Degenerescence des electrons

[invited9a6e272]

Bonjour,

J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour comprendre un petit exercice.



On me dit : On considere un ensemble de N=4 électrons en équilibre avec un thermostat. Les électrons se répartissent uniquement sur trois niveaux d’énergie ( diagramme ci-contre)


1 En tenant compte du spin, donner les dégénérescences gi de chaque niveau i= 1,2,3 :

donc pour n=1, une valeur possible => g1 *2 (spin) = 2;
pour n=2 : 2 valeur possible => g2 = 4
et pareil pour n=3 => g3= 4

Est-ce le bon résonnement ?
je vous remercie d'avance.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Puisqu’on parle d’équilibre thermique, je conclus qu’il s’agit d’une distribution de Boltzmann.
Le résultat dépend de la température :
Si T = 0K, vous aurez deux électrons dans le niveau le plus bas et deux autres dans le suivant.
Pour une température plus élevée, il y aura moins de 2 électrons (statistiquement) sur le niveau le plus bas et dans le suivant, et un peu d’électrons dans le 3ème niveau.
C’est tout ce que l’on peut dire sans connaître la température.
Au revoir.

[Resartus]

Bonjour,
Vous avez RAISON, c'est bien le bon RAISonnement... Chaque case peut loger au maximum 2 électrons (et si c'est le cas leurs spins seront forcément opposés).
Après, je suppose qu'il y aura d'autres questions concernant la répartition des 4 électrons disponibles, compte tenu de ces contraintes, et sachant par ailleurs que les électrons sont indiscernables, ce qui change la statistique

[invited9a6e272]

Merci pour vos réponses. oui il y a 2 d'autres questions.

Exprimer le nombre d'electrons noté Ni occupant un niveau d'energie Ei en fonction de T et μ

<ni>=gi * f(Ei) avec f(Ei) fonction Maxwell-Boltzmann e^-βEi / e^-βμ avec β = 1/KbT

puis il m'est demandé le nombre total d'electron toujours avec μ et T

N=(Somme gi) *f(Ei) = ( 2x e^-βE1 + 4* e^-βE2 + 4* e^-βE3 ) *(1 / e^-βμ )

j’espère avoir bon ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
La statistique de Boltzmann ne marche que si le nombre de "cases" dans les divers niveaux d'énergie est infini.
Ici, ce nombre est réduit (2 ou 4!), et s'agissant de fermions, il faut utiliser la statistique de Fermi-dirac. Le dénominateur pour chaque état n'est plus exp((E-µ)/kT) mais exp((E-µ)/kT)+1)*

*Ce serait -1 pour des bosons

[invited9a6e272]

SI on utilise Maxwell-Boltzmann si le nombre de case est infinie, pour quoi est-ce qu'on l'utilise pour le nombre total d’électrons (en ne considérant que les 3 premières couches ) ?

Du coup pour le nombre total d'electron c'est simplement
N= (2+4+4) / { [exp(β(E1-µ))+1] + [ exp(β(E2-µ))+1] + [exp(β(E2-µ))+1] } ?

[invited9a6e272]

non plutôt N= { 2/ [exp(β(E1-µ))+1] + 4/ [ exp(β(E2-µ))+1] + 4/ [exp(β(E3-µ))+1] }*

je parlais du nombre total d’électrons dans l'atome H *

[Resartus]

Rebonjour,
Non, c'est le dénominateur à utiliser pour donner le nombre moyen d'électrons à chaque niveau d'énergie, Ni=gi/(exp((Ei-µ)/kT)+1)
Cela donne ceci pour le nombre total d'atomes
Ntot=2/(exp((E1-µ)/kT)+1)+4/(exp((E2-µ)/kT)+1 +4/(exp((E3-µ)/kT)+1)

La formule se complique par rapport au cas Boltzmann, car on ne peut plus mettre exp(µ/kT) en facteur.

L'approximation de Boltzmann marche quand il n'y a aucune règle d'exclusion entre les états des divers niveaux. Cela peut être par exemple parce que chaque particule ne peut prendre qu'un seul niveau d'énergie, indépendamment des niveaux des autres (énergie cinétique, dans le cas d'un gaz parfait).
Avec des atomes, ce serait possible si chacun n'a qu'un seul électron libre et qu'il n'y a aucune interaction entre eux.

[invited9a6e272]

Ah je comprend mieux ! ^^

merci beaucoup.