Répartition des forces

[invite45bf7ad1]

Bonjour à tous,

Imaginons une table constituée d'un plateau rigide et de 4 pieds que l'on peut représenter par des ressorts de rigidité connue

Maintenant, je place une masse M à une position sur la table (position ponctuelle, on néglige la masse du plateau)

Comment connaître les forces qui vont s'exercer sur chacun des pieds?
Quel est l'outil physique qui permet d'exploiter la géométrie de la table (qui peut être rectangulaire) et de la masse (qui peut être placée n'importe où sur la table) pour connaître la répartition des forces?

Merci à vous!
Greg
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[invitef29758b5]

Salut
L' outil de base :
Si un objet est en équilibre , le moment des forces qui lui sont appliquées est nul en tout point .

Mais 4 pieds , c' est hyperstatique

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Si les pieds ont des ressorts ce n’est plus hyperstatique.
Appelez x1, x2, x3, x4 des déformations de chaque ressort.
Ceci vous permet d’exprimer la force qu’exerce chaque pied en fonction de sa constante ‘k’ qui peut être différente pour chaque pied.
Les conditions d’équilibre sont :
-la somme des forces verticales est zéro (la force totale sur les pieds équilibre le poids de la table et de l’objet).
-Le moment des forces autour de n’importe quel axe est zéro.

Avec une table carrée on peut faire le problème en deux étapes bidimensionnelles. Si vous regardez la table sur un côté, vous additionnez les forces des pieds de gauche puis ceux de droite. Et appliquez les règles d’équilibre.
Cela vous donne la somme des forces des pieds de gauche et de ceux de droite.

Refaite les problème en regardant la table sur un côté à 90°. Cela vous donnera deux autres sommes de forces. À partir de ces 4 valeurs, vous pourrez déduire la force sur chaque pied.
Au revoir.

[invite45bf7ad1]

Ça ne semble pas suffisant

Par exemple, pourquoi la force ne se repartirait pas equitablement entre les 4 pieds, quelle que soit la position de la masse?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mécano41]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas essayé et je me trompe peut-être mais il me semble qu'il faut dire également qu'après leurs déplacements x1, x2, x3 et x4, les 4 points correspondants sont toujours dans un même plan (puisque le sol et le plateau sont considérés comme infiniment rigides)...

Cordialement

[invitef29758b5]

Tu ne te trompe pas , c' est la condition qui permet de résoudre le problème .
Sans cette condition , on a 3 équations pour 4 inconnues .

[invite45bf7ad1]

Prenons le cas le plus simple:



Quel est le lien entre f1, f2 et mg?

[invite45bf7ad1]

J'ajouterais dans mon cas qu'on peut supposer que la rigidité des pieds est très grande: la table ne vas pas beaucoup s'incliner

[invite6dffde4c]

Bonjour à tous,

Je n'ai pas essayé et je me trompe peut-être mais il me semble qu'il faut dire également qu'après leurs déplacements x1, x2, x3 et x4, les 4 points correspondants sont toujours dans un même plan (puisque le sol et le plateau sont considérés comme infiniment rigides)...

Cordialement

Re.
Moi aussi je me suis posé la question.
Mais finalement, ce que l’on cherche ce sont 4 forces.
Et pour les 4 forces le nombre d’équations me semble correct.
Maintenant il est possible ( ??) que ces 4 forces ne soient pas compatibles avec les déplacements qui correspondent à un plan.
A+

[mécano41]

Bonsoir à tous,

Voici un calcul appliqué. J'ai mis exprès des raideurs faibles pour voir les déplacements.

J'ai considéré que :

- les 4 pieds on la même longueur et la même raideur
- les 4 pieds sont entre deux plans parallèles et touchent donc déjà le sol avant chargement

...à vérifier (si possible par une autre méthode)...et à adapter au besoin. Si tu as besoin de l'expression symbolique des déplacements, il faudra traiter la résolution des équations sur MAXIMA ou autre (... ou à la main si tu es courageux voire téméraire!).

Cordialement

[invite45bf7ad1]

Bonjour,
Merci beaucoup pour ce travail!
Donc en gros il y a (1) la contrainte du plan, (2) la contrainte de l'équilibre des forces
A quoi correspondent (3) et (4)?

[invite45bf7ad1]

Equilibre des moments, d'ou l'absence du point A qui est sur l'axe z, c'est bien ça?
On suppose que la table est statique en l'occurence, c'est bien ça?
Dans le cas ou des négatifs apparaissent, peux t-on imaginer que si on changeait le modèle pour que les pieds soit "accrochés" au sol, on "tirerait" sur le ressort?

[mécano41]

Je l'ai indiqué : c'est l'équilibre des moments des forces par rapport à Oy puis par rapport à OX...(il faut somme des moments = 0 dans les deux sens)

Cordialement

[mécano41]

Equilibre des moments, d'ou l'absence du point A qui est sur l'axe z, c'est bien ça?
On suppose que la table est statique en l'occurence, c'est bien ça?
Dans le cas ou des négatifs apparaissent, peux t-on imaginer que si on changeait le modèle pour que les pieds soit "accrochés" au sol, on "tirerait" sur le ressort?

Oui, c'est cela.

Cordialement

[invite6dffde4c]

Re-bonjour Mécano41.
Je n’ai pas eu le courage de faire le calcul à la main. Mais j’ai regardé quelques exemples (tout comme vous, évidement) et les résultats semblent parfaitement cohérents.
(J’admire votre maîtrise d’Excel).
Cordialement,

[invite45bf7ad1]

Mais A n'est pas forcément sur l'axe A0A1, vrai?

[invite45bf7ad1]

Si XA=XA0=XA1 et ainsi de suite, il faudrait que le plateau s'agrandisse lorsque l'on appuie pas au centre pour respecter ces contraintes, non?

[mécano41]

On raisonne sur la raideur axiale des pieds, cela veut dire que les déplacements sont très faibles et, tout comme en RDM, on dit que pour un angle très faible le sinus est égal à la tangente donc on considère que tout reste sur des axes verticaux...

Cordialement

[invitef29758b5]

Mais finalement, ce que l’on cherche ce sont 4 forces.
Et pour les 4 forces le nombre d’équations me semble correct.

Sans les ressorts ;
3 équations pour 4 forces .
2 équation de moment (en X et en Y) et une équation de résultantes (en Z) .
Toute équation supplémentaire est déductible de ces trois là
On peut aussi sortir 2 équations de moment par rapport à un pied et 2 par rapport à un autre pied , mais , idem , la quatrième se déduit des 3 autres .

[invite45bf7ad1]

Merci en tout cas pour vos réponses rapides et précises
Et effectivement, mention excel pour mécano41

[invite390cec8f]

Bonjour à tous pourriez vous m aider avec mon problème je comprends rien ]merci