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Fluide dans un cylindre en rotation



  1. #1
    Naoli

    Fluide dans un cylindre en rotation


    ------

    Bonjour

    J'ai un problème à résoudre, classique et pourtant j'ai du mal, le voici :

    un récipient cylindrique de rayon R contient une hauteur h de fluide parfait incompressible. Il est mis en rotation autour de son axe à vitesse angulaire constante.
    -> Déterminer la forme de la surface libre du fluide entrainé avec le récipient...



    Merci pour votre aide

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Salut,
    Effectivement, il s'agit d'un exercice classique...
    Le fait que ton cylindre soit en rotation fait que dans le réferentiel du fluide, il y a une force d'inertie d'entraînement ("force centrifuge"). Il faut donc compléter la relation de l'hydrostatique en y ajoutant la force volumique d'inertie. Si tu prends un élément de fluide de masse m situé à une distance r de l'axe, alors il subit une force d'inertie .
    Si on passe en coordonnées cylindriques, la force volumique recherchée vaut donc .
    La relation de la statique s'écrit donc :
    Si on prend un petit élément de longueur tangent à la surface, alors on sait que cet élément est orthogonal au gradient de pression (pression uniforme sur la surface libre) :


    La surface libre vérifie donc l'équation :

    L'équation recherchée est :

    On obtient un magnifique paraboloïde de révolution.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Naoli

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Quelle victoire de Canard ! Super, merci beaucoup

    Juste une question : une paraboloïde de révolution, ça se comprend pour les points de la surface, mais pour ceux qui sont en dessous, ça nous crée un creux au centre du cylindre ? Ca me parait bizarre... Doit-on ommettre ces solutions négatives ?

  5. #4
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    C'est là qu'intervient le z0... Il peut être déterminé en se basant sur la conservation du volume (mais on se passera du calcul ).
    Si tu prends l'origine des z au niveau du fond du cylindre, il y a une vitesse limite à partir de laquelle z0<0, cela correspond au fait que le fond du cylindre est découvert...
    Encore une victoire de Canard !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Naoli

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    HA bon, je pensais plutôt que tant que Z0 >0, alors le fond est découvert, sinon si Z0 <0 ce dernier est couvert au centre, découvert sur le coté ?

  8. #6
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Il faut bien voir que z0 représente la hauteur d'eau au milieu du verre. Si z0<0, comme on ne peut pas avoir une hauteur négative, ça veut dire qu'il n'y pas d'eau au milieu. Il y a toute une zone au centre qui est découverte.
    sinon si Z0 <0 ce dernier est couvert au centre, découvert sur le coté ?
    Je ne suis pas sûr que tu vois bien le profil : l'eau est plus haute sur les côtés qu'au mileu (on a un truc en +r²).
    Encore une victoire de Canard !

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  10. #7
    Naoli

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Justemment ! Elle peut donc etre présente au centre, et pas sur les cotés !

  11. #8
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Bon, je crois qu'un bon dessin hideux vaut mieux qu'un long discours vaseux :
    Images attachées Images attachées  
    Encore une victoire de Canard !

  12. #9
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    A comparer avec :
    Images attachées Images attachées  
    Encore une victoire de Canard !

  13. #10
    Naoli

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Ok, je pensais à ça moi :

    (cf joint)

    Sinon comment peut-on exprimer Z0 en fonction de h, et R le rayon du cylindre ?
    Images attachées Images attachées  

  14. #11
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Ok, je vois... Il n'y a pas de zones vides sous l'eau, mais effectivement ces zones sont un peu spéciales : les isobares sont interrompues en plein mileu.

    Pour ce qui est de z0, il faut dire qu'on a conservation du volume :
    Encore une victoire de Canard !

  15. #12
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Si je ne me suis pas trompé, on a : .
    On voit bien la vitesse critique à partir de laquelle le fond se découvre :
    Encore une victoire de Canard !

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  17. #13
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Euh... dans le cas où le fond est découvert (z0<0), il faut changer les bornes de l'intégrale, histoire de ne pas intégrer des z négatifs qui n'ont aucun sens physique...
    Encore une victoire de Canard !

  18. #14
    Naoli

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Merci beaucoup Coincoin, je vais refaire les calculs pour voir

    Bonne soirée

  19. #15
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    De rien... Refaire ce calcul m'a permis de me dérouiller un peu.
    Encore une victoire de Canard !

  20. #16
    Ceppi

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Bonsoir!

    J'ai exactement le même problème à résoudre: calculer la hauteur de la surface du liquide en rotation dans un cylindre - mais je dois également calculer la pression à la surface du liquide.

    Le cylindre a un rayon R et le liquide au repos a une hauteur h.

    Pour la hauteur du liquide z, j'ai obtenu l'équation générale suivante (en coordonnées cylindriques):

    avec (1)

    et pour la pression, j'ai obtenu l'équation suivante:

    (2), où p0 est la pression atmosphérique.

    Pour trouver le champ de pression à la surface, j'ai substitué l'équation (1) dans (2). J'obtiens l'expression:



    Le résultat ne me paraît pas très logique, car selon cette équation la pression à la surface du liquide augmente lorsque le rayon du cylindre croît... ??

    Quelqu'un pourrait-il me confirmer si cette relation est juste et sinon, comment faut-il s'y prendre?

  21. #17
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Bonjour,

    Et ça marche quelle que soit la viscosité du fluide? J'imagine que là c'est de l'eau et qu'on a négligé le terme visqueux... ce serait beaucoup plus compliqué à prendre en compte dans le cas d'un bon gros fluide bien épais ou pas?

    Merci!

  22. #18
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    C'est une solution statique. La viscosité ne joue donc plus aucun rôle.
    Encore une victoire de Canard !

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  24. #19
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    La viscosité ne joue aucun rôle en stationnaire? Comment ça? Elle n'intervient que devant des dérivées temporelles (donc nulles en stationnaire)? J'ai du mal à voir ça dans Navier-Stokes mais je me plante sûrement?

  25. #20
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    La viscosité intervient dans un terme faisant intervenir la vitesse. Or à l'équilibre, la vitesse est nulle.
    Encore une victoire de Canard !

  26. #21
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    La vitesse est nulle à l'équilibre... j'ai du mal à voir comment c'est possible? Je veux dire, on a quand même un cylindre en rotation, la paroi entraîne le fluide, donc on a bien une vitesse non ? Au centre, je veux bien, mais en périphérie, ça tourne non ?

  27. #22
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    La vitesse est nulle dans le référentiel tournant.
    Encore une victoire de Canard !

  28. #23
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    D'accord, dans le référentiel tournant, la vitesse est nulle... Le fluide est donc immobile par rapport au cylindre (c'est bien lui qui sert de référentiel)? Il n'y a pas de frottements, et donc la viscosité ne joue aucun rôle, c'est ça? o_O

  29. #24
    Coincoin

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Oui, c'est ça.
    Vu autrement, si la viscosité joue un rôle, elle dissipe de l'énergie. Donc à moins de fournir de l'énergie par ailleurs, ce n'est pas une situation durable. La viscosité ne joue donc aucun rôle dans le régime permanent.
    Encore une victoire de Canard !

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  31. #25
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Ok merci! C'était pas hyper intuitif mais bon...

  32. #26
    Koranten

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Et dans le cas d'un fluide agité par une espèce de "batteur à oeufs" et dans un cylindre non tournant cette fois ci, j'imagine que le résultat n'a plus rien à voir? En effet, la cause du mouvement n'est plus du tout la même... et là, la vitesse du fluide ne serait plus nulle, et la viscosité jouerait un rôle, non? Existe t-il une solution ou un début de solution analytique pour ce genre de problème du "batteur à oeufs", même très simplifié, ou pas? Merci beaucoup.

  33. #27
    Meshrill

    Re : Fluide dans un cylindre en rotation

    Bonjour j'avais une petite question sur l'invariance du volume qui est logique puisqu'il n'y à pas de perte, cependant je ne vois pas comment le faire intervenir pour mon Zo.
    J'ai fais les calculs avec ma solution fausse évidemment ^^ j'obtiens:
    ω=√(2gh/R^2)

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