Loi de Fick et irréversibilité de la diffusion d'une goutte d'encre dans l'eau

[chaverondier]

Bonjour,

Dans Clearing up mysteries : the original goal, aout 1988, St John's College, Cambridge, E.T. Jaynes nous présente son mode d'obtention de la loi de de diffusion d'une solution sucrée dans l'eau et de la constante de diffusion D. Il montre de quelle façon ce résultat, rompant la symétrie T comme il se doit pour tout phénomène irréversible, peut-être obtenu par inférence Bayésienne en tenant compte d'une information préalable : la distribution n(z) du sucre dans l'eau à l'instant t - tau précédant l'instant t considéré.

La durée tau est supposée grande devant les temps caractéristiques des petits mouvements des particules de sucre dus à l'agitation thermique de la solution. On considère, pour simplifier, un cas où la position x des particules de sucre est un scalaire (problème monodimensionnel). Pour concentrer l'attention sur l'objet de ma question, E.T. Jaynes nous dit finalement ceci :

Si, à l'instant t, une particule de sucre se trouve en x :

* Cette particule a autant de chances d'aller vers la droite que vers la gauche à t+tau (parce que la solution est trop diluée pour avoir un impact sur le mouvement des particules de sucres)
La probabilité que cette particule se retrouve en y à l'instant t+tau est une gaussienne :
p(y si x) = B exp [-(y-x)²/(2 sigma²(tau))]

* Cette particule a, au contraire, plus de chances de venir de la gauche que de venir de la droite à t-tau si il y a plus de sucre à gauche qu'à droite. La probabilité que cette particule vienne de la position z occupée à l'instant t-tau est alors une gaussienne multipliée par un facteur dépendant de la densité connue n(z) :
p(z si x) = K p(x si z) p(z) = A n(z) exp [-(z-x)²/(2 sigma²(tau))]

Le raisonnement semble imparable...
...Mais finalement qu'est-ce qui fait que ce raisonnement marche dans le sens passé futur et pas dans le sens futur passé ? C’est parce qu'on en a connaissance que le passé est le passé et parce qu'on n'en a pas de souvenir que le futur est le futur ?
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[obi76]

Bonjour,

les hypothèses posées sont en 1D ? Si oui on a déjà montré que les lois de diffusion sont complètement fausses dans ce cas.

[invite93279690]

Le raisonnement semble imparable...
...Mais finalement qu'est-ce qui fait que ce raisonnement marche dans le sens passé futur et pas dans le sens futur passé ? C’est parce qu'on en a connaissance que le passé est le passé et parce qu'on n'en a pas de souvenir que le futur est le futur ?

Le raisonnement en inversant le temps donne le même résultat non i.e. diffusion de la goutte d'encre ? C'est comme l'équation de Boltzmann qui raconte que avec t ou -t le résultat est le même, l'entropie augmente dans les deux sens. Cela souligne juste le caractère singulier des conditions initiales.

Au final, il n'y a pas de distinction réelle entre passé et futur mais entre macroetat improbable et macroetat typique.

[invite93279690]

Bonjour,

les hypothèses posées sont en 1D ? Si oui on a déjà montré que les lois de diffusion sont complètement fausses dans ce cas.

Tu fais référence à la single-file diffusion dans un gaz de Tonks ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

C'est comme l'équation de Boltzmann qui raconte que avec t ou -t le résultat est le même, l'entropie augmente dans les deux sens. Cela souligne juste le caractère singulier des conditions initiales.
Au final, il n'y a pas de distinction réelle entre passé et futur mais entre macroetats improbables et macroetats typiques.

Ce point là, je l'avais très bien compris. Il se visualise très bien, par exemple avec :

* un "grand" carré (l'espace de phase) avec une "bille" (le microétat du système considéré) se déplaçant dans les limites de ce carré,

* carré parsemé de très nombreux emplacements représentant des microétats possibles,

* un découpage du carré par des droites parallèles à une diagonale partant, mettons, du coin supérieur droit,

* ces parallèles étant de plus en plus éloignées de ce coin selon une série géométrique ayant une "grosse" raison géométrique,

* les macroétats correspondant aux bandes d'emplacements compris entre ces parallèles,

* le dernier macroétat (le macroétat d'entropie maximale, c'est à dire comprenant le plus d'emplacements) contenant une très très large majorité des emplacements possibles (presque tout le carré).

Le macroétat final est ce dernier macroétat quel que soit le macroétat initial.

C'est dans le sens normal d'écoulement du temps que nous observons une évolution se terminant par l'état final (et ce quel que soit le macroétat initial, un peu comme une bille que l'on lâche sur le bord d'un bol. Elle termine toujours au fond). C'est en fait ça (je suppose) qui définit le sens observé d'écoulement du temps (et non une sorte de sens préexistant d'écoulement du temps qui serait, en quelque sorte, la cause d'une évolution vers des macroétats finals de probabilité maximale). Dans une évolution à rebrousse-temps, le microétat (la bille) peut évoluer au contraire vers des macroétats de faible probabilité (bandes du carré comprise entre deux parallèles proches du coin supérieur droit).

Le raisonnement en inversant le temps donne le même résultat non i.e. diffusion de la goutte d'encre ?

Je le sais bien. Ce que je ne parviens pas à voir c'est où se situe les considérations de macroétats dans le raisonnement selon lequel, pour une solution de densité n(z) à l'instant t-tau et pour une particule occupant à l'instant t la position x (on va dire qu'elle est 3D si c'est nécessaire) :

* la distribution de probabilités de la position y à l'instant t+tau est définie par p(y si x) = B exp[(y-x)²/(2 sigma(tau))²] (1)

* la distribution de probabilités de la position z à l'instant t-tau est définie par p(z si x) = K p(z) p(x si z) = A n(z) exp[(z-x)²/(2 sigma(tau))²] (2)

Bref, dans le sens normal d'écoulement du temps (tau >0):

* la particule a autant de chances d'aller à droite qu'à gauche à t+tau (en haut qu'en bas, devant que derrière s'il faut être en 3D pour pouvoir poser la question de la bonne façon)

* la particule a plus de chances de venir, à t-tau, d'un endroit où il y a plus de sucre (dans l'article de ET Jaynes, c'est du sucre, pas de l'encre) que d'un endroit où il y en a moins.

Ce qui me gène dans la compréhension physique de l'équation (2), c'est le lien qui est fait par ET Jaynes avec la notion d'information préalable, la connaissance de la distribution de n(z) (équation (2)).

En quoi la prise en compte d'une connaissance préalable (la distribution de densité du sucre n(z)) dans l'inférence (2) peut-elle avoir un quelconque effet sur un phénomène d'apparence aussi objectif que celui de ma goutte d'encre (ou de sucre, peu importe) qui se diffuse irréversiblement dans une solution (d'une façon que je trouve tout aussi visuelle que mon histoire de carré (l'espace de phase) découpé en bandes de plus en plus larges (les macroétats) par des droites parallèles à l'une de ses diagonales) ?

[obi76]

Tu fais référence à la single-file diffusion dans un gaz de Tonks ?

Je ne connais pas le détail, mais un collègue a fait sa thèse dessus, et (en simplifiant) il m'a clairement dit que la loi de Fick n'était valable qu'à partir de la 2D. D'où la question sur les hypothèses posées.

[invite93279690]

Je le sais bien. Ce que je ne parviens pas à voir c'est où se situe les considérations de macroétats dans le raisonnement selon lequel, pour une solution de densité n(z) à l'instant t-tau et pour une particule occupant à l'instant t la position x (on va dire qu'elle est 3D si c'est nécessaire) :

* la distribution de probabilités de la position y à l'instant t+tau est définie par p(y si x) = B exp[(y-x)²/(2 sigma(tau))²] (1)

* la distribution de probabilités de la position z à l'instant t-tau est définie par p(z si x) = K p(z) p(x si z) = A n(z) exp[(z-x)²/(2 sigma(tau))²] (2)

Bref, dans le sens normal d'écoulement du temps (tau >0):

* la particule a autant de chances d'aller à droite qu'à gauche à t+tau (en haut qu'en bas, devant que derrière s'il faut être en 3D pour pouvoir poser la question de la bonne façon)

* la particule a plus de chances de venir, à t-tau, d'un endroit où il y a plus de sucre (dans l'article de ET Jaynes, c'est du sucre, pas de l'encre) que d'un endroit où il y en a moins.

Ce qui me gène dans la compréhension physique de l'équation (2), c'est le lien qui est fait par ET Jaynes avec la notion d'information préalable, la connaissance de la distribution de n(z) (équation (2)).

En quoi la prise en compte d'une connaissance préalable (la distribution de densité du sucre n(z)) dans l'inférence (2) peut-elle avoir un quelconque effet sur un phénomène d'apparence aussi objectif que celui de ma goutte d'encre (ou de sucre, peu importe) qui se diffuse irréversiblement dans une solution (d'une façon que je trouve tout aussi visuelle que mon histoire de carré (l'espace de phase) découpé en bandes de plus en plus larges (les macroétats) par des droites parallèles à l'une de ses diagonales) ?

La distribution n(z) n'est pas une quantité conservée par la dynamique. Dès lors que tu as une information sur cette dernière à un instant donné, tu as plus d'information que dans une situation d'équilibre statistique. C'est cet aspect qui compte. Ici, le fait de savoir est aussi important pour arriver à la bonne conclusion que dans le moteur de Szilard par exemple. Si tu es daltonien par exemple, tu ne verras pas la diffusion de la goutte d'encre.

[invite93279690]

Je ne connais pas le détail, mais un collègue a fait sa thèse dessus, et (en simplifiant) il m'a clairement dit que la loi de Fick n'était valable qu'à partir de la 2D. D'où la question sur les hypothèses posées.

La seule explication que je vois concerne la single-file diffusion qui ne concerne pas la loi de Fick mais le caractère sous diffusif d'une particule taguee dans un gaz de sphères dures unidimensionnel. Mais si tu as le nom de la personne, j'aimerais bien y jeter un coup d'oeil pour être sûr.

[chaverondier]

La distribution n(z) n'est pas une quantité conservée par la dynamique. Dès lors que tu as une information sur cette dernière à un instant donné, tu as plus d'information que dans une situation d'équilibre statistique. C'est cet aspect qui compte.

Cette fois j'ai compris et je m'aperçois (c'est toujours plus facile après) que la réponse était évidente :

Quand le système est dans un macroétat peu probable (un état éloigné de la situation d'équilibre donc), j'en sais plus sur mon microétat (il me manque moins d'information -I = S = ln(nombre de microétats possibles) ) que quand il est dans un macroétat plus probable (entropie S = -I plus grande) notamment le macroétat d'équilibre (le macroétat le plus probable).
L'évolution s'effectue toujours dans le sens où ma connaissance du microétat du système considéré diminue (second principe de la thermo) c'est à dire dans le sens où il y a fuite d'information hors de portée de l'observateur macroscopique (comme modélisé par l'hypothèse du chaos moléculaire dans le théorème H de Boltzmann par exemple).

Tu viens donc de me rappeler qu'entropie d'un système observé et quantité d'information détenue par l'observateur macroscopique sur son état microphysique (sa connaissance de cet état) sont les deux faces d'une même pièce.

Merci pour ta réponse.