(Exo) Tranfert thermique rayonnement

[invite3e86b741]

Bonjour à tous,
Je suis etudiant et je rencontre des difficultées dans un probléme de rayonnement.

Un satellite vide constitue de 2 portions de cote identiques.en orbite la partie superieure recoit suivant la normal à la surface S1 un eclairement solaire égale à E= 1400.
L'environnement exterieur du satellite est supposé etre le siege du rayonnement diffus équivalent à celui d'un corps noire à Te=200k. Les parois du satellite sont minces et les surfaces internes et externes sont supposés* noires ( on neglige le rayonnement de la terre).
On a les surfaces s1,s2,s3,s4.

Le rayon du bas est de 4m et celui du haut de 8m. La hauteur est d'une portion de cone est de 4m.

J'ai S1=43 m^2, F23= 0,257, F24= 0.019, et F33= 0,528.
Je dois calculer les facteurs de forme et ensuite en faisant le bilan énergétiques surface par surfaces, puis determiner les temperatures de chaques surfaces.
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[invitecaafce96]

Bonjour ,
" 2 portions de cote identiques " ???
" La hauteur est d'une portion de cone " ??? ... Une hauteur est un volume ?

Ce serait bien de vous relire , et mettre une figure pourrait aider à l'occasion ...

[invite3e86b741]

Bonjour,
Je vous joins une figure pour illustrer mon probléme

[Resartus]

Le calcul des facteurs de formes est la partie la plus difficile (et en particulier, le traitement des surfaces coniques semble inextricable).
Mais si je comprends bien, certains vous ont été fournis dans l'exercice? Dans ce cas, il suffit d'appliquer les principes de réciprocité et de complémentarité, et les symétries évidentes, pour tous les avoir (en notant aussi que F11=F44=0, compte tenu de la géométrie).

Ensuite, pour la résolution, vous aurez 4 températures inconnues, et 4 équations pour décrire l'équilibre thermique de chaque surface (ne pas oublier de prendre en compte le cosinus pour le flux du soleil sur le cone du haut) .

compte tenu des lois en T^4, il ne me semble pas qu'une résolution analytique soit possible. Il faudra sans doute utiliser un solveur pour résoudre ce système d'équations

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e86b741]

Merci pour votre reponse
J'ai fait un autre exemple avec une seule portion de cône ou S3 est le coté du cône, S1 est la section du bas et S2 est la section du haut

Un satellite (intérieur vide) est constitué d’une portion de cône fermée .En orbite terrestre, le disque supérieur reçoit suivant sa normale l’éclairement solaire E. L’environnement extérieur du satellite est supposé être le siège d’un rayonnement diffus équivalent a celui d’un corps noir à Te=200K. Les parois du satellite sont minces et les surfaces internes et externes sont supposées noires.


Déterminer les températures des parois 1, 2,3 (on négligera le rayonnement émis ou réfléchis par la terre)On utilisera pour le calcul du facteur de forme F12 la relation suivante :
Avec : F12=((1)/(2))(x-√(x^(2)-4 (((r2)/(r1)))^(2))) avec X =1+((h^(2)+(R^(2))^(2))/(R1^(2)))
Rappel : La surface laterale d’un cone droit de rayon r et de hauteur h est : S=Pi*r√(r^(2)+ h^(2))
Avec E=1400 w/m² S1(fond plan) = pi r^(2)= Pi0.75^(2)= 1.76
s2(fond plan)= Pi* r^(2)= π0.1^(2)= π
s3(tronc de cone) = 2.66 Pi
To ° espace = 200K F12=0.2733 et σ=5.76*10^(-8)

Avec : F12=((1)/(2))(x-√(x^(2)-4 (((r2)/(r1)))^(2))) avec X =1+((h^(2)+(R2)^(2))/(R1^(2)))
F12=((1)/(2))(6.77 -√(x6.772-4 (((1)/(0.75)))^(2)))=0.2733

1) calcul du facteur de forme:
Une surface plane ne rayonne pas sur elle-même. Seul une surface concave le peut
Calcul des facteurs de forme :
FAB=((SB)/(SA))*FBA F12=((1.767)/(Pi))* 0.2733 = 0.15 pour F21
Relations d’additivité :
F11+F12+F12=1
F21+F22+F23=1
F31+F32+F33=1
Relations de réciprocité :
S1 * F12= S2 * F21
S2 * F23=S3 * F32
S3 * F31=S1 * F13
Résolutions :géométrie :
F11 = 0 et F22 = 0
F13 = 1 – F12 = 0.7267
F21 = (S1/S2)F12 = 0.1537 et F31 = (S1/S3)F13 = 0.1536
F23 = 1 – F21 = 0.8463
F32 = (S2/S3)F23 = 0.3180
F33 = 1 – F31 – F32 = 0.5284

Calcul du flux émis et reçu :
Bilan énergétique
Équilibre pour S1 : φémis = φreçu
φémis= 2S1 σ T^(4)
φreçu= Φ11+Φ21+Φ31+S1σTo^(4)
avec S1σTo^(4) rayonnement de l'espace
φreçu= 0+S2F21 σ T2^(4)+S3F31 σ T3^(4)+S1σTe^(4)=2S1 σ T^(4)

Équilibre pour S2 : φémis = φreçu
φémis= 2S2 σ T^(4)
φreçu= Φ12+Φ22+Φ32+S2σTo^(4)+ S2E
avec S2σTo^(4) rayonnement de l'espace et S2E = eclairement
φreçu= S1F12 σ T1^(4)+0+S3F32 σ T3^(4)+ S2E=2S2 σ Te^(4)

Équilibre pour S3 : φémis = φreçu
φémis= 2S3 σ T^(4)
φreçu= Φ13+Φ23+Φ33+S3σTo^(4)
avec S3σTo^(4) rayonnement de l'espace
φreçu= S1F13 σ T1^(4)+S2F23 σ T2^(4)+ S3F33 σ T3^(4)+ S1 σ Te^(4)= 2S3 σ Te^(4)

1) 2T1^(4)- F12T2^(4)-F13T3^(4)=Te^(4)
2) -F21T1^(4)+ 2T2^(4)-F23T3^(4)=Te^(4)+ ((E)/(σ))
3) -F31T1^(4)+ F32T2^(4)+ (2-F33)T3^(4)=Te^(4)

Ensuite en faisant la matrice j'obtient les 3 températures suivantes :

T1 = ^4 Racine (5806327134,4)= 276 K
T2 = ^4 racine (1658925044,4)= 358 K
T3 = ^4 racine (7539203867,4)= 294 K

Mais dans mon exercice le fait d'avoir 2 portions de cône me pose problème et je ne sais pas du tout comment le résoudre

[invite3e86b741]

dans l'exercice avec un seul cone le rayon de s1 est 0.75m et le rayon de S2 est 1m avec une hauteur de 1.5m

[invite3e86b741]

Ci-joint en pdf la matrice que j'ai faite pour l'exemple avec un seul cône

[Resartus]

C'est le même principe que l'exercice, mais avec 4 surfaces, donc 16 facteurs de forme. Mais les symétries
sont nombreuses : par exemple F13=F42, F23=F32, F22=F33, F11=F44=0,etc.
Avec tout cela+les relations de réciprocité/complémentarité+ les valeurs qu'on vous a déjà fournies, il me semble que vous avez assez d'éléments pour tous les retrouver.
Un premier coup de pouce pour démarrer : on vous dit que F23= 0,257, F24= 0.019, et F33= 0,528 : or F33=F22. On en déduit immédiatement F21 qui vaut 1-F22-F23-F24... On en déduit par réciprocité F12, puis sachant que F13=F24 et F11=0 on trouve F14
etc.

[invite3e86b741]

Merci beaucoup pour votre aide.je vais essayer d'appliquer vos conseil. Concernant les valeurs des surfaces s1,s2,s3,s4 est ce que s1=s4 et s2=s3 ?

[invite3e86b741]

Donc si j'ai bien compris j'obtient :
S1=pi . R^2 = 12.56 m^2
S2= 43 m^2
S3= 43 m^2
S4 = 12.56 M^2
Relations d’additivité :*
F11+F12+F13+F14=1
F21+F22+F23+F24=1*
F31+F32+F33+F34=1*
F41+F42+F43+F44=1
Relations de réciprocité :*
S1 * F12= S2 * F21*
S2 * F23=S3 * F32*
S3 * F31=S1 * F13
S4 * F43=S3 * F34
Résolutions :géométrie :*
F11 = 0 et F44 = 0*
F22 = 0 et F33 = 0
F12 = F21=0,196
F13 = 1 – F12 = 1-0,196=0,804
F14=1-F11-F12-F13=0
F21= 1-F22-F23-F24=1-0-0,257-0,019=0,785
F22=0
F23=0.257
F24=0,019
F31 = F13=0,804
F32 = F23=0,257
F33 = 0,528
F34=
F41=F14=0
F42=F24=0,019
F43=
F44=0

[Resartus]

Il y a plusieurs erreurs dans vos calculs.
En particulier, F22=F33 et donc n'est PAS égal à zéro (d'ailleurs sa valeur vous est donnée dans l'énoncé.
De même, F13 ne peut pas être égal à 1-F12, alors que vous avez écrit précédemment F11+F12+F13+F14=1, et que F14 n'est pas nul....

Il est toujours conseillé de vérifier après un calcul de réintroduire ses résultats dans les équations de départ pour vérifier que cela boucle. Si vous l'aviez fait, vous auriez détecté immédiatement que cela ne marche pas.

A refaire complétement, donc...

[invite3e86b741]

Comment puis-je deduire F13 et F34 ?

[Resartus]

Il faut utiliser les symétries* et les réciprocités. Vous avez écrit toutes les relations, reprenez-les les unes après les autres, en complétant ce que vous savez déjà, et en résolvant à chaque étape les équations où il ne reste qu'une inconnue
Vos deux exemples : F34 vaut F21 par symétrie, F13 vaut F42 par symétrie, or F42 se déduit par réciprocité de F24 que vous connaissez....

C'est un peu long, mais il n'y a absolument rien de compliqué


*C'est à dire que si inverse le haut et le bas du satellite, c'est à dire qu'on permute simultanément 1 avec 4 et 2 avec 3 on obtient le même résultat.
D'autres exemples : F23=F32 et F12=F43

[invite3e86b741]

S1=pi . R^2 = 12.56 m^2
S2= 43 m^2
S3= 43 m^2
S4 = 12.56 M^2
Relations d’additivité :
F11+F12+F13+F14=1
F21+F22+F23+F24=1
F31+F32+F33+F34=1
F41+F42+F43+F44=1
Relations de réciprocité :
S1 * F12= S4 * F21*
S2 * F23=S3 * F32*
S3 * F31=S2 * F13
S4 * F43=S1 * F34
Résolutions :géométrie :*
F11 = 0
F12= f43=f21=0,196
F13 = f42=0.019
F14=0,785
F21= 1-F22-F23-F24=1-0,528-0,257-0,019=0,196
F22=f33=0,528
F23=0.257
F24=0,019
F31 = F13=0,019
F32 = F23=0,257
F33 = 0,528
F34=f21=0,196
F41=F14=0,196
F42=F24=0,019
F43=F12=0,196
F44=0

Il faut maintenant faire les bilans, est ce que le fait d'avoir 2 cones change beaucoup de chose par rapport à l'exemple avec un cone