Fluide dans un cylindre en rotation

[invite5c80985b]

Bonjour

J'ai un problème à résoudre, classique et pourtant j'ai du mal, le voici :

un récipient cylindrique de rayon R contient une hauteur h de fluide parfait incompressible. Il est mis en rotation autour de son axe à vitesse angulaire constante.
-> Déterminer la forme de la surface libre du fluide entrainé avec le récipient...



Merci pour votre aide
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[Coincoin]

Salut,
Effectivement, il s'agit d'un exercice classique...
Le fait que ton cylindre soit en rotation fait que dans le réferentiel du fluide, il y a une force d'inertie d'entraînement ("force centrifuge"). Il faut donc compléter la relation de l'hydrostatique en y ajoutant la force volumique d'inertie. Si tu prends un élément de fluide de masse m situé à une distance r de l'axe, alors il subit une force d'inertie .
Si on passe en coordonnées cylindriques, la force volumique recherchée vaut donc .
La relation de la statique s'écrit donc :
Si on prend un petit élément de longueur tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre) :


La surface libre vérifie donc l'équation :

L'équation recherchée est :

On obtient un magnifique paraboloïde de révolution.

[invite5c80985b]

Quelle victoire de Canard ! Super, merci beaucoup

Juste une question : une paraboloïde de révolution, ça se comprend pour les points de la surface, mais pour ceux qui sont en dessous, ça nous crée un creux au centre du cylindre ? Ca me parait bizarre... Doit-on ommettre ces solutions négatives ?

[Coincoin]

C'est là qu'intervient le z₀... Il peut être déterminé en se basant sur la conservation du volume (mais on se passera du calcul ).
Si tu prends l'origine des z au niveau du fond du cylindre, il y a une vitesse limite à partir de laquelle z₀<0, cela correspond au fait que le fond du cylindre est découvert...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c80985b]

HA bon, je pensais plutôt que tant que Z0 >0, alors le fond est découvert, sinon si Z0 <0 ce dernier est couvert au centre, découvert sur le coté ?

[Coincoin]

Il faut bien voir que z₀ représente la hauteur d'eau au milieu du verre. Si z₀<0, comme on ne peut pas avoir une hauteur négative, ça veut dire qu'il n'y pas d'eau au milieu. Il y a toute une zone au centre qui est découverte.

sinon si Z0 <0 ce dernier est couvert au centre, découvert sur le coté ?

Je ne suis pas sûr que tu vois bien le profil : l'eau est plus haute sur les côtés qu'au mileu (on a un truc en +r²).

[invite5c80985b]

Justemment ! Elle peut donc etre présente au centre, et pas sur les cotés !

[Coincoin]

Bon, je crois qu'un bon dessin hideux vaut mieux qu'un long discours vaseux :

[Coincoin]

A comparer avec :

[invite5c80985b]

Ok, je pensais à ça moi :

(cf joint)

Sinon comment peut-on exprimer Z0 en fonction de h, et R le rayon du cylindre ?

[Coincoin]

Ok, je vois... Il n'y a pas de zones vides sous l'eau, mais effectivement ces zones sont un peu spéciales : les isobares sont interrompues en plein mileu.

Pour ce qui est de z₀, il faut dire qu'on a conservation du volume :

[Coincoin]

Si je ne me suis pas trompé, on a : .
On voit bien la vitesse critique à partir de laquelle le fond se découvre :

[Coincoin]

Euh... dans le cas où le fond est découvert (z₀<0), il faut changer les bornes de l'intégrale, histoire de ne pas intégrer des z négatifs qui n'ont aucun sens physique...

[invite5c80985b]

Merci beaucoup Coincoin, je vais refaire les calculs pour voir

Bonne soirée

[Coincoin]

De rien... Refaire ce calcul m'a permis de me dérouiller un peu.

[invite65158eb5]

Bonsoir!

J'ai exactement le même problème à résoudre: calculer la hauteur de la surface du liquide en rotation dans un cylindre - mais je dois également calculer la pression à la surface du liquide.

Le cylindre a un rayon R et le liquide au repos a une hauteur h.

Pour la hauteur du liquide z, j'ai obtenu l'équation générale suivante (en coordonnées cylindriques):

avec (1)

et pour la pression, j'ai obtenu l'équation suivante:

(2), où p0 est la pression atmosphérique.

Pour trouver le champ de pression à la surface, j'ai substitué l'équation (1) dans (2). J'obtiens l'expression:



Le résultat ne me paraît pas très logique, car selon cette équation la pression à la surface du liquide augmente lorsque le rayon du cylindre croît... ??

Quelqu'un pourrait-il me confirmer si cette relation est juste et sinon, comment faut-il s'y prendre?

[Koranten]

Bonjour,

Et ça marche quelle que soit la viscosité du fluide? J'imagine que là c'est de l'eau et qu'on a négligé le terme visqueux... ce serait beaucoup plus compliqué à prendre en compte dans le cas d'un bon gros fluide bien épais ou pas?

Merci!

[Coincoin]

C'est une solution statique. La viscosité ne joue donc plus aucun rôle.

[Koranten]

La viscosité ne joue aucun rôle en stationnaire? Comment ça? Elle n'intervient que devant des dérivées temporelles (donc nulles en stationnaire)? J'ai du mal à voir ça dans Navier-Stokes mais je me plante sûrement?

[Coincoin]

La viscosité intervient dans un terme faisant intervenir la vitesse. Or à l'équilibre, la vitesse est nulle.

[Koranten]

La vitesse est nulle à l'équilibre... j'ai du mal à voir comment c'est possible? Je veux dire, on a quand même un cylindre en rotation, la paroi entraîne le fluide, donc on a bien une vitesse non ? Au centre, je veux bien, mais en périphérie, ça tourne non ?

[Coincoin]

La vitesse est nulle dans le référentiel tournant.

[Koranten]

D'accord, dans le référentiel tournant, la vitesse est nulle... Le fluide est donc immobile par rapport au cylindre (c'est bien lui qui sert de référentiel)? Il n'y a pas de frottements, et donc la viscosité ne joue aucun rôle, c'est ça? o_O

[Coincoin]

Oui, c'est ça.
Vu autrement, si la viscosité joue un rôle, elle dissipe de l'énergie. Donc à moins de fournir de l'énergie par ailleurs, ce n'est pas une situation durable. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans le régime permanent.

[Koranten]

Ok merci! C'était pas hyper intuitif mais bon...

[Koranten]

Et dans le cas d'un fluide agité par une espèce de "batteur à oeufs" et dans un cylindre non tournant cette fois ci, j'imagine que le résultat n'a plus rien à voir? En effet, la cause du mouvement n'est plus du tout la même... et là, la vitesse du fluide ne serait plus nulle, et la viscosité jouerait un rôle, non? Existe t-il une solution ou un début de solution analytique pour ce genre de problème du "batteur à oeufs", même très simplifié, ou pas? Merci beaucoup.

[Meshrill]

Bonjour j'avais une petite question sur l'invariance du volume qui est logique puisqu'il n'y à pas de perte, cependant je ne vois pas comment le faire intervenir pour mon Zo.
J'ai fais les calculs avec ma solution fausse évidemment ^^ j'obtiens:
ω=√(2gh/R^2)