Lentille et intégrale de recouvrement

[HKPK]

Bonjour,

j'ai un soucis d'ordre optique. J'ai deux faisceaux gaussiens en entrée d'une lentille et je veux calculer l'intégrale de recouvrement derrière cette lentille mais je ne sais pas trop comme m'y prendre ...

Si je considère un faisceau 1 :



et un faisceau 2 :



et que je les fais passer à travers une lentille de focale f alors comment en déduire l'allure de chacun avec leur position pour en calculer l'intégrale de recouvrement ? (omega est la fréquence, c une constante, w0 le waist)

J'ai pensé au formalisme de Jones pour la lentille type matrice 1 0 sur la premiere ligne et -1/f 1 sur la deuxième mais je vois pas trop comme l'appliquer avec mes faisceaux.

quelqu'un peut m'aider svp ?
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[HKPK]

personne ?

[HKPK]

...........

[Resartus]

Au risque d'écrire une bêtise, ill me semble que l'intégrale de recouvrement ne dépend que des caractéristiques relatives des deux faisceaux et qu'elle ne doit pas changer après le passage dans un appareil optique (au moins au premier ordre, hors phénomènes non linéaires).
Il suffirait donc de la calculer entre les faisceaux amont...

[A voir en vidéo sur Futura]

[HKPK]

C'est sur ça ?

Mais sinon le calcul doit être faisable d'une certaine manière aussi ?

[Resartus]

Oubliez mon premier message. En y repensant, ce que j'ai écrit est bien une grooosse bêtise
Il suffit de se mettre beaucoup plus loin que la longueur de rayleigh pour voir que les deux faisceaux vont se mélanger et l'intégrale de recouvrement va augmenter. Désolé de ne pouvoir vous aider

Avant même de parler de lentille, comme traitez-vous l'évolution selon z du second faisceau?
Si c est grand devant w, je suppose qu'on peut supposer que c reste constant et que w(z) varie selon la même loi en w0racine(1+z2/Zr2)
que le premier faisceau, mais cela doit être très faux quand c et w sont proches?

[LPFR]

Bonjour.
Ce n’est pas mon domaine.
Je veux bien que le premier faisceau soit gaussien. Mais le second a deux bosses pour chaque diamètre. Est-ce encore gaussien ?

Si j’enlève la lentille, j’aurai deux ondes planes en phase avec des amplitudes dépendantes du rayon. Je peux intégrer le produit des deux amplitudes sur des couches planes d’épaisseur ‘dx’ dans la direction de propagation ;
(Par ailleurs, où figure la direction de propagation de vos faisceaux. Comment comptez-vous tenir compte de la lentille si vous avez omis la propagation ? (le terme ‘kx’)).

La lentille transforme ces plans en morceaux de surfaces sphériques. L’intégrale se fait de la même façon (en changeant le différentiel de volume).

Je répète que ce n’est pas mon domaine.
Au revoir.

[HKPK]

Bonjour,

alors pour le terme en kx il n'y figure pas parce que je l'ai oublié

Ensuite le deuxième je pense que j'ai mal écrit l'expression par rapport à ce que je veux représenter, le c était censé représenter l'écart entre les deux faisceaux avant la lentille (genre pas parfaitement confondus mais distant l'un de l'autre de 10 micromètre au hasard).
Je crois qu'une façon plus correcte de l'écrire est de prendre le premier pour origine et de définir le r du deuxième par rapport à cet origine avec .

je crois qu'écrit correctement mes faisceaux seraient plutôt :



et



en considérant une propagation le long de l'axe z. Mais je viens aussi de me rendre compte en écrivant f(t) qu'avec ce que j'ai dit au dessus à savoir r1=0 que le w0 disparait car la fraction est nulle donc ça me semble peu logique ...

Pour la lentille sinon je pense qu'il faut en tenir compte correctement via le formalisme de Jones par exemple je crois mais je ne maitrise pas des masses :/

[azizovsky]

Bonsoir, l'amplitude de l'onde gaussiens est multipliée par un facteur de phase: .

[HKPK]

C'est tout ? puis-je avoir une explication rapide de ce facteur ?

J'ai juste à appliquer ce facteur à chacune de mes expressions puis de calculer l'intégrale de recouvrement de l'ensemble pour obtenir ce que je veux ?

Dans ce cas j'ai :



et



et si je prend l'intégrale je pense obtenir ça :



c'est correct ?

Cependant le facteur A me perturbe aussi, en gros si j'ai une puissance énorme alors l'intégrale est énorme, y a pas une espèce de normalisation à faire quelque part ?

[Resartus]

Je croyais, puisque vous parliez d'un faisceau gaussien avec waist, que vous vouliez prendre en compte l"élargissement des faisceaux (avec une longueur de Rayleigh qui vaut Piw0^2/lambda). Ce n'est pas le cas?

[HKPK]

Je croyais, puisque vous parliez d'un faisceau gaussien avec waist, que vous vouliez prendre en compte l"élargissement des faisceaux (avec une longueur de Rayleigh qui vaut Piw0^2/lambda). Ce n'est pas le cas?

c'est exact, je pense que j'ai encore mal écrit mes termes mais du coup je commence à avoir du mal à tout écrire comme il faut pour pouvoir tout prendre en compte ...
Là je suppose qu'en fait mon vaut en fait ?

[HKPK]

*double post*

Mon intégrale de recouvrement devrait finalement ressembler à ça je crois :



avec et

A noter que j'ai rajouté un terme de normalisation (trouvé sur wiki ) qui est et que j'ai du mal à justifier.

Donc des questions subsistent :

1) est ce que quelqu'un peut me confirmer que ce que je viens d'écrire est bon ?
2) le terme de normalisation il sort d'ou exactement ?
3) dans le calcul de l'intégrale z je dois le remplacer par sa valeur numérique genre la distance focale de la lentille si je veux connaitre le waist au niveau de la distance focale et en considérant l'origine à l'entrée de la lentille ?
4) dans ce genre de formule, A c'est quoi exactement ? volt, watt ... ?
5) le facteur de phase issu de la lentille il sort d'ou exactement, quelqu'un aurait un lien vers un cours/document donnant cette expression ?
6) mathématiquement y a une méthode pour calculer une intégrale moche de ce type ?
7) numériquement ce que je connais c'est la distance entre mes deux faisceaux et pas leur position respective x et y, je fais comment du coup ? j'avais proposé plus haut de prendre x et y d'un faisceau comme origine mais du coup les termes dans l'exponentielle pour un des faisceaux s'annulent et y aura plus l'information du waist ...

Voilà c'est tout

Merci pour vos réponses

[azizovsky]

Bonjour, il y'a ceci http://www.cqed.org/IMG/pdf/diffraction.pdf, il faut regarder les caractéristiques d'un faisceau gaussien, d'airy, de bessel,....

[Resartus]

1)) Pour traiter la distance entre les deux faisceaux, on peut considérer par exemple que le faisceau B est centré sur le point xb, yb (ou encore plus silmple, se placer dans un repère où yb=0).
La formule de dépendance alors : exp(-((x-xb)^2+y^2)/w^2) (attention aussi à ne pas oublier le signe - dans vos formules).

2) Pour ce qui de l'évolution à travers une lentille du faisceau A, vous pouvez trouver quelques éléments là :
http://alainrobichon.free.fr/cours/P..._gaussiens.pdf

3) Pour ce qui est du faisceau B, ma suggestion serait de considérer que l'axe du faisceau est dévié par la lentille comme en optique géométrique (c'est à dire qu'il passe par le foyer), et que le waist donné par la formule de ma référence s'applique autour de cette ligne brisée.

Cela traiterait le cas où les deux faisceaux ne sont pas corrélés. Dans ce cas, on peut oublier les termes ondulatoires dans les formules d'intégrale de recouvrement.

4) Si par contre les deux faisceaux sont corrélés (par exemple images d'un même faisceau), cela devient beaucoup plus compliqué car il va apparaitre des franges d'interférence, et il faudrait traiter complétement tous les termes ondulatoires.
En outre le front d'onde de chaque faisceau n'est pas plan, mais approximativement sphérique c'est à dire que la formule n'est plus en exp(iwt-ikz) et le z doit être remplacé par racine(z^2+r^2). A longue distance du waist ce serait peut-etre calculable par un très bon mathématicien (fonctions de bessel et autres), mais comme on veut voir l'effet au voisinage du waist derrière la lentille, cela me semble complétement inextricable....

Peut-être vaudrait-il mieux faire physiquement l' expérience qui ne doit pas être trop compliquée à monter? Dans quel contexte avez-vous besoin de ce calcul?

[Resartus]

J'ai trouvé bien mieux que ma référence en francais. Sur youtube en anglais, un cours complet sur la question,
https://www.youtube.com/watch?v=fW6olkXgBM8
ainsi que l'utilisation des matrices des instruments optiques dans le cas des faisceaux gaussiens.
https://www.youtube.com/watch?v=vreRlcbAAa0

[Chip]

Oubliez mon premier message. En y repensant, ce que j'ai écrit est bien une grooosse bêtise
Il suffit de se mettre beaucoup plus loin que la longueur de rayleigh pour voir que les deux faisceaux vont se mélanger et l'intégrale de recouvrement va augmenter.

Non, tu avais raison dans ton premier message, l'intégrale de recouvrement est inchangée lors de la propagation des faisceaux. Ne pas oublier que la phase joue un rôle primordial dans cette intégrale, il ne suffit pas de regarder les profils en intensité...

[HKPK]

3) Pour ce qui est du faisceau B, ma suggestion serait de considérer que l'axe du faisceau est dévié par la lentille comme en optique géométrique (c'est à dire qu'il passe par le foyer), et que le waist donné par la formule de ma référence s'applique autour de cette ligne brisée.

Si je considère comme en optique géométrique alors les deux faisceaux se retrouveront avec leur waist sur le foyer et le contraste est maximal non ? ça me semble trop violent comment approximation.

Peut-être vaudrait-il mieux faire physiquement l' expérience qui ne doit pas être trop compliquée à monter? Dans quel contexte avez-vous besoin de ce calcul?

Justement l'experience est faite, maintenant j'veux retrouver la même chose par le calcul.

[HKPK]

Sinon la propagation a travers une lentille je crois avoir compris le truc avec les matrices ABCD mais je pense que ça ne suffit pas pour pouvoir calculer l'intégrale de recouvrement parce qu'avec cette méthode on a juste le waist et son emplacement sur l'axe de propagation je crois et non dans le plan xy permettant de définir la distance entre mes deux faisceaux après passage dans la lentille.

[HKPK]

*double post*

Mon intégrale de recouvrement devrait finalement ressembler à ça je crois :



avec et

A noter que j'ai rajouté un terme de normalisation (trouvé sur wiki ) qui est et que j'ai du mal à justifier.

Donc des questions subsistent :

1) est ce que quelqu'un peut me confirmer que ce que je viens d'écrire est bon ?
2) le terme de normalisation il sort d'ou exactement ?
3) dans le calcul de l'intégrale z je dois le remplacer par sa valeur numérique genre la distance focale de la lentille si je veux connaitre le waist au niveau de la distance focale et en considérant l'origine à l'entrée de la lentille ?
4) dans ce genre de formule, A c'est quoi exactement ? volt, watt ... ?
5) le facteur de phase issu de la lentille il sort d'ou exactement, quelqu'un aurait un lien vers un cours/document donnant cette expression ?
6) mathématiquement y a une méthode pour calculer une intégrale moche de ce type ?
7) numériquement ce que je connais c'est la distance entre mes deux faisceaux et pas leur position respective x et y, je fais comment du coup ? j'avais proposé plus haut de prendre x et y d'un faisceau comme origine mais du coup les termes dans l'exponentielle pour un des faisceaux s'annulent et y aura plus l'information du waist ...

Voilà c'est tout

Merci pour vos réponses

En fait j'ai pas eu réponse à toutes mes questions du coup

[LordChoco]

Bonjour,

Contrairement à LPFR je suis du domaine mais moi il me manque encore le niveau, alors prenez ce que je dis avec des pincettes

Une intégrale de recouvrement ne devrait-elle pas être normalisé (en unité) ?
Le terme A est l'amplitude du champ, donc des volts.

Tu aimerais calculer l'intégrale de recouvrement en tout point ou alors à quelques endroits pour des vérifications ?
Si c'est juste pour une vérification en un point, les distributions de champs transverses situés dans les plans focaux de la lentille sont reliées entre elles par une opération de transformée de Fourier.

[HKPK]

Concernant l'unité, pour le champ électrique elle est de V/m il me semble et l'amplitude étant déduite du carré on aurait des or on mesure des volts justement comme tu dis donc ou est parti le ?

Tu aimerais calculer l'intégrale de recouvrement en tout point ou alors à quelques endroits pour des vérifications ?

En un seul endroit, au point focal de la lentille après passage dans celle-ci Peut tu détailler ta dernière phrase du coup ? ^^

[LordChoco]

Les termes dx et dy sont des éléments de longueur, cela fait bien une surface non ?
J'ai vu en cours que le champ d'un faisceau gaussien au point focal 2 (après la lentille) pouvait s'écrire en fonction du champ au point focal 1 (avant la lentille) à l'aide d'une TF.





avec la matrice
H un polynôme de Hermite
le coefficient de transmission

Après calculs (qui n'ont rien de trivial pour moi) on arrive à :



et



avec


q rayon complexe du faisceau gaussien