Formes idéales pour démontrer l'attraction universelle

[choom]

Bonjour à tous.
Une question me titille depuis des semaines.
Le contexte
Imaginons que l'on veuille montrer de manière éclatante l'action de la loi de l'attraction universelle entre tous les corps ayant une masse, et ce, par un montage, à l'exemple du pendule de Foucauld qui démontrait de manière éclatante la rotation de la terre.
J'imagine suspendre, proches l'un de l'autre, 2 corps massifs : à chacun des corps serait fixé, juste au-dessus de son centre de gravité, un long câble le suspendant à un plafond élevé.
La question :
Quelles formes devrait-on donner aux 2 corps pour maximiser l'effet de l'attraction entre eux, et donc permettre aux observateurs de constater leur rapprochement ? ( vérifiable par le fait que les 2 cables seront plus écartés l'un de l'autre au plafond qu'à hauteur de leurs attaches aux masses respectives.)
La question me taraude car 2 sphères de rayon r ont leurs centres de gravité respectifs à une distance 2r l'un de l'autre. Faut-il 2 demi-sphères? Ou mieux 2 parallélépipédes se montrant leur côté avec leur plus grande surface?
Je crois en tous cas qu'il faudra déjà de sérieuses masses pour qu'un effet visible soit observable, ce qui justifierait de bien choisir les formes qui le maximise.
Nb: je n'ai pas de projet concret, ma question est par pure curiosité...
Merci d'avance pour vos lumières.
Choom.
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[phys4]

Les premières expériences ont été faites avec des sphères, pour la raison suivante : la sphère est le forme pour laquelle l'attraction est équivalente à toute la masse concentrée en son centre.
Pour les autres formes géométriques c'est beaucoup plus compliqué.

http://acces.ens-lyon.fr/clea/archiv...aut_103_02.pdf

[choom]

Merci du lien. Il est intéressant pour le point de vue historique.
Mais je tiens à une expérience la plus "simple" possible en montrant tout simplement 2 grosses masses qui s'attirent, sans encore savoir si cela serait possible.
En effet il faut que l'attraction horizontale entre les 2 corps suffise à créer un angle entre leurs suspensions, et soit donc plus forte que le poids de ces masses multiplié par ( longueur des suspensions fois sinus de la moitié de l'angle entre elles )
Dans un premier temps je cherche donc un raisonnement ou un calcul permettant de trouver quelles formes donnent le meilleur rapport entre volume (et donc masse et donc poids à devoir suspendre ) et force d'attraction.
Mes premiers calculs semblent montrer que les formes les plus efficaces seraient des plaques ( parallélépipèdes ou cylindres d'épaisseurs juste suffisantes pour en assurer la rigidité ).
Mais je n'en n'ai pas la justification formelle...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pensez-vous que Cavendish était un crétin fini et qu’il a fait une manip aussi élaborée pour mesurer l’attraction de deux masses, alors qu’il lui aurait suffit de vous demander conseil et la remplacer par deux masses accrochées au plafond ?

Pourquoi croyez-vous que Phys4 vous a donné ce lien ? Pour vous apprendre l’historique de l’ère de crétins ?
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite156cfd77]

Bonjour,

Quand est-il du dernier paragraphe "La constante G de la gravitation universelle varie-t-elle ?", il est présenté comme catégorique que soit c, soit e, soit G, varie au cours du temps. Il y'a des infos plus récentes de ce côté là ?

[phys4]

Mes premiers calculs semblent montrer que les formes les plus efficaces seraient des plaques ( parallélépipèdes ou cylindres d'épaisseurs juste suffisantes pour en assurer la rigidité ).
Mais je n'en n'ai pas la justification formelle...

Avez vous essayer de faire le calcul d'attraction entre deux plaques ?
Nous pourrions espérer que chaque élément de la plaque n'attire qu'une zone limitée de l'autre plaque, surtout si elles sont assez proches, l'intégrale approchée donne alors

avec M masse de chaque plaque et S surface de la plaque
La distance des plaques a disparu de l'expression, ce qui signifie que pour une très faible distance la force devient constante.

[choom]

@lfpr
Primo je ne souhaite rien mesurer, je n'ai donc aucun besoin de la précision que requérait Cavendish.
Secundo, c'est uniquement par curiosité mathematique que je cherchais de l'aide pour déterminer la forme la plus efficace pour créer de l'attraction entre 2 corps pour une masse donnée. Phys4, qui n'a pas votre agressivité, l'a bien compris, lui.
Tertio, je ne prend personne pour un crétin, seulement peut-être ceux qui semblent oublier la signification française du verbe modérer...
4) la charte, elle dit quoi à propos des attaques ad hominem ?

Je regrette de vous répondre de telle maniére, car j'apprécie généralement vos interventions qui démontrent un grand savoir et le goût de le partager. Et rien que ce temps offert aux autres mérite le respect. Mais peut-être faudrait-il prendre des vacances de temps en temps...

@Phys4 : vous m'avez bien éclairé sur les limites de la forme de plaque, mais il est cependant clair que les sphères ne sont pas l'idéal non plus dans le rapport entre la force totale d'attraction exercée et les volumes(et donc la masse): prennez 2 sphères, attirées l'une par l'autre par une Force F. Doublez leur masse à toutes 2 et refaites le calcul. Notons le rapport entre cette nouvelle force et la force F initiale.
Mettez maintenant côte à côte d'un côté 2 sphères pareilles à la première expérience, face à 2 autre sphères pareilles.
Nous avons ici aussi doublé la masse des 2 côtés. Mais le calcul que j'obtiens pour ce 3ième essai m'indique pour ce dernier essai un rapport à la force F initiale plus grand que dans le 2ième essai. Me trompé-je ?
Si je ne me trompe pas, vous comprendrez ce qui m'a amené, par développement, et en comblant les trous, à penserà des plaques. Si je me suis trompé, alors c'est que ce me reste de mes maths est encore pire que ce je croyais.
J'ai hélas depuis longtemps perdu l'habileté mathématique pour calculer la forme idéale par moi-même,
et c'est dans l'espoir que quelqu'un qui a gardé son habileté en math ne me prenne pas pour un crétin que j'ai posé la question sur ce site....
Bien cordialement
Choom.

[phys4]

Pour vos sphères, vous considérez une masse M par sphère, la distance minimale entre les centres des sphères est égale à leur diamètre D

Si vous doublez la masse des sphères, le produit de masses sera multiplié par 4, mais la distance minimale augmente puisque le diamètre des sphères est multiplié par 21/3
Le dénominateur de l'expression de la sphère sera multiplié par 22/3 = 1,587

Au total la force augmente de 4/1,587 = 2,52

Avez vous essayé de comparer la force entre sphères et la force entre plaques avec la formule approchée que vous ai donnée ?

[choom]

Pour vos sphères, vous considérez une masse M par sphère, la distance minimale entre les centres des sphères est égale à leur diamètre D

Si vous doublez la masse des sphères, le produit de masses sera multiplié par 4, mais la distance minimale augmente puisque le diamètre des sphères est multiplié par 21/3
Le dénominateur de l'expression de la sphère sera multiplié par 22/3 = 1,587

Au total la force augmente de 4/1,587 = 2,52

Avez vous essayé de comparer la force entre sphères et la force entre plaques avec la formule approchée que vous ai donnée ?

Oui Phys4.
D'abord merci de vos réponses et de vous prêter'au jeu.
Avant d'aller plus loin je laisse le soin à la modération de décider de déplacer ou non ce fil dans le forum d'amusement scientifique : l'aspect purement curiosité intellectuelle risque peut-être de paraître à certains trop futile par rapport au niveau des questions généralement abordées sur ce forum-ci

En réponse à Phys4.
Si l'on nomme F la force d'attraction entre nos 2 boules identiques qui se touchent, de masse M chacune et de rayon R alors...

1) comme vous entre 2 boules de masses 2M chacune j'obtiens une force soit un facteur de 2,51984...

2) entre d'un côté 2 boules contiguës de masse M mises en contact avec 2boules identiques et contiguës en face d'elles de l'autre côté d'un plan imaginaire, le total des forces perpendiculaires au plan atteint
soit un facteur de 2,707106...

3) pour déterminer l'effet de votre formule, je nomme d'abord p le facteur de proportion entre notre R initial et l'épaisseur réelle de nos plaques. R fait donc l'épaisseur de p plaques. Pour que les résultats restent comparables
j'applatis donc des sphères de masse 2M chacune et j'obtiens une surface de contact .
Ce S dans votre formule donne

J'en conclu d'abord que cette formule simplifiée n'est vraiment une approximation que pour des épaisseurs assez fines,( absence du ´d' se justifiant sans doute dans un calcul de limite avec d tendant vers 0 ) ce qui ne peut être la cas puisque dans les contraintes que je me suis donné les volumes doivent rester rigides.

Par ailleurs j'essaie de compenser mon habileté perdue en math par quelques réflexions de bon sens..
A) les 2 formes ne peuvent en aucun cas se pénétrer partiellement. Elles doivent rester de leur côté du plan de séparation sous peine de conduire partiellement à l'annulation d'une partie de leur forces : certains éléments de matière d'une forme se trouvant partiellement tiréees en arrière.
B) elles doivent former une symétrie par rapport au plan entre elles puisqu'elles doivent intervertibles
C) il n'y a aucune raison qu'elles n'aient pas un axe de symétrie central commun passant par leur centre de masse puisqu'aucune contrainte ne donne d'indication d'une direction particulière.
D) elles ne peuvent présenter aucun coin ni arête sur leur surface sous peine, pour la matière située dans ces endroits d'être inutilement éloignées des matières de l'autre forme.
E) aucun endroit de la partie du plan entre elles ne peut être ´hors contact' car cela siginfierait que des parties de matières pourraient avantageusement se rapprocher de la forme d'en face.

J'en déduis par intuition que les formes qui maximisent l'attraction avec une forme similaire voisine pour un minimum de volume devraient être des calottes de sphères, voire peut-être tout simplement des demi-sphères.

Mais pour en avoir la preuve, je suppose qu'il faut calculer la Force par une double intégrale volumique des inverses des carrés des distances avec comme base de calcul pour les bornes d'intégration des coordonnées la hauteur h des calottes et le rayon plat de ces calottes nécessaire pour caser 2M de matière dans une calotte de rayon h, puis dériver ce calcul de Force par rapport à h et déduire le bon h maximal du moment ou cette dérivée s'annule...

Cela est hors de mes capacités. Mais cela m'étonnerait fort que personne n'ait jamais fait ce calcul,
par exemple pour maximiser la force d'aimants, qui suivent la même loi à la constante d'attraction près....

[phys4]

J'en conclu d'abord que cette formule simplifiée n'est vraiment une approximation que pour des épaisseurs assez fines,( absence du ´d' se justifiant sans doute dans un calcul de limite avec d tendant vers 0 ) ce qui ne peut être la cas puisque dans les contraintes que je me suis donné les volumes doivent rester rigides.

Les intégrales pour des formes quelconques peuvent très complexes, sinon insolubles,
je vous ai donné l'approximation pour des disques assez plats et à faible distance l'un de l'autre, ce qui permet de négliger l'effet de bord.

On retrouve une force indépendante de la distance comme en électrostatique.

[choom]

Merci à vous.
Reste plus qu'à espérer qu'un autre curieux aie déja intégré la force au moins entre 2 demi-sphères... et tombe sur notre fil.

[choom]

Je crois qu'à défaut d'un calcul j'ai trouvé une réflexion qui dit quelle forme maximise entre 2 volumes identiques leur attraction mutuelle par rapport à leur masse. Ce doivent être des demi-sphères.
Car si c'étaient des calottes de sphères de hauteur plus petite que le rayon, nous aurions autour de nous des planètes lenticulaires ( et pas seulement aplaties légèrement par la force centrifuge due à leur rotation ).

Calculer la force gravitationelle exercée perpendiculairement au plan qui sépare 2 demi-sphères a certainement été déjà fait. Reste à trouver par qui...

[phys4]

Je pense avoir trouvé un moyen indirect de calculer la force entre deux demi-sphères:
Je considère une sphère unique de rayon R et de densité ,
il est facile de calculer la pression interne produite par sa propre gravitation :


on sépare par une paroi en deux hémisphères, il s'exerce alors une force sur la paroi qui correspond à la force de rapprochement des deux hémisphères.
L'intégrale sur la surface de la paroi donne


si l'on compare à la force entre deux sphères de rayon R de même densité, en contact


Pour une masse totale identique on gagne un petit facteur avec les deux hémisphères

[choom]

Je pense avoir trouvé un moyen indirect de calculer la force entre deux demi-sphères:
Je considère une sphère unique de rayon R et de densité ,
il est facile de calculer la pression interne produite par sa propre gravitation :


on sépare par une paroi en deux hémisphères, il s'exerce alors une force sur la paroi qui correspond à la force de rapprochement des deux hémisphères.
L'intégrale sur la surface de la paroi donne


si l'on compare à la force entre deux sphères de rayon R de même densité, en contact


Pour une masse totale identique on gagne un petit facteur avec les deux hémisphères

Je suis persuadé que vous tenez le bon bout mais
euh, je me trompe sans doute mais en remplaçant M par avec

dans j'obtiens (La puissance 4 a disparu)

Que pour une même densité on obtienne pour 2 sphères une force linéairement fonction du rayon me semble normal. Du coup je reste perplexe pour le facteur entre les 2 résultats...

[choom]

Désolé j'aî perdu une puissance 3 dans mon calcul.

[choom]

Du coup je vous remercie grandement car vous avez obtenu la réponse à la question initiale.
Je vais pouvoir dormir en paix sans plus rêver'de demi-sphères..��

[choom]

L'intégrale sur la surface de la paroi donne


si l'on compare à la force entre deux sphères de rayon R de même densité, en contact


Pour une masse totale identique on gagne un petit facteur avec les deux hémisphères

Je reviens vers vous en vous remerciant encore, avec une seule correction que je crois devoir apporter :
le facteur n'est pas si petit que cela.
J'explique : telle que vos 2 formules sont présentées, on PERD un petit facteur. On passe de 4/9 à 3/9 d'un même résultat en passant de 2 sphères à 2 demi-sphères. Soit une perte de force de tout de même 25%.

Heureusement, le rayon de la formule des demi sphères n'est pas le même puisque vous partez d'une sphère unique qui doit être équivalente en masse à celle de la somme des 2 sphères de l'autre formule.

Ce nouveau rayon vaut dès lors fois l'ancien.
Le rapport des forces d'attraction entre d'une part 2 demi-sphères et d'autre part 2 sphères,
tous volumes de même masse, est de soit = 1,88988..

Bonne soirée.
Bien cordialement.
Choom

[phys4]

euh, je me trompe sans doute mais en remplaçant M par avec

dans j'obtiens (La puissance 4 a disparu)

Lorsque vous mettez V au carré, il ne faut omettre le facteur R³ qui devient R⁶

Pour des questions de dimensions, il est indispensable que les expressions des forces comportent les mêmes quantités physiques avec les mêmes puissances, sinon il y aurait forcément une erreur.

[choom]

Lorsque vous mettez V au carré, il ne faut omettre le facteur R³ qui devient R⁶

Pour des questions de dimensions, il est indispensable que les expressions des forces comportent les mêmes quantités physiques avec les mêmes puissances, sinon il y aurait forcément une erreur.

Merci, j'avais repéré mon erreur, comme dit dans mon post 15, mais juste trop tard pour corriger.

Etes vous d'accord avec mon post 17 ?

[phys4]

tous volumes de même masse, est de soit = 1,88988..

Oui, ce coefficient est le gain que l'on a entre deux sphères en contact et deux demi-sphères, le tout de masse totale identique.

Il faut remarquer que pour les deux sphères nous connaissons exactement la variation de la force avec la distance, alors que pour les demi-sphères, nous pouvons seulement dire que la force est constante pour un petit espace puis décroit suivant une loi inconnue.