Statistique de Fermi pour un gaz classique

[Christian Arnaud]

Amis de la physique classique, bonjour

Au détour d'une lecture studieuse ("Matière et Lumière" de De Broglie, merci Pekin), p255, je lis :

"Or le développement de la Mécanique ondulatoire a conduit M. Fermi à une théorie des gaz très différente.Dans cette nouvelle théorie, deux des individus formant le gaz ne peuvent jamais avoir la même énergie, le même état de mouvement. Voilà qui paraît au premier abord bien paradoxal ! Comment un atome situé à une extrémité du récipient contenant le gaz peut-il empêcher un autre atome situé à l'autre extrémité du récipient de posséder le même état de mouvement que lui ? Celà ne paraît guère explicable que si, en un certain sens du moins, chaque individu du gaz remplit tout le récipient"

En cherchant à en savoir plus, je ne trouve malheureusement que des textes portant sur les gaz d'électrons, mais rien sur les gaz classiques atomiques ou moléculaires , à part la loi de Maxwell

Pouvez vous m'aider ? Merci
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[gatsu]

Amis de la physique classique, bonjour

Au détour d'une lecture studieuse ("Matière et Lumière" de De Broglie, merci Pekin), p255, je lis :

"Or le développement de la Mécanique ondulatoire a conduit M. Fermi à une théorie des gaz très différente.Dans cette nouvelle théorie, deux des individus formant le gaz ne peuvent jamais avoir la même énergie, le même état de mouvement. Voilà qui paraît au premier abord bien paradoxal ! Comment un atome situé à une extrémité du récipient contenant le gaz peut-il empêcher un autre atome situé à l'autre extrémité du récipient de posséder le même état de mouvement que lui ? Celà ne paraît guère explicable que si, en un certain sens du moins, chaque individu du gaz remplit tout le récipient"

En cherchant à en savoir plus, je ne trouve malheureusement que des textes portant sur les gaz d'électrons, mais rien sur les gaz classiques atomiques ou moléculaires , à part la loi de Maxwell

Pouvez vous m'aider ? Merci

Salut,

Il faut comparer l'extension quantique typique d'une particule (en l'occurence ici des atomes ou molecules) qui est la longueur thermique de de Broglie avec l'espacement typique entre les particules qui depend de la densité de particule en fait et qui est .

Si , alors les atomes se voient suffisament pour qu'ils doivent chacun faire gaffe a ne pas avoir la meme vitesse disons.
Si , alors les atomes sont essentiellement localises et ils ne se voient pas de manière quantique et on s'en fout de savoir si ce sont des fermions ou des bosons.

Note que la taille de la boite n'a rien a faire la dedans.

[Christian Arnaud]

Salut,

Il faut comparer l'extension quantique typique d'une particule (en l'occurence ici des atomes ou molecules) qui est la longueur thermique de de Broglie avec l'espacement typique entre les particules qui depend de la densité de particule en fait et qui est .

Si , alors les atomes se voient suffisament pour qu'ils doivent chacun faire gaffe a ne pas avoir la meme vitesse disons.
Si , alors les atomes sont essentiellement localises et ils ne se voient pas de manière quantique et on s'en fout de savoir si ce sont des fermions ou des bosons.

Note que la taille de la boite n'a rien a faire la dedans.

bonjour gatsu

si je comprends bien , la stat de fermi ne s'applique aux gaz classiques qu'à partir d'un seuil d'agitation thermique, et alors on assimile ce gaz à un gaz de fermions, et on applique une approche quantique ? Mais tous les atomes ou molécules n'ont pas un spin demi-entier et certains sont des bosons, non ? et dan ce cas la règle d'exclusion de Pauli étendue ne s'applique pas, ou bien j'ai loupé une marche ?

[gatsu]

bonjour gatsu

si je comprends bien , la stat de fermi ne s'applique aux gaz classiques qu'à partir d'un seuil d'agitation thermique,

oui c'est ca. Ou on peut dire aussi, les stats. quantiques ne deviennent importantes qu'en dessous de certaines temperatures.

et alors on assimile ce gaz à un gaz de fermions, et on applique une approche quantique ? Mais tous les atomes ou molécules n'ont pas un spin demi-entier et certains sont des bosons, non ? et dan ce cas la règle d'exclusion de Pauli étendue ne s'applique pas, ou bien j'ai loupé une marche ?

le caractère bosonique est important aussi et doit être entendu dans l'appellation "statistiques quantiques" en general.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Christian Arnaud]

le caractère bosonique est important aussi et doit être entendu dans l'appellation "statistiques quantiques" en general.

Mais alors, pourquoi cette exclusion de type Pauli s'appliquerai-t-elle à n'importe quel gaz qu'il soit fermionique ou bosonique, comme dans l'extrait cité dans le premier message ? Normalement, c'est réservé aux fermions, non ?

[gatsu]

Mais alors, pourquoi cette exclusion de type Pauli s'appliquerai-t-elle à n'importe quel gaz qu'il soit fermionique ou bosonique, comme dans l'extrait cité dans le premier message ? Normalement, c'est réservé aux fermions, non ?

je n'avais pas compris que c'était ca le problème. Je vais m'aventurer a dire que c'est parce qu'a l'époque la statistique de Bose n'existait pas et d'ailleurs la statistique de Fermi non plus; seul le principe d'exclusion existait; de Broglie a sans étendu ce principe a tous les objets identiques relevant du regime quantique.

[Christian Arnaud]

je n'avais pas compris que c'était ca le problème. Je vais m'aventurer a dire que c'est parce qu'a l'époque la statistique de Bose n'existait pas et d'ailleurs la statistique de Fermi non plus; seul le principe d'exclusion existait; de Broglie a sans étendu ce principe a tous les objets identiques relevant du regime quantique.

Le bouquin date de 1937, et apparemment la stat de Fermi existait bien, mais pas celle de Bose-Einstein. En tout cas, ça ne vient pas de De Broglie, il ne fait que citer Fermi

A propos du principe d'exclusion de Pauli : est-ce qu'on sait si c'est une règle/un principe proposé ex-nihilo, pragmatiquement, ou bien a-t-on pu le faire émerger par la suite comme conséquence du modèle standard ?

[gatsu]

Le bouquin date de 1937, et apparemment la stat de Fermi existait bien, mais pas celle de Bose-Einstein. En tout cas, ça ne vient pas de De Broglie, il ne fait que citer Fermi

J'etais pas sur pour Fermi mais pour Bose j'en étais presque certain.

A propos du principe d'exclusion de Pauli : est-ce qu'on sait si c'est une règle/un principe proposé ex-nihilo, pragmatiquement, ou bien a-t-on pu le faire émerger par la suite comme conséquence du modèle standard ?

j'ecris justement un article sur le sujet en ce moment meme .

Donc non a l'heure actuelle le principe de Pauli ou, de nos jours, le principe étendu dit de (anti)symmetrisation de la fonction d'onde est un truc que l'on doit ajouter a la main dans toutes les theories quantique a notre disposition a l'heure actuelle. Il y a par ailleurs des ambiguïtés qui persistent, et auxquelles je m'intéresse, sur la distinction entre les modèles nécessaires et les modèles suffisants pour respecter ces principes.

[Christian Arnaud]

j'ecris justement un article sur le sujet en ce moment meme .

Donc non a l'heure actuelle le principe de Pauli ou, de nos jours, le principe étendu dit de (anti)symmetrisation de la fonction d'onde est un truc que l'on doit ajouter a la main dans toutes les theories quantique a notre disposition a l'heure actuelle. Il y a par ailleurs des ambiguïtés qui persistent, et auxquelles je m'intéresse, sur la distinction entre les modèles nécessaires et les modèles suffisants pour respecter ces principes.

Je crois que je suis tombé pile-poil sur tes préoccupations

[Christian Arnaud]

Salut,



Si , alors les atomes se voient suffisament pour qu'ils doivent chacun faire gaffe a ne pas avoir la meme vitesse disons.


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bonjour gatsu

Tu voulais dire quoi ? Des contraintes entre fonctions d'onde ?

Et, sinon, tu veux laisser ton nom à la postérité avec tes travaux? genre "les conditions de Gatsu", comme on a "les inégalités de Bell" ?

[gatsu]

bonjour gatsu

Tu voulais dire quoi ? Des contraintes entre fonctions d'onde ?

c'est ce que dit le principe de Pauli non ? Que deux particules ne peuvent pas avoir la même fonction d'onde.

Et, sinon, tu veux laisser ton nom à la postérité avec tes travaux? genre "les conditions de Gatsu", comme on a "les inégalités de Bell" ?

rien de si ambitieux, j'essaie juste de faire comprendre qu'à part les statistiques usuelles de Fermi et Dirac, il existe une autre classe bien plus vaste appelée para-statistique et, contrairement à ce que les gens pensent, cette statistique ne conduit à aucune incohérence ni avec le reste de la théorie ni avec les expériences.

[Christian Arnaud]

c'est ce que dit le principe de Pauli non ? Que deux particules ne peuvent pas avoir la même fonction d'onde. non ? .

Tout à fait, ...Thierry

rien de si ambitieux, j'essaie juste de faire comprendre qu'à part les statistiques usuelles de Fermi et Dirac, il existe une autre classe bien plus vaste appelée para-statistique et, contrairement à ce que les gens pensent, cette statistique ne conduit à aucune incohérence ni avec le reste de la théorie ni avec les expériences.

Bon, là, c'est plus pour moi, ça

Merci pour ce dialogue Gatsu, et bonne chance avec tes étudiants (Quelle idée de ne pas comprendre que l'analyse dimensionnelle va de soi!)

[Christian Arnaud]

bonjour gatsu

une dernière question dans ta spécialité, si tu veux bien

on lit souvent des phrases comme "les fermions (particules de spin demi-entier) suivent la statistique de Fermi-Dirac, et les bosons (spin entier) celle de Bose-Einstein" sans qu'il soit précisé si c'est un constat expérimental ou bien si c'est une conséquence démontrable d'un élément plus basique.

As-tu une idée là dessus ? Merci

[gatsu]

bonjour gatsu

une dernière question dans ta spécialité, si tu veux bien

on lit souvent des phrases comme "les fermions (particules de spin demi-entier) suivent la statistique de Fermi-Dirac, et les bosons (spin entier) celle de Bose-Einstein" sans qu'il soit précisé si c'est un constat expérimental ou bien si c'est une conséquence démontrable d'un élément plus basique.

As-tu une idée là dessus ? Merci

À ce jour c'est un constat expérimental.

Il existe plein de "démonstrations" de ce postulat qui laissent croire qu'ilest dérivable d'hypothèses très simples et naturelles.

Les deux plus connues sont l'une qui se trouve dans le bouquin de Landau sur la MQ et l'autre est le fameux théorème spin-statistique de la théorie quantique des champs.

La preuve de Landau supposement montre qu'il n'y a que deux types de statistiques possibles , mais il est avérée que la "preuve" est logiquement circulaire.

Quant au théorème spin-statistique, il dit la chose suivante "si les particules ne peuvent avoir que deux statistiques possibles : fermions ou bosons, alors les particules de spin demi-entier ne peuvent pas être des bosons et les particules de spin entier ne peuvent pas être des fermions ". La preuve est aussi contrainte par une nécessité de l'invariance de Lorentz et des hypothèses plus ou moins naturelles.

Les deux preuves partent donc essentiellement de prémisses qui ne sont que des inférences sur les contraintes imposees par l'expérience qui ne sont pas dérivables des autres postulats de la MQ.

Pour cette raison Albert Messiah a énormément travaillé dans les années 60s pour montrer expérimentalement qu'il n'y avait bien que deux statistiques possibles. Certaines de ses conclusions sont encore débattues aujourd'hui.

[stefjm]

rien de si ambitieux, j'essaie juste de faire comprendre qu'à part les statistiques usuelles de Fermi et Dirac, il existe une autre classe bien plus vaste appelée para-statistique et, contrairement à ce que les gens pensent, cette statistique ne conduit à aucune incohérence ni avec le reste de la théorie ni avec les expériences.

Bonjour,
Un nombre entier est exclusivement pair ou impair.
Ce n'est pas le cas d'un couple de nombre, qui peut être pair, impair ou ni l'un ni l'autre.
Voir le dernier exemple de l'article :
http://images.math.cnrs.fr/Metres-ki...-secondes.html
(En plus, le début parle de produit de pommes et de poires...)
Cordialement.

[Christian Arnaud]

Bonjour,
Un nombre entier est exclusivement pair ou impair.
Ce n'est pas le cas d'un couple de nombre, qui peut être pair, impair ou ni l'un ni l'autre.

http://images.math.cnrs.fr/Metres-ki...-secondes.html
(En plus, le début parle de produit de pommes et de poires...)

Un peu tiré par les cheveux, le rapport entre ton article et ce fil, me semble-t-il, bien qu'on y parle un peu de fermions et de bosons
Je crois plutôt que tu veux relancer la discussion ouverte par gatsu sur l'analyse dimensionnelle Et là, il me semblerait plus pertinent, non ?

[Christian Arnaud]

À ce jour c'est un constat expérimental.

Ok ; j'avais bien trouvé ça :https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...lectriques.pdf (à partir de la page 28), mais on y retrouve comme base, l'élément que tu as déjà cité : la symétrie ou l'anti-symétrie de la fonction d'onde Et tu dois connaitre ça par coeur

[gatsu]

Ok ; j'avais bien trouvé ça :https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...lectriques.pdf (à partir de la page 28), mais on y retrouve comme base, l'élément que tu as déjà cité : la symétrie ou l'anti-symétrie de la fonction d'onde Et tu dois connaitre ça par coeur

En effet, je connais bien.

D'ailleurs, je ne suis pas d'accord avec ce qui est dit. Les fermions ne sont pas des particules de spin demi-entier, ce sont des particules qui obéissent à la statistique de Fermi-Dirac qui elle même ne fait qu'imposer en gros le principe d'exclusion de Pauli. Il se trouve que, dans les cas les plus courants, les particules identiques de spin demi-entier ne peuvent être que des fermions si on leur laisse le choix entre être fermions ou bosons. Par ailleurs, même ce résultat très restreint n'est plus nécessairement valable pour des espaces de dimensions différentes de 3. Les électrons à deux dimensions par exemple ont une statistique dite anyonique qui n'est ni fermionique ni bosonique ni une combinaison de ces deux comportements.

[Christian Arnaud]

Par ailleurs, même ce résultat très restreint n'est plus nécessairement valable pour des espaces de dimensions différentes de 3. Les électrons à deux dimensions par exemple ont une statistique dite anyonique qui n'est ni fermionique ni bosonique ni une combinaison de ces deux comportements.

ah, ok, et c'est peut-être ce que voulait dire stefjm, ....finalement ?

Mais comment peux-tu écrire "ne peuvent être que des fermions si on leur laisse le choix entre être fermions ou bosons" ? une particule choisit son genre ?

[stefjm]

ah, ok, et c'est peut-être ce que voulait dire stefjm, ....finalement ?

Pas moi, Etienne Ghys.

[Christian Arnaud]

Pas moi, Etienne Ghys.

oui, ok ; tu aimes bien poser des énigmes, style.... Père Fouras, j'ai l'impression J'avoue qu'à un moment tu voulais préciser que si la fonction d'onde n'avait que deux natures possibles, il ne fallait pas oublier d'y adjoindre le spin, et que, là, on pouvait avoir n'importequoi, mais c'était trop naïf de ma part

[gatsu]

ah, ok, et c'est peut-être ce que voulait dire stefjm, ....finalement ?

Mais comment peux-tu écrire "ne peuvent être que des fermions si on leur laisse le choix entre être fermions ou bosons" ? une particule choisit son genre ?

On a une théorie de l'électron avec un champ de bispineur à notre disposition. Lorsqu'on quantifie le champ, il faut choisir quelle statistique vont avoir les excitations élémentaires du champ. Dans 98% des cours sur le sujet, on laisse deux choix de statistiques possibles aux excitations élémentaires et on montre que des résultats incohérents surgissent si on demande à des électrons d'être des bosons et inversement si on demande à des photons par exemple, d'être des fermions.

[Christian Arnaud]

On a une théorie de l'électron avec un champ de bispineur à notre disposition. Lorsqu'on quantifie le champ, il faut choisir quelle statistique vont avoir les excitations élémentaires du champ. Dans 98% des cours sur le sujet, on laisse deux choix de statistiques possibles aux excitations élémentaires et on montre que des résultats incohérents surgissent si on demande à des électrons d'être des bosons et inversement si on demande à des photons par exemple, d'être des fermions.

bon, j'avais compris que ça allait être déconcertant, mais là, c'est simple,! ce n'est jamais que la preuve par l'absurde à la sauce physique statistique

[Christian Arnaud]

en fouillant un peu, j'ai l'impression que la nécessité q'une fonction d'onde concernant plusieurs particules de même nature d'être soit symétrique, soit anti-symétrique (même chose pour le ket comprenant le spin) provient directement du principe d'indicernabilité

Mais , à son tour, d'où vient ce principe d'indicernabilité ? (qui, après tout, conduit à la distinction fermions/bosons et règle de Pauli )

[gatsu]

en fouillant un peu, j'ai l'impression que la nécessité q'une fonction d'onde concernant plusieurs particules de même nature d'être soit symétrique, soit anti-symétrique (même chose pour le ket comprenant le spin) provient directement du principe d'indicernabilité
Mais , à son tour, d'où vient ce principe d'indicernabilité ? (qui, après tout, conduit à la distinction fermions/bosons et règle de Pauli )

C'est bien la le problème, l'indiscernabilite n'est pas un principe c'est un adjectif que l'on associe a certaines particules "de meme nature" dans un contexte particulier. Et le principe d'(anti)symmetrisation de la fonction d'onde stipule que pour des particules identiques et indiscernables, on doit avoir une fonction d'onde completement antisymétrique ou symétrique sous n'importe quelle permutation de deux particules (note que ce principe encore une fois ne derive d'aucun postulat de la MQ).

Ce qui est sur, c'est qu'en pratique appliquer ce principe a toutes particules identiques "au cas ou" fonctionne plutôt bien. Mais rien n'indique que c'est la seule manière de faire. Par exemple quelle stratégie adopter pour un fluide d'atomes contenant deux isotopes differents ? Peut on dire que c'est le meme atome avec une valeur d'observable du nombre de nucleons qui n'est juste pas le meme ? Si non, pourquoi ?
La meme question peut être entendue a la physico-chimie de l'eau liquide par exemple pour laquelle les molecules d'eau ont souvent des isotopes de l'hydrogène qu'elles peuvent s'échanger; un deuterium ne reste donc pas en principe toujours sur la meme molecule d'eau...a nouveau que faut il dire alors ? Que les molecules sont indiscernables ou discernables ?

Cette ambiguité sur le sens (et l'utilisation que l'on en fait pour la modelisation) du mot "indiscernable" est recurrent en physique statistique mais aussi en physique des particules. Par exemple, la ou pour la plupart des processus chimiques il est commun de considerer les neutrons et les protons comme des particules différentes (évidemment pourrait on dire puisqu'elles n'ont pas la meme charge), il est assez courant en physique nucléaire et des hautes energies de les considérer comme une seule particule, le nucleon, qui peut avoir deux projections possible d'une quantité appelée isospin qui est formellement similaire au spin (le fait que deux particules d'isospin different n'aient pas la meme charge électrique est ici anecdotique).

PS.: note que vu que le principe d'(anti)symmetrisation de la fonction d'onde stipule que pour des particules identiques et indiscernables, on doit avoir une fonction d'onde completement antisymétrique ou symétrique sous n'importe quelle permutation de deux particules, cela implique que l'on ne peut pas définir des particules indiscernables comme étant de particules ayant cette propriété de symétrie de la fonction d'onde sous peine d'avoir une definition circulaire....ce qui est assez frequent en physique d'ailleurs.

[Christian Arnaud]

C'est bien la le problème, l'indiscernabilite n'est pas un principe c'est un adjectif que l'on associe a certaines particules "de meme nature" dans un contexte particulier......

sous peine d'avoir une definition circulaire....ce qui est assez frequent en physique d'ailleurs.

merci pour cette réponse gatsu ; je pressentais une embrouille circulaire en effet , mais là, ça suffira pour aujourd'hui pour moi , j'essaierai de continuer demain

[Christian Arnaud]

quoique......je conçois très bien que lorsque deux solitons se croisent on ne discerne plus lequel est lequel, puis chacun se sépare et on retrouve les deux, mais ceci est une autre histoire

[azizovsky]

Bonsoir, d'après ce que j'ai compris, l'indiscernabilité est dû à l'INVARIANCE des propriétés physiques dans tous échange des variables dynamiques des particules dans un système, et invariance implique une certaine SYMETRIE (de permutation).

[gatsu]

quoique......je conçois très bien que lorsque deux solitons se croisent on ne discerne plus lequel est lequel, puis chacun se sépare et on retrouve les deux, mais ceci est une autre histoire

Oui mais cela est toujours vrai, que les solitons soient identiques ou pas. Pour rester dans la physico chimie, on peut imaginer la réaction H2O + HO- ---> H2O + HO-

Au cours de cette réaction deux mécanismes sont possibles : 1) les molécules passent l'une à côté de l'autre sans se voir grosso modo ou bien 2) les molécules échangent un proton.

Ainsi, le fait de ne pas savoir "qui est qui" a un instant donne n'est pas l'apanage des particules identiques et n'est pas un bon argument je pense pour définir ou caractériser des particules indiscernables.

[Christian Arnaud]

Bonsoir, d'après ce que j'ai compris, l'indiscernabilité est dû à l'INVARIANCE des propriétés physiques dans tous échange des variables dynamiques des particules dans un système, .

bonjour,

excuse moi, mais pour moi, c'est du charabia tu as un lien, stp ?