien de Ginzburg et Landau, celui-ci ayant été introduit à partir d'un modèle type modèle d'Ising (réseau carré de pas a) et le paragraphe que je lis traite du passage à la limite continue.

Alors voilà ma question : est un champ de la variable et on écrit le hamiltonien comme :



Et après ça il fait une remarque sur le réseau je cite :

Toutefois on garde un souvenir de la définition initiale sur réseau, où le vecteur d'onde était limité par la condition de Brillouin...

Il ajoute ensuite qu'il faut préciser en plus que si est la transformée de Fourier de , le vecteur d'onde doit-être limité en norme par un cut off de l'ordre de . Voilà, alors en fait je ne vois pas comment intervient ce cut-off ? Qu'est-ce que c'est en pratique ? C'est un critère de validité de la théorie ? J'ai pensé un moment que ça pouvait nous donner une échelle de longueur (de l'ordre de ) que la théorie ne décrivait pas (?) sans grande conviction. Bref quelle est l'interprétation pratique et physique de ce cut-off ?

Merci
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[invitedbd9bdc3]

En gros, (pas le temps d'ecrire les formules, mais je peux preciser), quand une theorie est definit sur un reseau, il faut preciser sur combien de reseau voisin ton champ a une interaction (premier voisin, premier et second, etc...). Cela induit des transformées de fourier discrete, avec un vecteur d'onde discret defini à 2pi/a pres, la zone de brilloin.
Dans la limite du continu, on ne se soucie pas d'ou vient la dispersion (ou dit autrement, l'interaction entre site, ou encore, le terme en gradiant), mais, un fois passer en transformer de fourier, il reste un cut-off ultra-violet de l'ordre de pi/a (car -pi/a<k<pi/a), qui est remanescent de la theorie sur reseau sous jascente.

Ainsi, les theories des champs statistiques sont bien definies dans l'ultra-violet, car elles ont un cut-off naturel et ce n'est qu'en passant dans la limite du continu, avec un cut-off inifini, que les problemes arrivent.

[invite58a61433]

Merci pour la réponse ça éclaircit déjà un peu les origines de ce cut-off. Cependant je ne vois pas quand et surtout comment ça intervient en pratique. Plus explicitement, où est-ce que le cut-off va intervenir dans le calcul de quantités physiques ? Apparemment ça restreint le domaine de définition de la transformée de Fourier mais je vois pas ce que ça implique physiquement et "calculatoirement" .
A moins que ce soit juste un truc mathématique qu'il faut garder en tête mais bon comme ça a l'air d'avoir une importance cruciale en TQC où il n'apparait pas naturellement...

Je suppose que c'est surement traité dans la suite du bouquin (apparemment assez loin quand même ) mais quand on introduit une quantité physique j'aime bien avoir une vague idée de comment ça intervient... Bref j'espère être clair.

[invite54165721]

En theorie des champs pour traiter les divergences survenant aux grandes énergies
un cut off est utilisé temporairement lors de la régularisation des intégrales (intégration de 0 à Lambda)
on utilise le groupe de renormalisation qui en transformant les constantes de couplage fait que les résultats des calculs ne dépendront pas de lambda

Un tel groupe est utilisé pour les réseaux de spin.
passe aux pages 89 et 90.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

Physiquement, le cut-off est tres bien definit tant qu'on reste sur reseau. En physique des particules, c'etait plus discutable à une certaine epoque.

En gros, il y a deux visions. La premiere, historiquement, voudrait que la physique à grande distance (impulsion tendant vers 0) ne depende pas de la physique à courte distance (grande impulsion) et donc du cut-off. Les gens avaient aussi cette idée en physique des particules. Ainsi, pour eux, le cut-off n'avait aucune signification, d'ou l'envoi du cut-off à l'infini (on integre sur toute les impulsions).
Le probleme, c'est que dans la plupart des theories, envoyer le cut-off à l'infini, fait diverger les quantités physique. D'ou l'utilisation de la renormalisation à l'ancienne pour absorber les infinis.

La deuxieme vision (dite wilsonienne), datant des années 70, inverse totalement cette vision des choses. Ici, le cut-off est une quantité physique importante, qui dans le cas d'une theorie (orginairement definie) sur reseau, a toujours la meme signification. Par contre, dans le cas de la physique des particules, le cut-off marque la limite de la theorie, l'energie au dela de laquelle il faut une autre theorie.
Dans cette vision, on definit une theorie à l'echelle du cut-off et on integre progressivement les fluctuations (statistiques, quantiques, les deux...) jusqu'à une echelle d'impulsion inferieure, ce qui permet de definir la theorie à cette echelle plus petite. Dans ce cas, la renormalisation revient à regarder l'influance des grandes eneregies sur la physique de basse energie (cad tres petite devant le cut-off).

[invite54165721]

Bonjour Thwarn

Ce que tu dis sur la relation hautes energies basses energies ne m'évoque vaguement qu'une certaine dualité en théorie des cordes.
Pourrais tu préciser cette relation?

[invite58a61433]

Ok je vois déjà mieux comment et surtout pourquoi ça intervient. Donc l'idée c'est que pour les TSC c'est simplement que considérer l'effet des échelles de longueur inférieur au pas du réseau n'a pas de sens, donc on a une limite sur les échelles de longueur à considérer quand on intègre. Je suis pas sur que ce que je dit sera clair pour quelqu'un qui n'est pas dans ma tête mais je crois bien que ça s'est éclairci pour moi .

Par contre je vois mal comment justifier la procédure dans le cas des TQC, à part dire "ma théorie n'est valable qu'à telle échelle" ce qui arbitraire au possible, mais du coup je me demande bien comment on va choisir un cut-off précis plutôt qu'un autre ? Oui sauf que en me rappelant de ce que dit alovesupreme ça ne dépend pas du cut-off choisi grâce au GR, bref tout ça pour dire que je suis pressé d'atteindre la suite... (allez plus qu'une dizaine de page avant le GR, si je galère pas trop sur les exos ça sera fait ce soir ) En tout cas merci à vous deux pour les explications

[invitedbd9bdc3]

@alovesupreme : tu confonds avec la dualité couplage fort - couplage faible en AdS-CFT (je crois), mais ce n'est pas de ça dont je veux parler (j'y reviens dans la suite).

Meme dans le cas du reseau, on peut envoyer formellement le cut-off à l'infini, ce la signifie juste qu'on oublie totalement le fait que le reseau est à la base de la theorie, on prend la limite du continue ( ce qui revient à remplacer un cos(p) par p², en gros). Le fait que cette limite existe ou qu'elle veuille dire quelque chose est discutable (et je crois meme qu'on ne sait prouver formellement qu'elle existe que dans le cas du gaussien, c'est pour dire l'interet...).

Ensuite, Magnetar à raison, le fait qu'une TQC depende (au moins en physique des particules) explicitement du cut-off peut sembler embetant. Mais meme dans le cas des theories dites renormalisables la dependance dans le cut-off (avant de renormaliser les constantes de couplages) est logarythmique. Ce qui fait que la correction n'est pas bien grosse (et donc on peut ne pas savoir quelle est la valeur de cette echelle de cut-off, il y a pas de grosse dependance).

Ensuite, le fait de savoir que la theorie est juste jusqu'à une certaine echelle n'est pas en soit un probleme, et cette echelle n'est pas forcement arbitraire.
Par exemple, dans le cas des interactions faibles de Fermi, on savait que la theorie n'etait pas fondementale et on connaissait plus ou moins l'echelle de validité (celle de la masse des bosons vecteurs).

Et bien que la theorie precedente n'etait pas renormalisable, on savait que pour le modele standard (qui est renormalisable), il doit y avoir une echelle ou "autre chose" se passe.

Un dernier mot sur le fait que je disais que les hautes energies influent les echelles plus petites.
Quand on a une theorie definie à l'echelle par exemple de la maille du reseau, on connait tous les couplages entre particules/spins/schtroumfs, leurs masses etc... Et meme si il y a 38 couplages, ce que le groupe de renormalisation montre, c'est que seul quelques couplages "relevants" suffise à decrire le systeme à plus grande echelle. La valeur de ces couplages, va dependre des conditions initiales (des valeurs des couplages initiaux sur le reseau). Mais en gros, un systeme de spin de type Ising, peut importe le nombre de couplage à l'echelle du micron, quand on regarde l'influance de deux spins entre eux separés par un centimetre, on peut calculer cette fonction de correlation avec une theorie phi 4. Et c'est le groupe de renormalisation qui permet de premierement justifier cela, deuxiemement, quand on fait du non perturbatif, aller calculer "exactement" l'influance des conditions initiales sur les couplages à grande distance (petite energie).

[invite54165721]

Pour aller dans le sens de Twarn, j'ai retrouvé ce pdf signalé il y a longtemps par Karibou Blanc sur la nouvelle vision de la renormalisation et le rôle qu' y joue le cut off.