[Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation
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[Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation



  1. #1
    invite8241b23e

    [Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation


    ------

    Bonsoir !

    Je cherche à rédiger la solution d'un exercice classique de dynamique des fluides, mais j'ai peur de manquer de rigueur. Je fais donc appel à vous pour me relire et me critiquer.

    Il s'agit de trouver la hauteur z d'un liquide dans un récipient qui tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire "oméga" à la distance x de l'axe de rotation. On admet que l'entraînement du liquide par le récipient est parfait.

    Relation fondamentale de la dynamique des fluides : (déjà, là, pas sûr du vocabulaire !)

    est la masse volumique.

    On suppose un vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'extérieur du récipient et un autre vertical vers le haut

    Deux forces : Le poids P et la force centrifuge F :

    et

    On a donc :



    On suppose une élément tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre).

    On a donc :

    et

    D'où :

    Ce qui donne : et donc

    Belle source d'inspiration : http://forums.futura-sciences.com/ph...-rotation.html

    Merci d'avance de votre relecture !

    -----

  2. #2
    albanxiii
    Modérateur

    Re : [Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation

    Bonjour,

    Je n'ai que deux remarques :

    Citation Envoyé par binvite19431173 Voir le message
    Relation fondamentale de la dynamique des fluides : (déjà, là, pas sûr du vocabulaire !)
    Cette relation n'est valable qu'en statique des fluides. Pour la dynamique, c'est Navier-Stokes.

    Citation Envoyé par invite19431173 Voir le message
    et
    Qu'est-ce que ? Ou dit autrement, quel est le système étudié ? (classique en mécanique : référentiel, système étudié, bilan des forces, loi de Newton ou conservation de l'énergie ou autre chose qui va bien, puis résolution). Là, avec ta méthode de résolution, tout s'élimine, donc le problème que cela pose n'apparaît pas.
    Dernière modification par JPL ; 11/01/2020 à 23h33.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  3. #3
    invite8241b23e

    Re : [Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Cette relation n'est valable qu'en statique des fluides. Pour la dynamique, c'est Navier-Stokes.
    Je pense qu'elle est valable là, puisque l'on a atteint un équilibre ? J'espère, sinon, j'ai envie de pleurer !


    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Qu'est-ce que ? Ou dit autrement, quel est le système étudié ? (classique en mécanique : référentiel, système étudié, bilan des forces, loi de Newton ou conservation de l'énergie ou autre chose qui va bien, puis résolution). Là, avec ta méthode de résolution, tout s'élimine, donc le problème que cela pose n'apparaît pas.
    Effectivement, j'ai fortement manqué de rigueur... m est la masse d'un volume infinitésimal considéré... Dans le référentiel terrestre. Zut, j'ai l'impression que tout la démonstration, tombe à l'eau...

  4. #4
    invite741b54dd

    Re : [Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation

    Bonjour,

    Il faut que vous supposiez et utilisiez la symétrie cylindrique du problème. Cela implique l'emploi d'une base et de coordonnées cylindriques. J'ai corrigé quelques coquilles dans les équations.

    Citation Envoyé par invite19431173 Voir le message
    Équation fondamentale de l'hydrostatique :

    est la résultante des forces (et pseudo-forces) volumiques.

    On suppose le fluide immobile dans le référentiel non-inertiel en rotation autour de l'axe à la vitesse angulaire . On note le vecteur unitaire horizontal radial dirigé vers l'extérieur du récipient (vecteur de la base cylindrique) et le vecteur unitaire dirigé vers le haut.

    Deux forces volumiques : Le poids P et la force centrifuge F :

    et est la masse volumique du fluide.

    On a donc :



    On suppose un élément tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre).

    On a donc :

    et

    D'où :

    Ce qui donne : et donc
    Dernière modification par JPL ; 11/01/2020 à 23h32.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite8241b23e

    Re : [Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation

    Merci, c'est très clair !!

    Bonne journée !

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