[Relecture] Démonstration hauteur d'un fluide dans un cylindre en rotation

[invite8241b23e]

Bonsoir !

Je cherche à rédiger la solution d'un exercice classique de dynamique des fluides, mais j'ai peur de manquer de rigueur. Je fais donc appel à vous pour me relire et me critiquer.

Il s'agit de trouver la hauteur z d'un liquide dans un récipient qui tourne sur lui-même avec une vitesse angulaire "oméga" à la distance x de l'axe de rotation. On admet que l'entraînement du liquide par le récipient est parfait.

Relation fondamentale de la dynamique des fluides : (déjà, là, pas sûr du vocabulaire !)

où est la masse volumique.

On suppose un vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'extérieur du récipient et un autre vertical vers le haut

Deux forces : Le poids P et la force centrifuge F :

et

On a donc :



On suppose une élément tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre).

On a donc :

et

D'où :

Ce qui donne : et donc

Belle source d'inspiration : http://forums.futura-sciences.com/ph...-rotation.html

Merci d'avance de votre relecture !
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[albanxiii]

Bonjour,

Je n'ai que deux remarques :

Relation fondamentale de la dynamique des fluides : (déjà, là, pas sûr du vocabulaire !)

Cette relation n'est valable qu'en statique des fluides. Pour la dynamique, c'est Navier-Stokes.

et

Qu'est-ce que ? Ou dit autrement, quel est le système étudié ? (classique en mécanique : référentiel, système étudié, bilan des forces, loi de Newton ou conservation de l'énergie ou autre chose qui va bien, puis résolution). Là, avec ta méthode de résolution, tout s'élimine, donc le problème que cela pose n'apparaît pas.

[invite8241b23e]

Cette relation n'est valable qu'en statique des fluides. Pour la dynamique, c'est Navier-Stokes.

Je pense qu'elle est valable là, puisque l'on a atteint un équilibre ? J'espère, sinon, j'ai envie de pleurer !

Qu'est-ce que ? Ou dit autrement, quel est le système étudié ? (classique en mécanique : référentiel, système étudié, bilan des forces, loi de Newton ou conservation de l'énergie ou autre chose qui va bien, puis résolution). Là, avec ta méthode de résolution, tout s'élimine, donc le problème que cela pose n'apparaît pas.

Effectivement, j'ai fortement manqué de rigueur... m est la masse d'un volume infinitésimal considéré... Dans le référentiel terrestre. Zut, j'ai l'impression que tout la démonstration, tombe à l'eau...

[invite741b54dd]

Bonjour,

Il faut que vous supposiez et utilisiez la symétrie cylindrique du problème. Cela implique l'emploi d'une base et de coordonnées cylindriques. J'ai corrigé quelques coquilles dans les équations.

Équation fondamentale de l'hydrostatique :

où est la résultante des forces (et pseudo-forces) volumiques.

On suppose le fluide immobile dans le référentiel non-inertiel en rotation autour de l'axe à la vitesse angulaire . On note le vecteur unitaire horizontal radial dirigé vers l'extérieur du récipient (vecteur de la base cylindrique) et le vecteur unitaire dirigé vers le haut.

Deux forces volumiques : Le poids P et la force centrifuge F :

et où est la masse volumique du fluide.

On a donc :



On suppose un élément tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre).

On a donc :

et

D'où :

Ce qui donne : et donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8241b23e]

Merci, c'est très clair !!

Bonne journée !