La théoreme d'Ostogradski

[invite66710c99]

Bonsoir tous le monde

Je n'arrive pas a comprend la théoreme de Green Ostogradski

merci d'avence
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[inviteec0d6e6f]

Salut,

Théorème est un nom masculin, Mohamed, donc le théorème.
Et puis c'est un truc bien compliqué, tu en as besoin pour quoi, exactement ?
Une recherche rapide sur Google te donnes la page qui le décrit :

théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski

Je l'ai lu vite fait... j'ai strictement rien compris non plus...

Bon courage !

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Quand j’ai étudié ça (au millénaire précèdent), les deux théorèmes s’appelaient : théorème de Gauss pour celui du flux-divergence, et théorème de Stokes pour celui-ci.

Le théorème de Gauss veut dire « ce qui sort d’un volume est égal à la somme de tout ce qui se crée dedans ».
Mais cela demande de comprendre ce que veut dire le flux et la divergence d’un champ vectoriel.

Vous trouverez des explication simplifiées dans ce fascicule :
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf

(Je trouve aussi que les explications de Wikipédia sont inhabitables.)
Au revoir.

[azizovsky]

Bonjour, d'un point de vue purement de géométrie analytique: (pas trop de blabla)

on a par exemple, avec vecteur (normaliser) et axe des abscisses

la même chose avec les surface :

(1) càd la projection de la surface sur le plan XOY

on a aussi pour une fonction à une variable : (2) :

on applique la même chose sur une fonction à 3 variable



d'après (2) :

et on utilise (1) (il faut distingué deux cas : la normale est au dessus(zone I, cos(n,z) est positif) ou au dessous de la surface (zone II) cos (n, z) est négatif):


il n'est pas utile d'écrire les indices de , puisqu'on indique sur quelle partie de la surface on effectue l'integration.
l'intégral sur toute la surface :



on aurait pu démontrer exactement de la même façon, en prenant deux autres fonction et que:




en additionnant memebre à membre les trois formules, on obtient la formule d'Ostrogradski:



et tu peut décorer avec l opérateur nabla....

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

et pour finir le travail, on applique la formule d'Ostrogradski à un vecteur on posant /
ce qui donne :







enfin



c'est à dire que l'intégrale de volume de divergence est égale au flux du champ à travers la surface de ce volume (en physique , il devient le théorème de Gauss (il lui donné un sens...)).

[azizovsky]

désolé, il manque un ds au deuxième membre de la dernière équation du premier message et un dv au premier membre de la dernière équation du second message.( café du matin ....)(si c'est possible de rectifier, merci d'avance).

[invite66710c99]

On a vue que la variation d'un champ au sein d'un volume s'accompagne néssecairement d'un flux équivalente a travers sa frontiers


si la divergent d'un champ vectoriel A =0
donc on un flux conservatif

(se qui entre=se qui sort ??)

si la divA supérieur a 0

il y'a une source a l'intérieur du volume (flux diverge)

la 3ieme cas je ne le sais pas ?

[azizovsky]

si tu prend une seule charge (+) au centre d'une sphère, les lignes du champs électriques sont radiales et sortent de la sphère, s'il est (-) c'est l'inverse, si on pend les deux comme système (par exemple une atome d'hydrogène*) , le champs résultant qui passe par une sphère qui contient les deux charges, il est nul : flux sortant + flux rentrant =0, donc, il y'a un flux positif et un autre négatif. (+)-->-->-->-->-->(-)

* elle est neutre

[azizovsky]

ligne du champ électrique d'un dipôle électrique (+,-) https://fr.wikipedia.org/wiki/Dip%C3...dipoleelec.png

ce qui sort = ce qui rentre et si on mathématise cette équation, on prend par convention (sortir= positif (projection par rapport à la charge), rentrer=-), l'équation devient :
ce qui sort +ce qui rentre =0

[Gilgamesh]

Pour ceux qui cherche un cours (3h) qui remonte depuis la base de la notion de différentielle pour arriver jusqu'à Stokes / Green : https://www.youtube.com/watch?v=CZ8cT-rUyps

[lodeli]

Je suppose que l'on peut matérialiser ce théorème par une situation atmosphérique :
si on considère une zone d'atmosphère figurée par un volume :

ce volume peut avoir trois états
1 - dépression
2 - pression, nulle
3 - surpression

Dans le cas 3 on aura une divergence positive et donc un flux sortant
dans le cas 2 on aura une divergence nulle et pas de flux
dans le cas 1 on aura une divergence négative et un flux entrant