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[exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires




  1. #1
    yemi

    Question [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    j'aimerais calculer les trajectoires de deux masses M et M' disposée telles que(voir le schéma)

    m = 250 g,
    la constante de raideur k = 7 N.m -1.
    longueur à vide l=15cm
    On écarte M' de 14 cm vers le bas, M de 7cm, et à l'instant t = 0 on lache les deux masses sans vitesse initiale.
    Je trouve une équation différentielle dépendant de x(t) et de y(t) pour chaque masse. Mais je crains mettre tromper sur le bilan des forces car après résolution (avec maple) je trouve en solution deux polynomes et non des fonction sin ou cos.
    merci de votre aide.
    amusez vous bien

    -----

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  3. #2
    yemi

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    c'est juste de la curiosité, je suis en sup et je n'arrive pas du tout...

  4. #3
    valou59

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    salut,
    bilan des force sur M':
    - P'=m*g
    - T2'=-k(x(t)-y(t)-l)
    sur M:
    - P=2*m*g
    - T2=-T2'
    - T1=-k(y(t)-l)

    équation diff:
    m*d²(x(t))/dt²=-k(x(t)-y(t)-l)+mg
    2*m*d²(y(t))/dt²=k(x(t)-y(t)-l)+mg-k(y(t)-l)

    ca a l'air d'etre ca mais après je ne sais pas résoudre


  5. #4
    juvonet

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Salut,

    Valou, je trouve les mêmes équadiff si ce n'est qu'il manque (je pense) un petit facteur 2 devant dans le second membre de ta deuxième équation.

    Yemi, tiens nous au courant, que te donne Maple comme solution ?

  6. #5
    Chup

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Bonjour,
    en ecrivant les équations avec comme variables les écarts aux positions d'équilibre, on fait disparaître les mg et les l... Ca simplifie et il ne reste plus que k/m (ou omega^2)...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Chup

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Ensuite, on découple les deux équations couplées en deux équations découplées (evec deux nouvelles variables combinaison linéaire des écarts à l'aquilibre). Chacune d'elle donne bien une oscillation de pulsation différente (et différente de sqrt(k/m)) et permet de trouver le résultat voulu en fonction des conditions initiales.

  9. #7
    yemi

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    merci a tous.
    j'ai pu récupérer les resultats sur maple avec les équations différentielles suivantes:
    d²(x(t))/dt²=-w²*(x(t)-y(t))
    d²(y(t))/dt²=(1/2)w²(x(t)-2y(t))
    les résultats sont dans les pieces jointes.
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  11. #8
    yemi

    trajectoire d'une autre bille

    maintenant si vous voulais vous amuser:

    Vous avez un reservoir d'air (à la pression extérieur p0=1bar) de 10L surmonté d'un tube en verre de hauteur h=60cm et de rayon 0.5 cm.

    On lache une bille parfaite de rayon 0.5cm dans le tube (tout en haut bien sur) sans vitesse initiale.
    On suppose la transformation isotherme.
    Quelle est l'équation diff qui donne en solution la trajectoire de la bille? voir le schéma
    Si on en rajoute une autre sans vitesse initiale, lorsque la première est au plus bas dans le tube, quelles sont les equa diff?


    si vous n'avez pas compris, n'hésité pas a demander.
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  12. #9
    Chup

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Citation Envoyé par yemi
    d²(y(t))/dt²=(1/2)w²(x(t)-2y(t))
    pourquoi ce 1/2 ?

  13. #10
    yemi

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    j'ai repris les équations de valou59 en rajoutant un facteur 2 devant m*g dans la deuxieme. Ensuite j'ai suprimé les mg et les l comme tu la dit.
    ca nous donne:
    2*m*d²(y(t))/dt²=k(x(t)-y(t))-k(y(t))
    puis:
    2*d²(y(t))/dt²=w²(x(t)-2y(t))
    enfin:
    d²(y(t))/dt²=(1/2)w²(x(t)-2y(t)
    voila merci encore

  14. #11
    Chup

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Citation Envoyé par valou59
    salut,
    bilan des force sur M':
    - P'=m*g
    - T2'=-k(x(t)-y(t)-l)
    sur M:
    - P=2*m*g
    - T2=-T2'
    - T1=-k(y(t)-l)

    équation diff:
    m*d²(x(t))/dt²=-k(x(t)-y(t)-l)+mg
    2*m*d²(y(t))/dt²=k(x(t)-y(t)-l)+mg-k(y(t)-l)

    ca a l'air d'etre ca mais après je ne sais pas résoudre
    sur le schéma, M et M' ont al même masse m, il n'y a pas besoin de ces '2'...

  15. #12
    yemi

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    car le poids de la deuxieme intervien aussi comme force sur la première.

  16. #13
    Chup

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Citation Envoyé par yemi
    car le poids de la deuxieme intervien aussi comme force sur la première.
    Non, il est déjà pris en compte dans la tension du ressort.

  17. #14
    yemi

    Re : [exo] ressort/bille/ressort/bille trajectoires

    Ok a ce moment la on obtient ces fonctions et ce graphe
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