N personnes sur une plateforme

[kizakoo]

On considère N personnes sur une plateforme placée sur un rail. On désire connaitre laquelle des deux options fournirait une plus grande vitesse a la plateforme::
Les N personnes se dirigent a un instant t a une extrémité de la plateforme:
1# elles sautent toutes en même temps avec une vitesse v définie par rapport a la plateforme APRÈS LE SAUT.
#2 elles sautent l une après l autre .
0 frottements et réaction du support et poids se compensent donc somme des forces extérieures est nulle.


La clé= conservation de la quantité du mvt et puisque vitesses initiales nulles donc...
On ns pose après la question sur ce qui se produirait si la vitesse du saut est cette fois -ci définie AVANT le saut ??
Je n ai pas saisi la différence entre l ancienne et nouvelle situation est ce la personne qui va sauter va courir sur la plateforme (et donc générer une vitesse avant le saut) contrairement a la 1ere fois où la personne n acquiert une vitesse qu après avoir quitté la plateforme???
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[phys4]

Pour le premier cas c'est la solution 2 car les personnes cèdent une plus grande quantité de mouvement :
elles sautent par rapport à la plateforme donc les premières quittent la plateforme avec une quantité de mouvement plusgrandes que les dernières, si elles sutent toutes ensemble elles cèdent une quantité de mouvement égale et plus petite.

La solution s'inverse si l'on considère la vitesse relative avant le saut.

[albanxiii]

Voir ici http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=8&t=61848

[phys4]

Je réalise que ma réponse précédente n'était pas très claire :
Pour l"énoncé 1 dans lequel la vitesse relative de saut est définie après la saut, c'est la suite de sauts individuels qui donne la plus grande vitesse, donc plus que le saut en commun.

Pour l'énoncé 2 qui définit la vitesse relative avant le saut, c'est le saut collectif qui donne la plus grande vitesse.

Démonstration détaillée suit, si vous le désirez.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kizakoo]

Oui je désire très fortement une démonstration détaillée si cela ne vous dérange pas. (excusez mon retour tardif c'était plus fort que moi).
Je vous en remercie.

[phys4]

Bon retour,
Je reprends donc les données du probléme :
Soit M la masse de la plateforme et m la masse de chaque personne.
Pour le saut de chaque personne à la vitesse v, nous considérons que la plateforme prend la vitesse v1 pour la 1re personne, v2 pour la seconde, jusque vN
AU départ la masse totale est M +Nm
Pour chaque saut nous prenons pour repère d eréférence la plateforme après le saut, ainsi la plateforme a la vitesse -v1 avant le premier saut, et la personne prend la vitesse v lors du saut.
La plateforem devannt immobile après nous avons bien une vitesse relative v après le saut.
La conservation de l'impulsion indique
(M+Nm) v1 = mv pour le premier saut
(M+(N-1)m) v2 = mv pour le second
...............
(M + m) vN = mv pur le dernier
La vitesse totale acquise est la somme des vitesses élémentaires soit


Si toutes les personnes sautent ensemble nous aurons une vitesse du chariot V' telle que
(M +Nm) *V' = Nm*v
V' = m*v*\Sigma_N \frac{1}{N+Nm}
dans cette somme de N fractions nous avons un terme commun avec la somme précédente, et tous les autres sont plus grands, puisque le dénominateur est plus petit, par conséquent
V' < V

Pour la seconde partie du problème, la vitesse v est définie avant le saut c'est à dire que chaque personne se déplace à la vitesse v par rapport à celle de la plateforme avant le saut.
Nous prendrons alors comme référence la plateforme avant le saut et la plateforme accélère de v1 au premier saut telle que
(M + (N-1)m)*v1 = mv qui sont les impulsions par rapport à cette référence
pour le dernier nous aurons
M *vN = mv
La nouvelle somme obtenue devient :

Pour les personnes autant toutes ensemble :
M *V' = N*m*v
La nouvelle vitesse se décompose cette fois en une somme de N terme tous supérieurs ou égaux à la somme précédente, donc cette fois le saut en commun donne plus de vitesse que la somme de chaque saut.

[kizakoo]

Je lis et relis et les choses s'éclaircissent ..
Remerciements phys4

[phys4]

Je constate que j'ai oublié une balise TEXT sur une équation d'ailleurs mal écrite,
il manque aussi la comparaison entre les 4 vitesses finales qui peut être intéressante.
Les formules sont donc
pour la vitesse d'éjection définie après le saut et les sauts en série :


et pour le saut en commun :


Pour la vitesse définie avant le saut
les sauts individuels donnent :


et pour le saut en commun :


L'ordre des vitesses est donc


Pour les sauts en série, la différence est très petite car il n'y a qu'un terme de différence entre les deux sommes.
La logique de cette suite c'est que si l'on définit la vitesse d'éjection avant, cette vitesse est plus grande en absolue puisqu'elle est mesurée par rapport à une plateforme qui n'a pas encore accélérée.