Modes possibles d'un champ EM entre deux plaques proches, quantification

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

En gros j'ai deux plaques métalliques très proches séparées par une distance a (suivant l'axe z).

J'étudie le champ E.M qui peut exister entre ces deux plaques, pour ça je dois déterminer quels modes peuvent exister.

Si j'ai bien compris on procède de la manière suivante :

On considère que suivant x et y, le champ E.M aura un support fini (il sera contenu dans une surface fictive suivant ces axes), on peut donc appliquer les conditions aux limites périodiques suivant ces axes (on periodise par l'esprit le champ EM).
La période choisie est L qui correspond au maximum du support du champ suivant x ou suivant y.

On dit donc : E(x+L,y+L,z)=E(x,y,z)

A z fixé, E(x,y) peut donc se décomposer sur la base des ondes planes "2D", ce qui revient à faire une décomposition en séries de Fourier du champ.

Les vecteur d'onde de la série de Fourier sont les suivants :



Il reste à savoir comment on quantifie kz.

Pour kz j'aurai eu tendance à faire la même chose (2pi/L)*nz, mais dans mon cours on dit que kz=PI/a * nz

Et j'ai du mal à comprendre ceci, j'ai l'impression que l'idée derrière c'est qu'on aura une onde stationnaire suivant l'axe z, mais j'arrive pas à bien comprendre ce que ça change dans le raisonnement précédent, on peut toujours considérer l'onde ayant un support fini suivant la direction z non ?

Enfin voila, je comprends pas trop comment on quantifie suivant z le vecteur d'onde.

Merci beaucoup !
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour une onde plane dont les champs E et B sont parallèles aux plaques, ceux-ci doivent satisfaire les conditions aux frontières. Cette condition est que le champ E parallèle aux plaques soit nul.
Pas besoin de broder des maths.
La solution que l’on trouve est celle d’avoir une onde stationnaire avec des nœuds au niveau des plaques. Comme l’onde sur une corde de guitare avec un zéro à chaque extrémité.
Donc, la longueur d’onde la plus grande possible est égale à deux fois l’écartement de plaques.

Quand le vecteur d’onde n’est pas perpendiculaire aux plaques il y a une infinitude de solutions (mais uniquement pour des longueur d’onde plus grandes que celle que j’ai mentionnée). Ces solutions sont celles que l’on trouve dans les guides d’onde utilisés pour les micro-ondes.
Au revoir.

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Ce que je comprends pas c'est que on dit qu'on a une boite "très grande" suivant x et y, de longueur L.
Notre champ s'annule sur les bords de cette boite.

Donc le raisonnement qu'on applique suivant l'axe z pourrait lui aussi s'appliquer suivant x et y, or on voit bien que ce n'est pas le cas puisqu'une onde plane peut exister suivant x et y et pas suivant z.

En quoi le fait que la distance L suivant les axe x et y soit très grande implique qu'un puisse avoir des ondes planes suivant ces directions ?

Si vous voulez le détail du cours, il s'agit de la page 4 : http://paristech.institutoptique.fr/...75&fileid=1447

Merci

[invite6dffde4c]

Re.
Pour tout vous dire, je n’ai pas envie de me plonger dans un article sur un sujet qui ne m’intéresse pas.

C’est un sujet très particulier sur les modes événements dans une cavité (d’après ce qui me semble avoir compris).

Et je ne saisis pas vos activités si je regarde les discussions que vous avez initiées.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Le champ ne s'annule pas sur les bords de la boîte en x et y. Ce sont des conditions périodiques que vous avez écrites dans votre premier message.

[invite8f6d0dd4]

@LPFR

Je suis en école d'ingénieur mais je fais en parallèle un master en nanosciences.

@Coussin

En fait mon problème c'est que : soit on raisonne en conditions periodiques suivant x et y et je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas raisonner en conditions périodiques suivant z (dire que le champ s'annule sur les bords revient à dire que le champ EM est confiné suivant z dans une distance "a", distance qu'on peut periodiser par l'esprit pour résoudre le problème).

Ou alors on dit que le champ est dans une boite de dimension L suivant x et y, et de dimension a suivant z, dans quel car on aurait des ondes stationnaires suivant z, mais aussi suivant x et y.

C'est ça qui me pose problème en gros.

[coussin]

Je ne comprend pas ce que vous ne comprenez pas
La situation est très différente suivant z et x. Vous ne pouvez pas avoir les mêmes conditions. Suivant x, le champ est libre. On peut le décrire avec des conditions périodiques. Suivant z, il n'est pas libre. On doit lui imposer d'avoir des noeuds à l'endroit des plaques.

[invite8f6d0dd4]

Re !

Oui désolé je m'exprime mal..

En fait à la base on étudie un champ quelconque qu'on va décomposer en ondes planes.

Imaginons qu'on travaille en 1D, L serait le support du champ E (cad il est nul en dehors de [0;L]).
On peut periodiser par l'esprit la portion [0;L] et on a E qui serait une somme de Fourier d'ondes planes dont les vecteurs d'ondes seraient les 2*pi/L

Maintenant on raisonne toujours en 1D sur la portion [0;a], on a toujours un champ quelconque qu'on contraint en 0 et en "a" à être nul à cause des conditions aux limites qui sont cette fois "physiquement concrètes" en raison des plaques conductrices.

Et je ne vois pas ce qui m'empêche de toujours appliquer le raisonnement précédent : je periodise par l'esprit ce qui se passe sur [0;a], j'obtiens donc comme vecteur d'onde les multiples de 2*pi/a.

En gros la différence entre [0;L] et [0;a] c'est juste que dans le premier, on contraint pas le champ à s'annuler en L par un dispositif physique, L est juste le support du champ (la zone où il est non nul). Dans le second ce sont des plaques conductrices qui forcent le champ à être nul dessus.

Mais en soit dans les deux cas mathématiquement ça devrait revenir au même (qu'on dise que le champ en L est nul parce qu'on a définit [0;L] comme étant la zone de l'espace où il est non nul dedans et nul en dehors, ou bien qu'il est nul en a parce qu'on a des plaques conductrices ça revient mathématiquement au même), or ce n'est pas le cas.

En effet dans le premier cas, on trouve k=2*PI/L et dans le second k=PI/a * L

Voili voilou !

[coussin]

Je répète : suivant x, on n'impose pas que le champ s'annule hors de [0,L]. Vous semblez bloquer là-dessus...

[invite8f6d0dd4]

D'accord mais comment on choisit L alors ?
Car j'étais persuadé qu'il s'agissait de la zone où le champ électrique était non nul.

On prend L arbitrairement comme étant plus grand que la zone d'intérêt qu'on va étudier ?



Merci.

[coussin]

À la fin du calcul, on fait tendre L vers l'infini. Ainsi les kx et ky deviennent continus.

[coussin]

Vous êtes d'accord que :
-Une plaque de dimension LxL que vous répétez de manière périodique indéfiniment
et
-Une plaque de dimension infinie
sont les mêmes systèmes. Faire le calcul, temporairement, avec une taille finie LxL permet d'avoir une infinité de modes, certes, mais une infinité dénombrable. À la fin, on peut faire tendre L vers l'infini pour retrouver encore une fois une infinité de modes mais cette fois-ci une infinité non dénombrable.
Bref, ce sont des astuces plus qu'autre chose. Concentrez-vous sur la direction z, c'est là que tout se passe.

[coussin]

À moins bien sûr que votre système est réellement deux plaques de taille transverse finie. Mais ça m'etonnerait : on ne sait pas calculer les modes analytiquement pour deux plaques de taille finie (y a tous les modes "de bord").