Exercice MQ (excitation d'un atome en raie large)

[Coccinelleamoustaches]

Bonjour à tous !

J'aimerais vos avis sur un exo de mécanique quantique, fourni avec sa correction (en pj), qui me donne quelques soucis.
Souci numéro un (dont je peux faire abstraction) : on traite ce système à n atomes (que je supposais identiques), sans se servir du principe de Fermi du tout ! Comme si ils étaient tous décorrélés les uns des autres. On ré-utilise direct une démarche vue dans le chapitre qui s'appliquait à 1 particule seule. Ca me fait suer la tête, mais je peux à la rigueur passer là-dessus pour avancer ^^

Alors voilà:

a. Pas de souci. Je retrouve le même résultat. Pour le bien de la suite, je vais le reformuler légèrement sous la forme : avec , la probabilité pour une particule de transitionner de 1 vers 2.

b. Là ça commence à partir de biais ^^. J'obtiens un résultat différent. La correction est très elliptique sur la méthode adoptée (je pense que ça a été fait "à la brute", en recalculant de la même manière qu'en a. avec le nouveau terme).
Moi j'avais pensé à une autre démarche qui réutilise le résultat du a. et j'aimerais comprendre en quoi elle est invalide (*)
Voilà, si on représente l'enveloppe de l'onde au cours du temps, ça donne ça :

Capture.jpg

Mon idée est la suivante : A chaque nouvelle bosse, les atomes dans l'état 1 transitionnent vers 2 avec la proba P1->2 vue en a. qui reste constante pour moi sur chacune de ces cloches.
Si on note nl le nombre d'atomes dans l'état 2 à la sortie de la cloche numéro l (nl-1 est alors le nombre d'atomes avant la cloche l, et on a notamment n0 = 0), on peut écrie la récurrence suivante :
(nombre d'atomes dans l'état 2, + nombre d'atomes qui changent, proportionnel à la population de l'état 1 n-n_l-1)
Ce qui donne sauf erreur :
, très différent du résultat corrigé

Si on pousse en prenant les notations de la question c., on trouve finalement (en calculant la somme ci-dessus) :


Bref, je ne trouve pas la même chose, mais le hic c'est que... Je trouve mon résultat plus cohérent que celui du corrigé ! (insupportable prétention ^^)
En effet, dans mon cas, si on fait tendre gamma*T vers l'infini (i.e. on envoie une infinité de cloches), on trouve le résultat limite n_b = n. Logique ! Après une infinité de stimulations, tous les atomes sont passés à l'état excité.(*)
Mais si on prend le résultat du corrigé... On trouve n_b -> infini....

Bref, j'ai dû employer une logique différente de celle de l'énoncé. Mais au final, mon résultat me paraît plus défendable physiquement, mais je dois me fourvoyer.
Quelqu'un peut m'éclairer sur ce problème ?

Merci d'avance !!


(*) Une première faiblesse dans le raisonnement que j'expose est que je consideère les transitions successives 1->2, mais jamais celles qui pourraient se produire 2->1. Cela pourrait changer les résultats. Cependant, il me semble qu'il ne prend pas non plus en compte les transitions 2->1 dans le corrigé. La différence de raisonnement serait donc ailleurs



Enoncé
énoncé.PNG

corrigé :
correction (1).PNG
correction (2).PNG
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[Coccinelleamoustaches]

Personne pour un coup de main là-dessus ?
Je n'ai pas détaillé les calculs qui aboutissent au résultat pour éviter de la lourdeur (il est d'ailleurs possible que j'ai fait des erreurs de calcul, mais ce n'est pas l'essentiel). Ce que je souhaiterais surtout c'est un avis sur la démarche et sur l'analyse des résultats obtenus

[Coccinelleamoustaches]

Dernière tentative de remontée, en comptant sur un passage tardif du père noël

Après je vous laisse tranquilles ^^ Je comprendrais que la question soit un peu trop lourde pour se mettre dedans, surtout que je ne suis malheureusement pas toujours très clair Désolé !