Interprétation d'une seule valeur propre

invite9c7554e3 · 05/12/2015, 23h25

Salut tous,

je suis en train d'essayer de montrer qu'une matrice de rotation (3 rotations) n'est pas toujours diagonalisable mais à toujours une valeur propre réelle.
Pour la conséquence de ceci j'ai du mal à interpréter.

Si on a toujours une valeur propre réelle ça veut donc dire que l'on a sur R cette relation $\text{[math]}$ qui est vérifiée au moins une fois ?
ça veut donc dire que l'on peut toujours trouver un vecteur $\text{[math]}$ qui après rotation est colinéaire à sa valeur avant rotation ? (un axe de rotation quoi)

J'en conclue que l'on peut toujours, pour une rotation quelconque dans l'espace (avec trois angles indépendants), trouver un axe qui nous permet de faire la rotation équivalente mais avec un seul angle ?

es ce que je dis des bétises ?

**albanxiii** · 06/12/2015, 06h35

Bonjour,

(je suppose qu'on se place en dimension 3).

Vous ne vous trompez pas.

En fait, vous avez trouvé qu'une rotation est entièrement caractérisée par la donnée d'un axe (si on fixe un repère, cela revient à se donner un vecteur unitaire, donc deux angles (ou trois coordonnées cartésiennes, dont seulement deux sont indépendantes)) et d'un angle. Soit trois nombres. Cela revient à se placer dans le "bon" repère, celui dont l'axe de rotation est un vecteur propre associé à la valeur propre réelle de la matrice.

Vous pouvez retrouver ce résultat à partir des propriétés des matrices orthogonales (qui sont les matrices de rotation).

Si vous voulez faire le tour complet de ce problème, je vous conseille l'exercice 48 de ce poly : http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain....exercices.PDF (le corrigé est disponible http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...C.corriges.PDF).

@+

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 13h28

merci beaucoup pour ta réponse,

Envoyé par albanxiii

(si on fixe un repère, cela revient à se donner un vecteur unitaire, donc deux angles (ou trois coordonnées cartésiennes, dont seulement deux sont indépendantes)) et d'un angle. Soit trois nombres.

par contre je n'ai pas bien compris ceci.
Pour définir ma rotation j'ai donc besoin d'un axe (qui a trois composantes dans l'espace) et d'une rotation donc 4 nombres ?
Pourquoi il y aurait une des composante de mon axe de rotation qui serait dépendante des autres ?
merci pour les éclaircissement que tu pourrais me donner

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 13h40

j'ai une autre question : si je calcul mon vecteur propre j'obtiens l'axe de rotation mais comment obtenir l'angle de rotation autour de cet axe pour passer de la configuration 1 à 2 ?
Il ne peut pas s'agir de la valeur propre puisqu'elle vaut toujours 1.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite47ecce17 · 06/12/2015, 16h34

Bonjour,
Si vous avez trouvé un vecteur unitaire dirgeant l'axe de rotation alors le plan orthogonal est stable parce que la matrice est orthogonale. Et on a donc une matrice de rotation du plan qui est uniquement determiné par un element de S1.
En pratique il y a moyen de trouver cet angle en calculant la trace de la rotation qui donne le cosinus de l'angle. On peut également trouver le sinus simplement en examinant la matrice (je n'ai plus la formule en tete, elle implique un produit vectoriel si je me rappelle bien, ca doit pas etre bien dur a retrouver).
Concernant l'axe, il est fixé par deux paramètres. L'espace des droites de l'espace est de dimension 2. En effet on peut imposer que le vecteur directeur soit normalisé et alors deux nombres a et b (tels que a²+b² soit majoré par 1), sont associé à la droite de vecteur directeur (a,b,[1-a²-b²]^{1/2}).
L'axe est fixé par deux paramètres donc, et l'angle par 1 seul. L'espace des rotations est alors de dimension 3. Ce que l'on peut retrouver facilement (au moins pour sa composante neutre, mais il est connexe) en remarquant que son espace tangent en 1 est donné par l'espace des matrices réelles d'ordre 3, antisymétriques, qui est bien sur de dimension 3.

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 16h40

merci pour la réponse mais un peu complexe pour un non matheux comme moi...

pourquoi la trace d'une matrice de rotation quelconque est égale au cosinus de l'angle que je cherche ?

invite47ecce17 · 06/12/2015, 16h52

Elle n'est pas égale, mais elle te le donne, une rotation, dans une bonne base (i.e le vecteur directeur de l'axe de rotation, et n'importe quelle base du plan orthogonal) s'ecrit $\text{[math]}$ ou t est un réel modulo 2/pi.
Sa trace vaut donc 1+2cos(t), mais sa trace est independant de la base ou on la calcule. Donc dans n'importe quelle base, la trace vaut 1+2cos(t).

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 18h23

Je ne suis pas certain d'arriver à suivre... donc je résume.

j'ai une matrice de rotation dans le cas général qui se définie par 3 rotations :
$\text{[math]}$
elle permet de passer de la configuration noté C1 à la configuration que j'appelerai C2.

Maintenant on sait que cette matrice à une valeur propre réelle égale à 1, ça veut donc dire qu'il existe un vecteur $\text{[math]}$ qui vérifie :
$\text{[math]}$

Pour trouver ce vecteur $\text{[math]}$ il faut résoudre le système ci dessus avec $\text{[math]}$ et j'aurais obtenu mon axe de rotation.

Maintenant je suis d'accord que la trace de $\text{[math]}$ est invariante mais je ne suis pas certain de voir à quoi ça sert ?

Ou si peut être... : pour passer de C1 à C2 il y a deux façons : soit utiliser la matrice $\text{[math]}$ qui fait trois rotation autours des trois angles de base soit utiliser une matrice $\text{[math]}$ qui fait une seule rotation autour de $\text{[math]}$ ?

La matrice B à une forme du type : $\text{[math]}$
dans une base liée à notre nouveau vecteur $\text{[math]}$ qui est l'axe de rotation et du coup tu dis que la trace de cette matrice (où on ne connait pas alpha) doit être égale à la trace de $\text{[math]}$ que l'on connait et ça permet de déterminer $\text{[math]}$ ?

je ne sais pas si c'est nécessaire mais je ne vois pas trop comment définir la base où est exprimée B

invite47ecce17 · 06/12/2015, 19h19

Justement, le fait que la trace soit invariante fait que tu n'as pas besoin de calculer B!!
Suppose qu'on te donne une matrice A dont tu sais que c'est que c'est une matrice de rotation dans R^3 (par exemple tu as vu que ces colonnes étaient orthonormées et qu'elle etait de determinant positif), tu calcule sa trace (c'est la somme des elements diagonnaux, il suffit d'additionner 3 nombres), elle vaut disons 1,4, alors tu sais que son angle t (sans le plan oirthogonal à son axe de rotation) verifie 1+2cos(t)=1,4 soit cos(t)=0,2. Ca ne determine pas t bien sur, mais ca reduit grandement les possibilités. Il y a une procédure analogue pour trouver sin(t) et donc determiner t.

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 19h38

tout d'abord, merci de prendre le temps de répondre à mes questions

Envoyé par MiPaMa

Justement, le fait que la trace soit invariante fait que tu n'as pas besoin de calculer B!!
Suppose qu'on te donne une matrice A dont tu sais que c'est que c'est une matrice de rotation dans R^3 (par exemple tu as vu que ces colonnes étaient orthonormées et qu'elle etait de determinant positif), tu calcule sa trace (c'est la somme des elements diagonnaux, il suffit d'additionner 3 nombres), elle vaut disons 1.4

Jusqu'ici pas de problème.

Envoyé par MiPaMa

alors tu sais que son angle t (sans le plan oirthogonal à son axe de rotation) verifie 1+2cos(t)=1,4 soit cos(t)=0,2.

Je crois que je comprends. Tu dis ceci car on a vu que notre rotation peut se ramener à une rotation avec un seul angle et que l'on peut donc trouver une base tel que la rotation se représente sous la forme de la matrice B ?
et c'est là que tu déduis la relation $\text{[math]}$ ?
avec ceci il suffit de prendre d'arcosinus et on a déterminé t à $\text{[math]}$ près ?

Envoyé par MiPaMa

Ca ne determine pas t bien sur, mais ca reduit grandement les possibilités. Il y a une procédure analogue pour trouver sin(t) et donc determiner t.

Je devine que pour trouver le sinus il faut utiliser un autre invariant de la matrice de rotation qui ne fait intervenir que le sinus ? ou sinon un invariant qui fait intervenir le cosinus et le sinus mais comme on connait déjà le cosinus alors ça permet de déduire le sinus ?

et comme ça on détermine à $\text{[math]}$ près ?

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 19h55

ne faites pas attention à mon histoire de $\text{[math]}$ près j'ai dis une bétise.

Par contre pour trouver le sinus ça m'intéresse de valider la piste que j'ai proposée ?

invite47ecce17 · 06/12/2015, 20h07

Oui, c'est la meme idée pour le sinus, mais c'est un poil plus compliqué. Voir ici par exemple

invite9c7554e3 · 06/12/2015, 20h15

merci pour toute ton aide!

**albanxiii** · 07/12/2015, 07h39

Envoyé par membreComplexe12

merci pour les éclaircissement que tu pourrais me donner

Tout ce que je pourrais dire sera forcément moins clair que l'exercice que je vous ai conseillé. L'avez-vous fait ? Ou au moins regardé l'énoncé ?

invite9c7554e3 · 07/12/2015, 09h18

Envoyé par albanxiii

Tout ce que je pourrais dire sera forcément moins clair que l'exercice que je vous ai conseillé. L'avez-vous fait ? Ou au moins regardé l'énoncé ?

oui j'ai regardé mais ils y a des choses un peu flou pour moi car je suis pas top en math et mon approche est un peu différente de celle là.
Néanmoins, jusqu'à la question 1°) vii) inclue je dirais que globalement ça va. Sauf à la question vi) où ils disent qu'il faut 2 paramètres pour déterminer $\text{[math]}$ alors que pour moi un vecteur à besoin de 3 paramètres pour être déterminé

ENsuite je ne capte plus rien, surtout quand les complexes interviennent car moi je me place dans une configuration où je souhaite une rotation réelle.

Les auteurs déterminent le cosinus de l'angle à la question vii) et ensuite j'ai l'impression qu'ils veulent déterminer le sinus (chose que je souhaite aussi pour connaitre l'angle autour de $\text{[math]}$ de façon unique) mais en fait je n'en suis meme pas certain qu'ils cherchent à faire ceci car tout le reste est un peu trop abstrait pour moi...

invited9b9018b · 07/12/2015, 12h59

Envoyé par membreComplexe12

Néanmoins, jusqu'à la question 1°) vii) inclue je dirais que globalement ça va. Sauf à la question vi) où ils disent qu'il faut 2 paramètres pour déterminer $\text{[math]}$ alors que pour moi un vecteur à besoin de 3 paramètres pour être déterminé

Puisque ce point semble vraiment poser problème je vais détailler l'explication à outrance :

Pour la question vi) on part de det(R-I) = det(I-R)
On sait de plus qu'en dimension n, $\text{[math]}$ . Donc en dimension 3, $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

SI le déterminant de R-I est nul, cela signifie qu'il existe un vecteur $\text{[math]}$ non nul tel que $\text{[math]}$ (on dit aussi que x est un vecteur propre associé à la valeur propre 0)

Notez déjà que $\text{[math]}$ , ce qui signifie que le vecteur est invariant par R (la rotation).

De plus, par linéarité, si ceci est vrai pour $\text{[math]}$ , c'est également vrai pour tout vecteur $\text{[math]}$ (tout vecteur colinéaire à $\text{[math]}$ ).

Or l'ensemble de tous les vecteurs colinéaires à x est une droite vectorielle (càd une droite passant par $\text{[math]}$ , l'origine). Donc, au moins une droite vectorielle est invariante par R.

Maintenant la question est : combien de paramètres décrivent cette droite ?

Votre raisonnement est : il suffit d'un vecteur pour déterminer une direction. Oui, mais il existe une infinité de vecteurs ayant alors la même direction ! (tous ceux qui lui sont colinéaires). Donc 3 paramètres, c'est trop !
IL y a deux façons de voir les choses (identiques) :

1) Pour décrire une droite qui passe par zéro il suffit de déterminer sa direction. Et cette direction est définie par deux angles dans l'espace 3D, donc deux paramètres
2) Admettons que le vecteur $\text{[math]}$ a trois composantes $\text{[math]}$ . Tous les vecteurs $\text{[math]}$ ont la même direction. Ils ne diffèrent que par leur norme; ( $\text{[math]}$

On peut alors en prenant $\text{[math]}$ choisir un vecteur de même direction et de norme égale à 1 : $\text{[math]}$ .

Puisque sa norme vaut 1 : $\text{[math]}$ .

Alors vous voyez que c (la troisième composante) est fixée par cette relation et que seuls a et b peuvent varier. Donc deux paramètres.

A+

invite47ecce17 · 07/12/2015, 13h06

Pour bien enfoncer le clou, je rajouterai qu'il n'est pas bien difficile de se convaincre qu'il y a une application continue de la sphere S2, vers l'espace des droites (vectorielles) de R^3 (meme si tu ne sais ce qu'est la topologie dessus, s'en convaincre devrait etre assez facile), qui soit "2 to 1" (deux points diamétralement opposés engendrent la meme droite, et une droite découpe 2 points sur la sphere), et donc que l'espace des droites ne peut etre raisonnablement que de dimension 2.

invite9c7554e3 · 07/12/2015, 13h18