Pourquoi le jeté de dés est-il probabiliste?

[EChevallier]

Bonjour,

je me pose la question suivante:
en supposant le monde déterministe et régit par la physique classique, comment montrer, et sous quelles hypothèses, qu'une expérience telle qu'un jeté de dés a un caractère probabiliste.

Il est possible d'observer ce caractère probabiliste en faisant des expériences, mais il doit sans doute y avoir un moyen de le déduire des lois de la physique classique (avec peut être certaines hypothèse sur la répartition des atomes ou ce genre de choses...).

Si quelqu'un a des pistes ou des références sur la question je suis preneur.

Merci
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[LPFR]

Bonjour.
Si vous mettez l’agitation thermique des atomes d’un solide dans la physique classique, vous avez là la source ultime du hasard, une fois que vous avez éliminé toutes les autres. Car cela vous ne pouvez pas l’éliminer.
Au revoir.

[Nicophil]

Bonjour,

Le caractère probabiliste du jeter résulte de l'incapacité à prédire son résultat.

[Nicophil]

Mais ce n'est pas le jeter qui est probabiliste...
Ce qui est probabiliste, c'est la prédiction du résultat d'un jeter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Il s'agit de la mécanique au sens physique du terme.

Tout est productible, mais ce qui est mal maitrisée c'est le nombre de paramètres à prendre en considération dans les conditions initiales du lancé et des valeurs à donner à ces paramètres et en supposant que l'on sache résoudre les équations qui régissent le lancé.

Du fait du nombre des paramètres et des valeurs possibles c'est un peu comme le tirage du loto....le hasard est déterminant.....

[EChevallier]

Merci pour vos réponses. Je vais reformuler légèrement la question.

Lorsque l'on fait des tirages successifs du dé, on observe expérimentalement une stabilisation de la proportion de nombre de 1 de 2 etc...
Cette stabilisation des résultats n'est pas un phénomène évident: il y a des expériences non déterministes qui sont également non probabilistes (les proportions empiriques ne convergent pas).

Comment pouvait-on prédire "mathématiquement", que la proportion des tirages allait se stabiliser?

[calculair]

Si le dés est parfait, toutes les faces sont équiprobables

Sur un tres grands nombres de lancés toutes les faces sortes en moyenne le même nombre de fois, mais on ne sait jamais a quel moment chaque face sort.

Si ne n'etait pas le cas il y aurait des faces privilégiées.

[Nicophil]

Cette stabilisation des résultats n'est pas un phénomène évident: il y a des expériences non déterministes qui sont également non probabilistes (les proportions empiriques ne convergent pas).

Par exemple ?

[f6bes]

Bjr à tous,
Si pour le résutat du jeté de dé on prend une fourchette assez large, je peux prédire le résultat
(....entre 1 et..6 ) !
Je prédis meme que tout autre résultat et impossible !
CQFD
Bonne journée

[Amanuensis]

Comment pouvait-on prédire "mathématiquement", que la proportion des tirages allait se stabiliser?

À partir des points suivants:

* Hypothèse d'indépendance (corroborable par les observations),

* hypothèse d'invariance avec le temps (hypothèse fausse),

* définition de la "stabilisation"

* "loi faible des grands nombres", ou forte, selon la définition choisie au point précédent. (La loi est applicable si les deux premières hypothèses sont admises.)

[Deedee81]

Salut,

J'ai vu il y a quelques années le résultat d'une expérience amusante (dans PLS ou LaRecherche). Le jet des dés était obtenu non à la main mais par un dispositif robotique avec une grande précision de lancé (paramètre précis de positionnement initial, de direction et vitesse du jet). Le résultat était alors hautement prévisible (je ne sais plus à quel point, mais c'était en tout cas très loin d'être aléatoire).

Cela montre que le jet de dé est fortement déterministe, le caractère aléatoire venant surtout du fait que :
- la position des dés en main, la trajectoire et la force de lancé étant très variables et difficiles à maîtriser (voir la remarque de calculair)
- le calcul du résultat final en utilisant les lois de la mécanique est complexe

Ce n'est qu'un exemple. Dans d'autres processus, l'influence sensitive aux conditions initiales (la théorie du "chaos déterministe") peut être prédominante. C'est le cas dans certains jeux où une bille rebondit sur une série d'obstacles cylindriques (jeu du bingo par exemple).

Si le caractère aléatoire est supposé ou vérifié (*), la convergence vers les moyennes résulte simplement de la loi des grands nombres (voir aussi le message de Amanuensis plus précis que mon (*) ou voir ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres ).

[LPFR]

Bonjour.
Oui. Je me souviens aussi d’avoir lu cet article. Il me semble que c’étaient des auteurs polonais.

On peut imaginer un lanceur fait d’un électroaimant qui tient un dé ferromagnétique toujours par la même face et qui le laisse tomber.
Il est évident que si on laisse tomber le dé d’une hauteur d’un dixième d’arête, le dé tombera toujours sur la même face.
Puis on recommence la manip (toujours avec un même nombre conséquent de lancers) en laissant tomber le dé de plus en plus haut. Le résultat sera de plus en plus aléatoire. On peut tracer une courbe de « l’aléatoireté » en fonction de la hauteur.
Au revoir.

[Amanuensis]

Il semble que dans cette discussion, suivant "l'habitude" de plein de textes de vulgarisation médiocre, "aléatoire" soit utilisé pour dire "indépendant et uniformément réparti".

[minushabens]

J'ai vu il y a quelques années le résultat d'une expérience amusante (dans PLS ou LaRecherche). Le jet des dés était obtenu non à la main mais par un dispositif robotique avec une grande précision de lancé (paramètre précis de positionnement initial, de direction et vitesse du jet). Le résultat était alors hautement prévisible (je ne sais plus à quel point, mais c'était en tout cas très loin d'être aléatoire).

j'avais lu la même chose sur le jeu de pile ou face. Il en est question ici (référence 14) : https://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping

[EChevallier]

par exemple ?

Voila un exemple un peu stupide mais qui reste un exemple. On construit une "expérience" dont la sortie X vaut le nombre de seconde depuis la naissance de Jesus plus un bruit uniforme sur {0,1}, X=date+bruit. La sortie X de l'expérience est un nombre entier, non déterministe. Quand on multiplie les expériences, l'histogramme des valeurs obtenues (h(n)=nombre de résultats tombant sur n/nombre d'expériences): tend vers zéro pour toutes les valeurs entières. Si le phénomène était probabiliste, on aurait pour tout n, ce qui est impossible puisque . Le résultat X ne peut pas être considérer comme une variable aléatoire. Cet exemple est certes stupide mais il montre que non déterministe n'implique pas probabiliste.

À partir des points suivants:

* Hypothèse d'indépendance (corroborable par les observations),

* hypothèse d'invariance avec le temps (hypothèse fausse),

* définition de la "stabilisation"

* "loi faible des grands nombres", ou forte, selon la définition choisie au point précédent. (La loi est applicable si les deux premières hypothèses sont admises.)

Les hypothèse que tu proposes permettent sans doute d'obtenir le résultat cherché. Mais est il possible d'y arriver uniquement à partir des lois de la mécanique classique et d'une hypothèse de position des particules. Cela est sans doute possible, puisque le caractère aléatoire du jeté de dés ne provient vraisemblablement pas de la physique quantique.

[Amanuensis]

Les hypothèse que tu proposes permettent sans doute d'obtenir le résultat cherché. Mais est il possible d'y arriver uniquement à partir des lois de la mécanique classique et d'une hypothèse de position des particules. Cela est sans doute possible, puisque le caractère aléatoire du jeté de dés ne provient vraisemblablement pas de la physique quantique.

Il me semble voir là l'effet d'une confusion usuelle. La notion d'aléatoire est une notion de modélisation ; elle ne porte pas sur la "réalité", elle fait partie des manières de la modéliser, comme les réels ou les espaces euclidiens.

La question de la "stabilisation" (convergence) de la moyenne d'une série de mesures considérées comme "identiques" (ce qui est ce qui est traduit en termes mathématiques--en termes de modèle--comme indépendantes et identiquement distribuées) est une question de modélisation. Nul besoin d'aller chercher des explications tirées de la physique, c'est juste intrinsèque à l'outil de modélisation choisi (la "théorie des probabilités").

Ou encore, il n'y a pas de "caractère aléatoire du jeté de dés" (1). Le seul caractère aléatoire est celui de la modélisation utilisée (par des humains) pour décrire (très partiellement...) le jeté de dés. Et cela vient, eh bien, des modélisateurs humains, non?

(1) Ici, le terme "aléatoire" est utilisé au sens correct, "modélisé de manière probabiliste", comme par exemple "Grandeur aléatoire = grandeur susceptible de prendre un certain nombre de valeurs à chacune desquelles est attachée une probabilité" (TLFi).

[Amanuensis]

Voila un exemple un peu stupide mais qui reste un exemple. On construit une "expérience" dont la sortie X vaut le nombre de seconde depuis la naissance de Jesus plus un bruit uniforme sur {0,1}, X=date+bruit. La sortie X de l'expérience est un nombre entier, non déterministe.

Intéressant de repérer ce qui est hypothèse visant à simplifier la modélisation...

on aurait pour tout n, ce qui est impossible puisque .

C'est juste une erreur de raisonnement sur l'infini. Si on prend un ensemble de n variables de valeur 1/n, leur somme est constante et donc vaut 1 quand n tend vers l'infini, alors que la valeur des variables tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il n'y a aucune contradiction entre les deux conséquences.

Le résultat X ne peut pas être considérer comme une variable aléatoire. Cet exemple est certes stupide mais il montre que non déterministe n'implique pas probabiliste.

Là encore une confusion. Un "résultat" est considéré comme une variable aléatoire par choix, cela ne dépend pas de ses propriétés.

Quant à "non déterministe", cela dépend de la définition de "déterministe" (problème ardu!). Et il y a bien des définitions telles que "probabiliste" implique "non déterministe" (1), au sens du choix de modélisation: est probabiliste ce qu'on choisit de modéliser de manière probabiliste, et est déterministe ce qu'on choisit de modéliser de manière déterministe ; si on admet que ces manières de modéliser s'exclut l'une l'autre, la conclusion s'ensuit.

(1) Je sais, la citation parle de l'implication inverse, mais comme rien n'indique qu'il n'y ait pas d'autres manières de modéliser, le "bon sens" est celui que j'ai donné.

[Matmat]

EChevalier, Qu'appelles tu "stabilisation" ? Lorsque l'écart-type devient négligeable par rapport à la population, il n'y a pas de réduction d'écart-type mais seulement augmentation de la population et pour celà il suffit de multiplier les lancers de dés , on ne peut pas penser la "stabilisation" comme un phénomène physique , ce n'en est pas un .

[EChevallier]

C'est juste une erreur de raisonnement sur l'infini. Si on prend un ensemble de n variables de valeur 1/n, leur somme est constante et donc vaut 1 quand n tend vers l'infini, alors que la valeur des variables tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il n'y a aucune contradiction entre les deux conséquences.

Je ne fais pas l'erreur de croire qu'une somme de terme qui tendent vers zéros tend nécessairement vers 0. Supposons que l'on mette un modèle probabiliste sur l'expérience X. Chaque sortie possible a donc une certaine probabilité P(n). Or on a nécessairement dans notre cas P(n)=0 pour tout n, puisque la probabilité d'un événement correspond à la fréquence limite de l'histogramme h(n) (loi des grands nombre), qui est nulle pour cette expérience (X=date+bruit). On a donc P(n)=0 pour tout n, et , ce qui est impossible. Le modèle probabiliste ne peut donc pas coller avec les observations de l'expérience X.

Je ne fais pas il me semble de confusion entre aléatoire, modèle et réalité. Les lois de la physique classique, et les probabilités sont des modèles. Le résultats des tirages des dés est une réalité. Le modèle probabiliste sur le tirage de dés prédit des résultats qui collent assez bien avec la réalité. Les lois de la physique classique donnent un modèle sur le déplacement des particules et objets.
La question est la suivante: comment à partir du modèle de la physique classique, retrouver qu'une expérience tel que le jet de dé va coller avec le modèle probabiliste.
Si cela était impossible cela voudrait dire que dans la réalité, on observe des phénomènes (à échelle humaine) non prévus par le modèle classique, ce qui est fortement "improbable".

[Amanuensis]

Lorsqu'on confond statistique et probabilité, P(n) est une limite quand le nombre d'expériences (la taille de la statistique) tend vers l'infini.

Le modèle probabiliste ne peut donc pas coller avec les observations de l'expérience X.

Cela n'a pas de sens.

[Amanuensis]

La question est la suivante: comment à partir du modèle de la physique classique, retrouver qu'une expérience tel que le jet de dé va coller avec le modèle probabiliste.

En exprimant explicitement le conditionnement, en exprimant toutes les probabilités comme conditionnelles.

Déterminisme P(Evénement futur | connaissance totale du présent) = 0 ou 1. Modélisation probabiliste, on s'intéresse à des P(Evénement futur | connaissance incomplète).

Le passage d'un modèle déterministe à un modèle probabiliste se fait rigoureusement en explicitant la connaissance effective, en explicitant ce qui "manque" par rapport à la connaissance complète. (En pratique en explicitant la connaissance effective! Car la connaissance complète tient de la vue de l'esprit...)

[EChevallier]

Je ne sais pas si cette information servira à quelqu'un mais j'ai en partie trouvé une réponse à ma question. La présence d'expériences pouvant se modéliser par une suite de tirages de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées dans un univers régis par la physique classique s'explique en partie par le théorème ergodique de Birkhoff:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...A8me_ergodique
Exprimées dans la bonne formulation les lois de la mécanique classique donnent lieu à une application T qui correspond aux hypothèses du corollaire. Grossièrement, la fonction f peut être interprétée comme une expérience. Le corollaire donne pour l'expérience f un résultat similaire à la loi des grands nombres. Cela explique pourquoi dans un monde régit par la physique classique on trouve des phénomènes qui se modélisent bien par des tirages de variables iid.