Integration loi donnant v(t)

[invite93ce1e29]

bonjour tout le monde,

Un mobile animé d’une vitesse v₀ constante pénètre dans un milieu résistant où il est soumis à une décélération ɤ= -kv², k est une constante et v la vitesse instantanée.
a) Établir la loi donnant la vitesse instantanée v(t), pour t=0 v=v₀

c'est la reponse

- kv² = dv/dt
c'est une équation à variables séparables, elle s'écrit encore
dv/v² = - k dt
ce qui s'intègre en
- 1/v = -kt + C (C = cte)
on a
- 1/v_0 = C
donc
- 1/v = - k t - 1/v_0
soit
v = 1/[kt + 1/v_0] = v_0/(v_0 kt + 1)

je comprends bien la reponse mais dans ce ligne
- 1/v = -kt + C
je comprends pas pourquoi on ecrit pas
-(1/v-1/v0)=-(kt-kt0) comme ce qu'on fait dans les integrations
et pourquoi on n'a pas met une constante dans les deux coté
Merci d'avance
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[invite51a911bd]

Bonjour,

Il y a bien une constante des deux côtés... mais de manière générale on regroupe les constantes d'intégration (surtout lorsqu'elles sont facilement calculable).
Prenons un cas général :


On intègre :
et si on pose on a directement :
avec une unique constante d’intégration.

Vous pouvez donc écrire :

puis chercher et avec les conditions initiales ou écrire

puis chercher avec les conditions initiales, vous trouverez la même chose.

À bientôt !

[stefjm]

je comprends pas pourquoi on ecrit pas
-(1/v-1/v0)=-(kt-kt0) comme ce qu'on fait dans les integrations
et pourquoi on n'a pas met une constante dans les deux coté

On peut le faire si on souhaite garder toute la généralité mathématique.
v0 quelconque et t0 quelconque.

Cela revient à intégrer entre les bornes de chaque coté.

[invite93ce1e29]

Ciaco merci beaucoup maintenant je comprends bien ce point,
stefjm merci pour votre reponse mais je comprends pas bien ce que vous voulez dire , depuis le lycé je connais ce probleme d'integration et de la fonction primitive dans le physique on dit "on integre" meme si qu'on cherche seulement à trouver la fonction primitive comme dans le cas de cet exercice , mais dans l'integration on doit calculer la varitation de la fonction primitive entre deux points precis .

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

avant intégration

qu'on intègre en


Ce qui donne
avec F et G primitives de f et g.

qu'on peut écrire
avec pour redire ce qu'à déjà dit ciaco

Edit : La variable d'intégration est muette, on peut choisir le nom que l'on veux. (ciaco a choisi x, j'ai préféré choisir v pour v et t pour t.)

[invite93ce1e29]

une grande merci pour vous stefjm j'ai bien compris