[MPSI] [Electrostat] [exo] Calcul d'un potentiel au voisinage d'un tripôle

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour à tous,

j'ai un petit problème avec un exo :

on place sur un axe vertical (Oz) 2 points A et B à une même distance a du point O.

O a une charge -2q, A et B ont une charge +q.

On prend un point M au pif dans le plan.

On appelle b l'angle AÔM et r la distance OM.

(voilà pour le cadre)

On veut le potentiel au point M.

V(M) = V_A(M) + V_B(M) + V_O(M)

je trouve : V(M) = q/4.Pi.E (1/AM + 1/BM - 2/OM)
(E étant la permittivité du vide)

J'utilise les formules d'Al Kashi et je trouve :
1/AM = 1/r (1+a/r cos(b) )

-2/OM = -2/r

1/BM = 1/r (1-a/r cos(b) )

Mais quand je remplace ces valeurs dans l'expression du potentiel... je trouve V(M) = 0

curieux non ?



merci d'avance

Romain
-----

[invitedbbba468]

Bonjour
J'imagine que tu appelles a la distance OA et r la distance OM. Je pense aussi que le plan dont tu parles est le plan médiateur de AB.Je crois qu ton erreur vient de l'expression du potentiel VB(M). Tu mets un signe moins sans raison et la meilleure preuve si j'ai bien compris ta disposition c'est que V_A(M) doit etre egal à V_B(M).
A bientot

[inviteaeeb6d8b]

euh...

je reprends mes explications :

on considère le plan (xOy). On prend A (+q) et B (+q) sur l'axe (Oy). A et B étant à une distance a de O (l'un en dessus, l'autre en dessous).
O est chargé -2q

M appartient au plan (xOy).

Il n'y a aucune raison pour que V_A(M) = V_B(M) puisque AM est différent de BM !

Tu y vois plus clair maintenant ?

Romain

[invitedbbba468]

Rebonjour
Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas. C'est pour ça que je t'ai dit qu'il ya quelque chose qui ne va pas
A bientot

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Rebonjour
Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas. C'est pour ça que je t'ai dit qu'il ya quelque chose qui ne va pas
A bientot

OK ! Je pensais que tu pensais que M était toujours équidistant de A et de B toutes mes excuses alors

je reprend l'expression du potentiel causé par B.

merci

Romain

[yahou]

Si tu prends M sur l'axe Ox tu es bien d'accord qu'il est équidistant de A et de B dont les potentiels respectifs en M sont égaux. Si je prends tes expressions ce n'est pas le cas.

Je crois bien que si. Le cos(b) est nul dans ce cas et donc AM=BM=r.

A mon avis le problème vient plutôt de l'ordre du développement limité. Pour un dipôle le terme dominant est du 1er ordre en a/r, donc on ne pousse pas le développement plus loin. Ce terme est également proportionnel au moment dipolaire, donc si on met deux dipôles de sens opposés au même endroit c'est logique qu'on trouve 0. C'est simplement que la contribution dominante pour le tripôle est au 2nd ordre en a/r.

[invitedbbba468]

Bonjour Yahoo
Ta remarque est tout à fait vraie; j'essayais sans faire de calcul de montrer que la formule est incorrecte. Puisque ça ne marche pas sur l'axe des y on utiliser l'axe des x. On prend M à une distance 2a de O et du même côté que A. On voit tout de suite que l'expression de
V_A(M) est incorrecte.
A bientot

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour à tous !

vous avez raison !

J'ai repris mes calculs hier soir, ils sont bons :
le - apparait car on a du cos(Pi-b)

et si M appartient à (Ox), alors cos(b) = -cos(b) = 0 et donc V_A(M) = V_B(M)

Je pense aussi que le problème vient soit du DL₁ soit de l'approximation (à la même étape).

pour AM, je trouve :

1/AM = 1/r (1 + a²/r² + 2.a.cos(b) / r )^-1/2

dans l'énoncé, on me dit : a<<r

J'écris donc : a²/r² = 0 (environ ) et je laisse tomber ce terme

Ensuite je fais un DL₁ :
(1+x)^c = 1 + c.x

et je trouve :

1/AM = 1/r (1 - a.cos(b)/r)

Apparemment, c'est la précision qui est trop faible, je vais essayer avec un DL₂

On prend M à une distance 2a de O et du même côté que A. On voit tout de suite que l'expression de
V_A(M) est incorrecte.

Je ne vois pas où elle est fausse... juste pas assez précise !



PS : dans mon premier message, j'ai inversé les expressions de 1/AM et 1/BM ...


merci en tous cas


Romain

[inviteaeeb6d8b]

C'est encore moi !!!

Je viens de refaire les calculs avec un DL₂ :

je trouve :
1/AM = 1/r ( 1 - a.cos(b)/r + 3.a².cos²(b) / 2r² )

je trouve la même chose pour 1/BM à l'exception du - devant a.cos(b)/r

Je somme et je trouve :
1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r²

et donc V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r²

Ca semble correct là, non ?

On voit tout de suite que l'expression de
VA(M) est incorrecte

Tu peux m'éclairer s'il te plait. Je n'aimerais pas avoir gardé une expression fausse


Y a-t-il quelque chose à savoir pour les ordres des DL à utiliser dans ces types d'exos ?


merci à tous

Romain

[invitedbbba468]

Bonjour à tous,

je trouve : V(M) = q/4.Pi.E (1/AM + 1/BM - 2/OM)
(E étant la permittivité du vide)

1/AM = 1/r (1+a/r cos(b) )
1/BM = 1/r (1-a/r cos(b) )

Bonjour
Je te parlais de ces formules ou tu avais négligé les termes en a², ce que tu peux certainement faire si tu supposes a<<r mais pas autrement.
Ainsi si tu prends M sur l'axe y à une distance 2a de 0
alors tu dois trouver:
1/AM=1/a
1/BM=1/3a
Or avec ton expression on trouve
1/AM=3/4a
1/BM=1/a
A présent tu as écrit dans ton dernier post que l'on supposait a<<r evidemment ma remarque n'a plus lieu dêtre mais tu ne l'avais pas précise dans ton premier énoncé, d'ou ma remarque
A bientot

[inviteaeeb6d8b]

A présent tu as écrit dans ton dernier post que l'on supposait a<<r evidemment ma remarque n'a plus lieu dêtre mais tu ne l'avais pas précise dans ton premier énoncé, d'ou ma remarque
A bientot

effectivement, j'avais oublié cette précision... mea culpa...
merci de ta remarque.


mon résultat final (en gras) est-il bon ? (je réitère)


Romain

[invitedbbba468]

Bonjour
Dans la mesure ou le potentiel est fonction de r et de b j'ai tendance à penser que le DL que tu prends supposes que b est constant et donc je ne suis pas sur que ce soit correct.
A bientot

[inviteaeeb6d8b]

Pourquoi b ne serait-il pas constant ? Le point M est fixé dans le plan (xOy), et donc l'angle b est lui aussi constant...

Ce n'est pas comme si on calculait le potentiel sur une droite (en intégrant) : alors, là oui, b ne serait pas constant...

[invitedbbba468]

Bonjour
Puisque M est fixé, alors r aussi est constant ...
A bientot

[inviteaeeb6d8b]

Je viens de me rendre compte que j'ai fais une faute !

Je somme et je trouve :
1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r²

et donc V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r²

On doit trouver :
1/AM + 1/BM = 2/r + 3.a².cos²(b)/r³

et V(M) = 3.a².cos²(b).q / 4Pi.E.r³