Newton-Raphson méthode (question)

[invite8c935645]

Bonsoir,

J'essaie de résoudre un problème d'algorithme mais n'ayant pas eu 36 cours là-dessus, j'aimerais avoir de l'aide pour résoudre ce problème et mieux comprendre comment ça fonctionne. Donc, si quelqu'un a une idée pour la solution, je suis prenante Cela m'aiderait beaucoup d'appliquer la théorie pour résoudre des exos afin de mieux comprendre le schmilblick mais je n'ai pas de correction d'exercices.
1) On demande de dériver un algo itératif pour déterminer la racine carré d'un nombre réel donné r et ensuite de donner la forme explicit de l'algo.
2) Analyser l'ordre de convergence p de l'algo càd déterminer p tel que si la énième estimation de la racine carré est , l'erreur for l'stimation suivante est . En donner la preuve complète de ce résultat pour l'algo spécifique.
3) Connaissez-vous une autre méthode qui pourrait être utilisée pour estimer ?

Pour la 1), je crois que je peux écrire ceci (mais si quelqu'un pouvait confirmer, ce serait sympa) :
j'applique Newton-Raphson, en posant j'obtiens :

et c'est bien explicite non ?

Pour la 2), je comprends pas trop par où commencer parce que ça semble direct (mais ce serait trop simple comme réponse, donc c'est pas ça ...). Disons que je vois qu'évidmment ça converge vers et à quelle vitesse ? Je dirais quadratiquement (mais ça c'est parce que je me souviens que dans la théorie, la méthod Newton-Raphson converge quadratiquement ...). Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Pour la 3), j'imagine que la réponse c'est Runge-Kutta mais sans certitude ;'(

Merci d'avance pour toute aide apportée !!
-----

[phys4]

Bonsoir,
Les formules sont correctes et vous arriverez facilement pour la question 2
La question 3 sera difficile car vous avez choisi une excellente méthode au départ, et il sera difficile d'en trouver une meilleure.

[invite8c935645]

vous arriverez facilement pour la question 2
La question 3 sera difficile car vous avez choisi une excellente méthode au départ, et il sera difficile d'en trouver une meilleure.

Malheureusement, si je trouvais la question 2) facile, je n'aurais pas demandé de l'aide sur le forum. J'ai écrit ce que je pensais et je vois bien que je n'arrive pas clairement à répondre, c'est pourquoi je demande de l'aide et écris les questions que je me pose quant à cette question.
Et pour la 3), j'imagine que ce que vous voulez dire est que la Runge-Kutta, ce n'est pas bon, c'est ça ? Mais je ne peux pas juste lire la 3e question et me dire que je ne peux y répondre parce que la 1ère méthode est la meilleure.
Je suis bloquée avec ces questions en suspens ...

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Dans ma jeunesse (au jurassique) on m’avait appris la méthode pour calculer des racines carrées à la main, dans laquelle on gagne un digit à chaque itération. On utilisait une disposition sur le papier similaire à celle utilisée pour faire des divisions.
La méthode est basée sur le développement binomial :

Et on prend


Il y a bien d’autres méthodes itératives, comme celle de prendre pour x_{n+1} la moyenne arithmétique entre x_n et Y/x_n

Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Ma comprehension de la question 2, c'est qu'il faut faire un peu d'algébre (et de DL*) pour vérifier si un=racine(gamma)+epsilon, ce que vaut u(n+1), ce qui permet de vérifier dans ce cas particulier de la fonction racine que la méthode de Newton (dont d'ailleurs j'ignorais qu'on l'avait marié récemment avec Ralphson) est bien quadratique

Pour la question 3, il faut sans doute exhiber une méthode qui converge mieux que quadratiquement...

Soit vous avez des méthodes qui sont décrites dans votre cours, soit il y a une astuce (un peu trichée quand même) c'est d'utiliser newton au carré, c'est à dire qu'on applique
u(n+1)=1/4*(un+gamma/un)+un*gamma/(un²+gamma)


*utiliser que 1/(1+x)=1-x+x²-o(x²)