Frottement du fluide pour Archimède?

[EspritTordu]

Bonjour,


Voilà, je souhaite connaître la vitesse et la position d'un élement qui remonte sous l'effet de la poussée d'Archimède. L'élément en question subit donc une force Fr résultant suivant :

Fr=Pa-P

où
> Pa est la poussée d'Archimède, constante et égale à V*rhô*g (V volume du corps immergé ; rhô masse volumique de l'eau ; g pesanteur)
>P le poids du corps tel que P=mg (m masse du corps ; g pesanteur)

Si Fr est positif alors l'élement remonte, à l'inverse, il coule.
Pa et P sont constants.

Mais je pense que les frottements avec le fluide ne sont pas négligeables et j'aimerais me faire une idée de la force de résistance dû au fluide, mais je ne sais comment m'y prendre.
Je suppose que mon corps est une boule, mais après...

Si vous pouvez me faire avancer, merci d'avance.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Il y a une expression qui peut te donner la force de frottement dans un milieu visqueux, c'est l'expression de Stokes :
(pour une sphère)
Avec R le rayon de ta sphère, v sa vitesse et la viscosité (10^-3 Pa.s pour l'eau).

Mais attention cette expression est valable pour les faibles vitesses et rayons seulement (il faut que le nombre de Reynolds soit plus petit que 1, avec la masse volumique de l'eau). J'ai bien peur que si ta sphère est de taille raisonnable, le nombre de Reynolds ne soit très grand, et l'expression de Stokes foireuse.

[chaverondier]

Je souhaite connaître la vitesse et la position d'un élement qui remonte sous l'effet de la poussée d'Archimède. L'élément en question subit donc une force Fr résultant suivant : Fr=Pa-P, où
> Pa est la poussée d'Archimède, constante et égale à V*rhô*g (V volume du corps immergé ; rhô masse volumique de l'eau ; g pesanteur)
>P le poids du corps tel que P=mg (m masse du corps ; g pesanteur)

Si Fr est positif alors l'élement remonte, à l'inverse, il coule. Pa et P sont constants. Mais je pense que les frottements avec le fluide ne sont pas négligeables et j'aimerais me faire une idée de la force de résistance dû au fluide. Je suppose que mon corps est une boule

Il faut prendre en compte le freinage hydrodynamique
Fh = (1/2) rhô Cx S v^2, lui attribuer le signe opposé à celui vitesse et intégrer m dv/dt = (Rhô V - m)g - sgn(v) Fh(v)

La vitesse limite vL est atteinte lorsque Fh(vL) = |Rhô V -m|g. Pour intégrer, on a intérêt à introduire la vitesse adimensionnée u = (v-vL)/vL, ça donne (en se plaçant dans le cas Rhô V - m >0 et sgn(v) > 0)

du/dt = -rhô Cx S u(v+vL)/(2 m)
du/dt = -rhô Cx S vL u(u+2)/(2 m)

En posant t0 = m/(rhô Cx S vL) et en considérant le temps adimensionné
tau = t/t0 cela donne
du/dtau = -u - u^2/2, soit -du/(u+u^2/2) = dtau, soit encore,
du [-1/u + (1/2)/(1+u/2)] = dtau, soit ln[(1+u/2)/|u|) = tau +tau0, d'où (1+u/2) = |u|exp(tau+tau0) qui donne (en utilisant le fait que u(0) = -1 et |u| = - u dans le cas considéré)

u = -2/(1+exp(tau)) où
u = (v - vL)/vL et tau = t/t0
vL = [2(Rhô V -m)g/(rhô Cx S)]^(1/2)
t0 = m/(rhô Cx S vL)
BC

[invite603107e6]

J'ai bien peur que si ta sphère est de taille raisonnable, le nombre de Reynolds ne soit très grand, et l'expression de Stokes foireuse.

et dans ce cas je me demande si la formule donnant la poussée d'Archimède (qui correspond à la résultante d'un champ de pression hydrostatique) est encore valable...

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

J'ai bien peur que si ta sphère est de taille raisonnable, le nombre de Reynolds ne soit très grand, et l'expression de Stokes foireuse

et dans ce cas je me demande si la formule donnant la poussée d'Archimède (qui correspond à la résultante d'un champ de pression hydrostatique) est encore valable...

Voir le calcul dynamique avec prise en compte de la réaction hydrodynamique (via l'utilisation du Cx) en http://forums.futura-sciences.com/post629680-3.html . BC

[invite603107e6]

Voir le calcul dynamique avec prise en compte de la réaction hydrodynamique (via l'utilisation du Cx) en http://forums.futura-sciences.com/post629680-3.html . BC

Ce calcul suppose une loi de frottement en v² ce qui correspond assez bien au régime turbulent, mais ne répond pas à la question sur la validité de la poussée d'Archimède à haut Reynolds...

[chaverondier]

Ce calcul suppose une loi de frottement en v² ce qui correspond assez bien au régime turbulent, mais ne répond pas à la question sur la validité de la poussée d'Archimède à haut Reynolds...

On est à haut Reynolds donc en régime turbulent. On a Re = v D/nu. Si on prend: nu_eau = etha/rhô = 10^(-6) m^2/s semble-t-il
v = mettons 1m/s
D = mettons 1m
Cela donne Re = 10^6. Pour tomber à Re=1 il faudrait une sphère d'1 mm dans un courant d'1 mm/s par exemple.

Le Cx = Cx(v) pour l'écoulement à vitesse v autour d'une sphère (puisque c'est l'hypothèse évoquée) doit être tiré d'abaques permettant de tenir compte, du Reynolds (et peut-être de l'état de surface de la sphère) et de l'ensemble des effets du fluide sur la sphère (hormis bien sûr la poussée d'Archimède qui doit être prise en compte séparément). BC

[EspritTordu]

Que faire si la boule devient un fuseau ?

[chaverondier]

Que faire si la boule devient un fuseau ?

Ca change la valeur de Cx. BC

[EspritTordu]

Où trouver sur le Web les valeurs de Cx?

[EspritTordu]

Je voudrais revenir sur le calcul.
Qu'est-ce que la vitesse limite VL? Cela signifie qu'on ne pourra pas aller plus vite que cela...? Pourquoi un temps T0 non nul?

[chaverondier]

Je voudrais revenir sur le calcul. Qu'est-ce que la vitesse limite VL? Cela signifie qu'on ne pourra pas aller plus vite que cela...?

C'est la vitesse à laquelle la réaction hydrodynamique équilibre la poussée d'Archimède relative.

Pourquoi un temps T0 non nul?

C'est comme pour une voiture. On a beau appuyer à fond sur le champignon, il faut un certain temps pour atteindre la vitesse limite de la voiture, vitesse à laquelle la puissance des forces de frottement équilibre exactement la puissance motrice (si bien que l'accélération de la voiture devient nulle). BC

[EspritTordu]

Comment passer vous de
dv/dt = (Rhô V - m)g - sgn(v) Fh(v)
à
du/dt = -rhô Cx S u(v+vL)/(2 m)

et de
du/dt = -rhô Cx S vL u(u+2)/(2 m)
à
du/dtau = -u - u^2/2 s'il vous plaît?

[EspritTordu]

u = -2/(1+exp(tau)) où
u = (v - vL)/vL et tau = t/t0
vL = [2(Rhô V -m)g/(rhô Cx S)]^(1/2)
t0 = m/(rhô Cx S vL)

Pourquoi en considérant t=to dans la première équation, on obtient une vitesse v différente de vL ?

[chaverondier]

u = -2/(1+exp(tau)) où
u = (v - vL)/vL et tau = t/t0
vL = [2(Rhô V -m)g/(rhô Cx S)]^(1/2)
t0 = m/(rhô Cx S vL)

Pourquoi en considérant t=to dans la première équation, on obtient une vitesse v différente de vL ?

Parce que la vitesse v=v(t) du système atteint la vitesse limite vL (à laquelle le frottement visqueux (1/2) rhô Cx S v^2 sur ce système équilibre la poussée d'Archimède relative (Rhô V -m)g) est atteinte quand t tend vers +00. BC

[EspritTordu]

Pourriez-vous, s'il vous plaît, développer certaines parties de votre calcul et de votre intégration ?

Corrigez-moi si je me trompe : si t tend vers zéro, tau tend aussi vers zéro, donc u reste différent de zéro. C'est-à-dire : si u=(v-vl)/vl alors v=u*vl+vl ; mais si u est différent de zéro alors v est aussi différent significativement de vl, n'est-ce pas?

[chaverondier]

u = -2/(1+exp(tau)) où
u = (v - vL)/vL et tau = t/t0
vL = [2(Rhô V -m)g/(rhô Cx S)]^(1/2)
t0 = m/(rhô Cx S vL)

si t tend vers zéro, tau tend aussi vers zéro, donc v=u*vl+vl est aussi différent significativement de vl

Oui. Pour t=0, u=-1. Cela correspond à l'hypothèse d'une vitesse initiale v=0.

Par contre si t tend vers l'infini, u tend vers zéro. Cela correspond à l'atteinte d'une vitesse finale v=vL, vitesse à laquelle la réaction hydrodynamique (1/2) rhô Cx S v^2 équilibre la poussée d'Archimède relative (Rhô V -m)g. BC

[EspritTordu]

Comment intégrer si dans l'équation initiale où figure la poussée d'Archimède et le freinage hydrodynamique, on ajoute une force F constante et de même signe que la réaction hydrodynamique?