Résonateur de Helmholtz

[invited1ed38da]

Bonjour,



Dans le cas du résonateur de Helmoltz, je comprends qu'on considère la masse d'air contenue dans le goulot comme un solide solidaire d'un ressort, le ressort étant le volume d'air sous le goulot qui se comprime et se détend.
Pour résoudre l'équation différentielle du mouvement, je dois donc exprimer la constante de raideur du "ressort". Le problème c'est que mon cours fait ça en 3 lignes et je ne comprends pas du tout le raisonnement. Voilà ce qu'ils disent :
Soit g l'indice adiabatique du volume d'air, P la pression, V le volume d'air sous le goulot,S la section du goulot, Oy l'axe sur lequel le volume d'air se déplace :

PV^g = CST donc
dP/P + g dV/V = 0 donc
dF = SdP = -g P S² dy / V = -Kdy donc
K = gPS² / V

Voilà j'ai rien compris. J'ai jamais appris ce qu'était un indice adiabatique, mais après tout j'ai pas besoin de savoir ce que c'est, mais rien que de passer de la ligne 1 à la ligne 2 je suis perdu. Le passage de la 2 à la 3 n'en parlons pas.
Pouvez vous m'expliquer comment (et pourquoi!) on passe d'une ligne à l'autre? Quelle est la démarche du raisonnement pour déterminer cette fameuse raideur acoustique?
Merci d'avance
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Effectivement il vous manque des bases pour ce problème.
Pour les processus adiabatiques, regardez Wikipedia.
Quand vous comprimez un gaz sans qu’il puisse échanger de la chaleur avec l’extérieur, il se réchauffe (comme dans une pompe à vélo). Du coup, en plus d’obéir à la loi des gaz parfaits, il obéit à la premierr équation de vous avez copié.
Pour ce qui est de différencier une équation, je ne peux que vous conseiller de réviser vos cours de maths.
Ce que la solution donne est le différentiel, non de la première équation, mais de son logarithme népérien :
ln P + gamma. ln V = ln (cst)

Quand le piston s’enfonce, il comprime le gaz, ce qui augmente la pression et donc la force sur le piston.
Au revoir.

[invited1ed38da]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Pour différencier le produit PV^g = CST, je fais :
dP * V + g dV * P = 0, je divise tout par PV ce qui donne dP/P + g dV / V = 0, ce qui nous permet d'exprimer dP en fonction du reste, je comprends ça. y'a pas de soucis. C'est au niveau de cette égalité que je coince :
dF = SdP (section du goulot * différentiel de pression). Ce que je sais sur la force exercée par un ressort sur une masse, c'est que cette force est -Ky avec y le déplacement de cette masse. Donc dF = -KdY. Ensuite grâce à dF = SdP, on peut exprimer K en fonction du reste. Mais pour ça il a fallu poser au début dF = SdP, et je ne comprends pas comment on peut écrire ça. Je comprends qu'une pression est une force exercée sur une surface. Mais ça n'est pas du tout évident pour moi de poser SdP...

[invite6dffde4c]

Re.
Vous y êtes presque.
La force qu’une pression P exerce sur une surface S est F = S.P.
Comme la section du piston ne change pas, si on différencie : dF = S.dP
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1ed38da]

Merci encore pour vos réponses
Je pensais que la force exercée sur la masse serait la pression divisée par la surface totale du résonateur? Pourquoi seulement la surface du goulot?

[invite6dffde4c]

Re.
Le résonateur est un récipient rigide. La pression ne lui fait pas changer de forme ni de volume.
Mais dans le goulot il y a un piston (historiquement c’était une bille qui glissait dans un tube) et la force sur le piston dépend des variations de pression… produites par la variation de position du piston. Donc, ça se comporte un peu comme une masse sur un ressort.
A+

[invited1ed38da]

Ok merci beaucoup pour votre aide tout est très clair maintenant!