Théories physiques et théorie d'invariance

[Anonyme007]

Bonjour,

Pourquoi cherche-t-on toujours à étudier dans la plupart des théories modernes, l'invariance d'un système d'équations physiques par un groupe ?. Quel est le but final d'appliquer cette idée ? Pensez par exemple à la théorie de Yang Mills, à la théorie de Jauge, à la théorie de relativité restreinte, à la théorie des champs, ... à plein d'autres théories physiques. Quelle est l'idée sous-jacente derrière cette procédure ? svp, ne vous enfermez pas dans une seule idée stérile, mais condensez un maximum d'idées dans vos réponses, afin de suivre votre logique, et voir plus claires les dimensions globales derrière cette méthode. On dit que c'est une méthode universelle présente meme dans le coeur des mathématiques et de la physique.

Merci d'avance.
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[Amanuensis]

Parce que ça marche.

On dit que c'est une méthode universelle

Les on-dit... Universelle est un bien grand mot, non?

[Anonyme007]

Oui, mais ça marche dans quel but ? en algèbre ou en géométrie, l'invariance sert surtout à classifier des objets de nature algébriques ou géométrique, mais pas dans toutes les situations, j'ai cité simplement une idée, mais ce n'est pas exhaustif ... mais en physique, quel est son rôle ?
Racontez moi un peu ce que vous connaissez sur ce sujet, ainsi que ses finalités.
Merci.

[Deedee81]

Salut,

C'est tout bête en fait. On observe des symétries dans les systèmes physiques. Ca, ce n'est pas une déduction ou un choix, c'est juste un constat. C'est-à-dire l'invariance des équations sous des transformations de symétrie. Et la théorie des groupes est l'outil d'analyse des symétries. On retrouve donc les groupes un peu partout en physique, outre ceux cité, déjà en mécanique quantique avec le spin mais aussi un peu partout comme l'invariance par translation en mécanique quantique ou classique, même si on n'a pas toujours besoin de faire intervenir tout l'arsenal de la théorie des groupes (les translations c'est quand même assez simple).

Ce n'est donc pas une "idée" comme tu dis mais simplement le fait que lorsqu'on veut enfoncer un clou on utilise un marteau et de même pour analyser les symétries on utilise les groupes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je soupçonne la question d'être un tantinet plus profonde que ça.

La catégorie des théories de jauge est assez limitée, et il est un fait qu'un paquet des théories fondamentales actuelles peuvent s'écrire comme des théories de jauge.

En gros d'une symétrie locale on passe à un fibré (sur l'espace-temps par exemple) dont le groupe local est celui de la symétrie (un fibré principal), et on s'intéresse aux sections de ce fibré, d'où on tire un formalisme introduisant une connexion, qui permet de construire une densité de lagrangien, qui donne la théorie physique en appliquant les principe d'extrémalisation de l'action, etc. Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_...ical_formalism

Il y a donc une question très profonde, allant bien au-delà de la simple notion de symétrie (en particulier l'irruption du principe d'extr. de l'action), question qui est pourquoi tant de théories physiques peuvent s'écrire comme des théories de jauge?

[0577]

Bonjour,

il y a une différence importante entre "symétrie" et "symétrie de jauge".

1) En physique, une symétrie ("symétrie globale") est une transformation agissant sur l'espace des états du système physique
(espace des phases en physique classique, espace de Hilbert en physique quantique), préservant la structure cinématique
(transformation symplectique en physique classique, transformation (anti)-unitaire en physique quantique) et la dynamique
(commute avec la dynamique hamiltonienne). Les symétries d'un système physique, comme définies ci-dessus, sont définies de
manière intrinsèque par le système physique. Certains systèmes physiques ont beaucoup de symétries, d'autres en ont très peu.

2) Une symétrie de jauge ("symétrie locale") n'est pas une symétrie au sens de 1): les états du système physique sont par définition invariants sous transformation de jauge. De plus, les symétries de jauge ne sont pas intrinsèques au système physique mais dépendent d'un choix particulier de description. Essentiellement par définition, on a des "symétries de jauge" chaque fois que l'on utilise une description redondante d'un système, i.e. chaque fois qu'on utilise une famille d'objets mathématiques pour décrire le même état physique: les "symétries de jauge" identifient les membres d'une même famille.

Le terme de "symétrie" dans "symétrie de jauge" provient du fait que dans une description lagrangienne, les "symétries de jauge" sont des symétries du Lagrangien (au sens mathématique de transformations laissant le Lagrangien invariant). Mais cela n'implique pas que ce sont des symétries du système physique: au contraire, ce sont les transformations qui doivent être rendues triviales dans la construction d'un système physique à partir d'un Lagrangien.

Un Lagrangien et les symétries de jauge ne sont pas intrinsèques à un système physique mais dépendent d'un choix de description (mathématiquement, en physique classique: réalisation de l'espace des phases comme quotient symplectique d'une variété symplectique auxiliaire, en physique quantique: réalisation de l'espace de Hilbert comme espace des invariants d'une action de groupe sur un espace auxiliaire). Différentes descriptions, avec différents Lagrangiens et différentes symétries de jauge, peuvent correspondre à un même système physique (exemple inintéressant: on peut toujours ajouter des paramètres redondants et les "tuer" par une transformation de jauge. Il y a des exemples plus intéressants).

Les descriptions redondantes avec "symétrie de jauge" sont utilisées en pratique car elles permettent de rendre manifeste certaines symétries ("globales", pas "de jauge"!). Pour décrire une particule quantique relativiste de spin 1 de masse nulle d'une manière rendant manifeste la localité, on veut utiliser un champ et pour rendre l'invariance relativiste manifeste, ce champ doit se transformer dans une représentation du groupe de Lorentz. Le problème est qu'il est impossible d'obtenir une représentation non-redondante de cette façon: une particule sans masse de spin 1 a deux degrés de polarisation alors qu'une représentation (bosonique) non-triviale du groupe de Lorentz est de dimension au moins 4: la représentation vectorielle. Le mieux que l'on puisse faire est prendre un champ se transformant dans la représentation vectorielle du groupe de Lorentz et se rappeler que cette représentation est redondante en identifiant les configurations qui diffèrent par une transformation de jauge (au sens classique de l'électromagnétisme ou des théories de Yang-Mills).

De même, pour décrire une particule quantique relativiste de spin 2 de masse nulle en rendant manifeste la localité et l'invariance relativiste, le mieux que l'on puisse faire est d'utiliser un champ tenseur symétrique en deux indices, et de se rappeler que cette description est redondante en identifiant les configurations qui diffèrent par une "transformation de jauge" (exercice: faire le comptage des paramètres, cette "transformation de jauge" doit être paramétrée par un vecteur et est exactement l'action infinitésimale par difféomorphisme sur une métrique).

Le fait que les théories de Yang-Mills ou la relativité générale soit "de jauge" n'a pas a priori de sens physique intrinsèque. Ce qui a un sens physique intrinsèque est que ces théories décrivent des particules sans masse de spin respectivement 1 et 2, et il apparaît qu'il est "utile" pour rendre l'invariance relativiste manifeste d'utiliser une description redondante avec "symétries de jauge".

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci à vous tous.

Pour que ma question soit plus claire : Pourquoi étudie-t-on les symétries dans la plupart des théories physiques ? Quelle conclusion tire-t-on de ces symétries ? Quelle information ça nous fournit à la fin ?

Pour ce qui concerne la théorie quantique de Yang Mills dans à signature Lorentzienne. Où je peux trouver cette série d'énoncés d'axiomes dites axiomes de Garding et Wightman que tout champ quantique doit satisfaire ?
Merci d'avance.

[Resartus]

Bonjour,
Attention quand même à ne pas oublier que c'est toujours la réalité qui fait foi.
On observe la réalité, et on y recherche des symétries. Tant qu'on n'a pas de preuve du contraire, on considère que ces symétries existent, ce qui veut dire qu'il existe des invariants associés (Noether), et permet de simplifier pas mal les prévisions. C'est un principe de parcimonie.
Si cela s'avère faux, il n'y a plus qu'à réduire les symétries et compliquer la théorie.

Et les théories de jauges me semblent aussi relever du principe de parcimonie : quand les méthodes variationnelles donnent plusieurs solutions équivalentes pour ce qui est des prédictions physiques, il est tentant de quotienter par cette relation d'équivalence. On s'impose alors de ne choisir que celles des solutions qui respecte une jauge quivabien.
Et si cette jauge imposée finit par ne plus refléter la réalité, il n'y a plus qu'à trouver une jauge moins restrictive...

Il n'y a pas plus de physique dans ces présentations, tout esthétiques qu'elles soient, que celle qu'on avait mise au départ. Mais ce qui est génial, c'est que la puissance des outils mathématiques mis en jeu permet d'arriver plus rapidement à des prévisions complexes des modèles, et donnera des pistes pour le tester plus efficacement.

On a quand même eu la chance en physique que des modèles relativement simples et très symétriques fonctionnent plutôt bien (ce que certains appellent la déraisonnable efficacité des mathématiques)

Cela s'est malheureusement nettement dégradé depuis le milieu du 20ème siècle, mais cela reste mieux qu'en chimie ou en biologie...

[Paradigm]

Bonsoir Resartus, Bonsoir à tous

Attention quand même à ne pas oublier que c'est toujours la réalité qui fait foi.
On observe la réalité, et on y recherche des symétries.

Àmha cela semble plutôt être du ressort du point de vue métaphysique d'"Homo sapiens". Un autre point de vue métaphysique d'"Homo sapiens" tout autant crédible sur "La symétrie ici et là" https://www.canal-u.tv/video/univers...ici_et_la.1204

Plus généralement, la plupart des symétries dont il est question en physique sont des symétries imaginaires. Les physiciens ne s'expriment pourtant pas ainsi car ils sont persuadés que leurs symétries existent réellement. Ils préfèrent parler de symétries violées.

Cordialement,