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[MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle



  1. #1
    Romain-des-Bois

    [MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour à tous,

    j'ai un petit problème avec un exo :

    on place sur un axe vertical (Oz) 2 points A et B à une même distance a du point O.

    O a une charge -2q, A et B ont une charge +q.

    On prend un point M au pif dans le plan.

    On appelle b l'angle AÔM et r la distance OM.

    (voilà pour le cadre)

    On veut le potentiel au point M.

    V(M) = VA(M) + VB(M) + VO(M)

    je trouve : V(M) = q/4.Pi.E (1/AM + 1/BM - 2/OM)
    (E étant la permittivité du vide)

    J'utilise les formules d'Al Kashi et je trouve :
    1/AM = 1/r (1+a/r cos(b) )

    -2/OM = -2/r

    1/BM = 1/r (1-a/r cos(b) )

    Mais quand je remplace ces valeurs dans l'expression du potentiel... je trouve V(M) = 0

    curieux non ?



    merci d'avance

    Romain

    -----


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  3. #2
    rapporteur

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour
    J'imagine que tu appelles a la distance OA et r la distance OM. Je pense aussi que le plan dont tu parles est le plan médiateur de AB.Je crois qu ton erreur vient de l'expression du potentiel VB(M). Tu mets un signe moins sans raison et la meilleure preuve si j'ai bien compris ta disposition c'est que VA(M) doit etre egal à VB(M).
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    euh...

    je reprends mes explications :

    on considère le plan (xOy). On prend A (+q) et B (+q) sur l'axe (Oy). A et B étant à une distance a de O (l'un en dessus, l'autre en dessous).
    O est chargé -2q

    M appartient au plan (xOy).

    Il n'y a aucune raison pour que VA(M) = VB(M) puisque AM est différent de BM !

    Tu y vois plus clair maintenant ?

    Romain

  5. #4
    rapporteur

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Rebonjour
    Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas. C'est pour ça que je t'ai dit qu'il ya quelque chose qui ne va pas
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Citation Envoyé par rapporteur
    Rebonjour
    Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas. C'est pour ça que je t'ai dit qu'il ya quelque chose qui ne va pas
    A bientot
    OK ! Je pensais que tu pensais que M était toujours équidistant de A et de B toutes mes excuses alors

    je reprend l'expression du potentiel causé par B.

    merci

    Romain

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    yahou

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Citation Envoyé par rapporteur
    Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas.
    Je crois bien que si. Le cos(b) est nul dans ce cas et donc AM=BM=r.

    A mon avis le problème vient plutôt de l'ordre du développement limité. Pour un dipôle le terme dominant est du 1er ordre en a/r, donc on ne pousse pas le développement plus loin. Ce terme est également proportionnel au moment dipolaire, donc si on met deux dipôles de sens opposés au même endroit c'est logique qu'on trouve 0. C'est simplement que la contribution dominante pour le tripôle est au 2nd ordre en a/r.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

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  10. #7
    rapporteur

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour Yahoo
    Ta remarque est tout à fait vraie; j'essayais sans faire de calcul de montrer que la formule est incorrecte. Puisque ça ne marche pas sur l'axe des y on utiliser l'axe des x. On prend M à une distance 2a de O et du même côté que A. On voit tout de suite que l'expression de
    VA(M) est incorrecte.
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour à tous !

    vous avez raison !

    J'ai repris mes calculs hier soir, ils sont bons :
    le - apparait car on a du cos(Pi-b)

    et si M appartient à (Ox), alors cos(b) = -cos(b) = 0 et donc VA(M) = VB(M)

    Je pense aussi que le problème vient soit du DL1 soit de l'approximation (à la même étape).

    pour AM, je trouve :

    1/AM = 1/r (1 + a²/r² + 2.a.cos(b) / r )-1/2

    dans l'énoncé, on me dit : a<<r

    J'écris donc : a²/r² = 0 (environ ) et je laisse tomber ce terme

    Ensuite je fais un DL1 :
    (1+x)c = 1 + c.x

    et je trouve :

    1/AM = 1/r (1 - a.cos(b)/r)

    Apparemment, c'est la précision qui est trop faible, je vais essayer avec un DL2

    Citation Envoyé par rapporteur
    On prend M à une distance 2a de O et du même côté que A. On voit tout de suite que l'expression de
    VA(M) est incorrecte.
    Je ne vois pas où elle est fausse... juste pas assez précise !



    PS : dans mon premier message, j'ai inversé les expressions de 1/AM et 1/BM ...


    merci en tous cas


    Romain

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    C'est encore moi !!!

    Je viens de refaire les calculs avec un DL2 :

    je trouve :
    1/AM = 1/r ( 1 - a.cos(b)/r + 3.a².cos²(b) / 2r² )

    je trouve la même chose pour 1/BM à l'exception du - devant a.cos(b)/r

    Je somme et je trouve :
    1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r²

    et donc V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r²

    Ca semble correct là, non ?

    Citation Envoyé par rapporteur
    On voit tout de suite que l'expression de
    VA(M) est incorrecte
    Tu peux m'éclairer s'il te plait. Je n'aimerais pas avoir gardé une expression fausse


    Y a-t-il quelque chose à savoir pour les ordres des DL à utiliser dans ces types d'exos ?


    merci à tous

    Romain

  13. #10
    rapporteur

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Citation Envoyé par Romain29
    Bonjour à tous,

    je trouve : V(M) = q/4.Pi.E (1/AM + 1/BM - 2/OM)
    (E étant la permittivité du vide)

    1/AM = 1/r (1+a/r cos(b) )
    1/BM = 1/r (1-a/r cos(b) )
    Bonjour
    Je te parlais de ces formules ou tu avais négligé les termes en a2, ce que tu peux certainement faire si tu supposes a<<r mais pas autrement.
    Ainsi si tu prends M sur l'axe y à une distance 2a de 0
    alors tu dois trouver:
    1/AM=1/a
    1/BM=1/3a
    Or avec ton expression on trouve
    1/AM=3/4a
    1/BM=1/a
    A présent tu as écrit dans ton dernier post que l'on supposait a<<r evidemment ma remarque n'a plus lieu dêtre mais tu ne l'avais pas précise dans ton premier énoncé, d'ou ma remarque
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Citation Envoyé par rapporteur
    A présent tu as écrit dans ton dernier post que l'on supposait a<<r evidemment ma remarque n'a plus lieu dêtre mais tu ne l'avais pas précise dans ton premier énoncé, d'ou ma remarque
    A bientot
    effectivement, j'avais oublié cette précision... mea culpa...
    merci de ta remarque.


    mon résultat final (en gras) est-il bon ? (je réitère)


    Romain

  15. #12
    rapporteur

    Re : [MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour
    Dans la mesure ou le potentiel est fonction de r et de b j'ai tendance à penser que le DL que tu prends supposes que b est constant et donc je ne suis pas sur que ce soit correct.
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

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  17. #13
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Pourquoi b ne serait-il pas constant ? Le point M est fixé dans le plan (xOy), et donc l'angle b est lui aussi constant...

    Ce n'est pas comme si on calculait le potentiel sur une droite (en intégrant) : alors, là oui, b ne serait pas constant...

  18. #14
    rapporteur

    Re : [MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Bonjour
    Puisque M est fixé, alors r aussi est constant ...
    A bientot
    J'en apprends de bonnes tous les jours

  19. #15
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI][Electrostat][exo]Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

    Je viens de me rendre compte que j'ai fais une faute !

    Citation Envoyé par Romain29
    Je somme et je trouve :
    1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r²

    et donc V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r²
    On doit trouver :
    1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r3

    et V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r3

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