Démonstration du principe fondamental de la dynamique (PFD)

[fabio123]

Au lycée, on avait vu sans démonstration le principe fondamental de la dynamique, c'est-à-dire la formule :



Ensuite, en études supérieures, on a vu l'expression du PFD égale à :

avec la quantité de mouvement.

Quelle est l'expression initialement posée par Newton ? l'équation (1) ou (2) ?

De plus, on retrouve l'équation (2) grâce aux équations d'Euler-Lagrange, dans un système conservatif, en prenant l'impulsion généralisée :



Existe t-il d'autres démonstrations qui permettent d'aboutir à l'équation (2) ?

Merci
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[phys4]

Bonjour,
Les équations 1 et 2 sont à prendre comme des définitions posées d'après Newton.

Pour l'équation de Newton : il n'y en a pas, car Newton n'a pas inventé les dérivées, et il utilisait une construction géométrique, avec des triangles dont il supposait un coté très petit par rapport aux autres.
C'est une sorte de dérivée géométrique.
Tous les raisonnements de Newton sont géométriques, il n'écrivait pas d'équation.

[LPFR]

Bonjour.
Il est vrai que certaines démonstrations géométriques de Newton sont merveilleusement belles (comme celle de la loi de aires pour une force centrale).
Mais de là à dire qu’il n’écrivait pas d’équations il y a un monde.
Voir par exemple, quelques pages de ses manuscrits :
http://www.dailymail.co.uk/sciencete...ty-online.html
Au revoir.

[fabio123]

@Phys4

D'un point de vue historique, laquelle a été définie par Newton, l'équation (1) ou l'équation (2) de mon premier post ?

L'équation (2) permet de déduire la fameuse equation en considérant mais je pense que Newton n'avait pas accès à , je veux dire qu'il considérait , et donc que l'équation qu'il a définie est plutôt l'équation (1), c'est-à-dire :



L'équation (2), qui fait intervenir la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps, est donc apparue à quelle époque après Newton ? L'époque d'Euler et Lagrange (puisque on retrouve le PFD avec leurs équations) ?

Concernant les démonstrations géométriques de Newton, quelqu'un aurait-il par hasard des liens abordant ces sujets ?

Merci par avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

@Phys4

D'un point de vue historique, laquelle a été définie par Newton, l'équation (1) ou l'équation (2) de mon premier post ?

L'équation (2) permet de déduire la fameuse equation en considérant mais je pense que Newton n'avait pas accès à , je veux dire qu'il considérait , et donc que l'équation qu'il a définie est plutôt l'équation (1), c'est-à-dire :



Newton n'a écrit aucune des deux équations, puisque ce type d'équation mécanique différentielle n'existait pas encore. Ses constructions géométriques reviennent à admettre l'équation (1)
puisque la masse est considérée comme une constante.

[albanxiii]

L'équation (2) permet de déduire la fameuse equation en considérant

Ha bon ? Je serais curieux de voir votre démonstration.

[0577]

Bonjour,

les ouvrages de Newton, traduits en français, sont accessibles depuis le site gallica http://gallica.bnf.fr/ de la Bibliothèque Nationale de France.

Dans les Principia ("Principes mathématiques de la philosophie naturelle"), on peut lire en Définition II: "La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse", et en Loi II: "Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et le sont dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée". Autrement dit, Newton exprime ici l'équation (2) de la question initiale.

Il convient de rappeler que, si les Principia sont certes écrits dans un langage géométrique, Newton est un des inventeurs du calcul différentiel et intégral et avait une parfaite maîtrise du formalisme algébrique associé (voir son ouvrage, "La méthode des fluxions", où il introduit la notation, parfois encore utilisée aujourd'hui pour désigner la dérivée de x). Si Newton se restreint au langage géométrique dans les Principia, c'est probablement par soucis de tradition (le modèle mathématique de l'époque est encore les Eléments d'Euclide) et d'exposition (Newton préferait certainement présenter ses résultats de physique sur des bases mathématiques solides et bien connues de ses contemporains plutôt que sur une théorie presque entièrement nouvelle et susceptible de rencontrer des résistances).

[ThM55]

Bonjour. Je ne comprends pas bien ces "je pense que...", "je crois que Newton ceci-cela...". Pourquoi ne pas plutôt ouvrir le livre de Newton et lire ce qu'il a effectivement écrit? Ce n'est pas facile, car même si on peut ignorer le problème de la langue (le latin, mais il y a de bonnes traductions en anglais et en français), le langage n'est pas le même que le nôtre, car il ne partait pas des mêmes présupposés que nous. Quand il donne une définition ou énonce un axiome, il l'illustre par une série d'exemple analysés parfois dans de très longs textes. Nous sommes plus synthétiques car nous disposons d'une formalisation mathématique des notions de cinématiques, que Newton a dû développer à partir de l'état de cette science à son époque. Je prends une traduction en anglais:"The principia", traduction de I. Bernard Cohen et Anne Whiteman, University of California press. Il en existe en français , mais je n'en ai pas sous la main.

Newton commence par un chapitre de définitions. La définition 1 est celle de la quantité de matière comme "ce qui résulte de la densité et du volume conjointement". Ses commentaires montrent que ce vocable désigne un produit, on a donc la masse. La définition 2 définit la quantité de mouvement: ce qui résulte de la vitesse et de la matière conjointement. Il commente en disant que la quantité de mouvement d'un tout est la somme des quantités de mouvement des parties: c'est proportionnel à la masse. De même si la vitesse double, la quantité de mouvement double. Il me semble clair qu'il définit là p=mv.

Il donne ensuite diverses définitions concernant les forces comme des vecteurs, les divers types de forces, ce qu'est une force centripète, etc., ainsi que de longs commentaires pour clarifier ces définitions.

Vient ensuite le chapitre avec les trois lois du mouvement. La loi 1: "tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf s'il est contraint de changer cet état par des forces appliquées". La loi 2: "un changement de mouvement est proportionnel à la force motrice appliquée et prend place le long de la droite le long de laquelle la force est appliquée". Donc ce qu'il nous dit est que le changement instantané de quantité de mouvement est proportionnel à la force. C'est votre forme (2). La loi 3 est l'égalité de l'action et de la réaction. Mais avant de la formuler, il décrit comment les forces se composent comme des vecteurs, et comment cela concerne la variation de quantité de mouvement, et cela revient en langage mathématique connu de nous à écrire la loi comme une équation vectorielle. La notion de "changement de quantité de mouvement" n'est toutefois pas encore complètement précisée.

Newton le fait dans la suite en analysant une grande quantité de cas et de problèmes dans tous les sens: c'est-à-dire trouver un mouvement connaissant les forces, et trouver les forces connaissant le mouvement. En général, quand les trajectoires et courbes sont de nature connue à l'éppque (des droites, cercles, coniques, etc) il utilise les méthodes de la géométrie euclidienne classique. Mais dire qu'il n'a pas inventé les dérivées est une grosse erreur. C'est dans cette analyse des divers problèmes de mécanique qu'il l'a fait. Il les a appelées des "fluxions" et a décrit leur usage dans un traité séparé publié après sa mort. C'est l'origine d'une controverse amère et bien connue avec Leibnitz. Mais les Principia contiennent beaucoup d'autres choses: la gravité d'une sphère pleine (une intégrale), la mécanique des fluides, la propagation d'ondes dans les fluides, la descriprion du nouveau système du monde (conclusion de la révolution copernicienne), etc.

[ThM55]

Désolé pour les répétitions, je n'avais pas encore vu la réponse de 0577 avant d'entreprendre la rédaction de la mienne. Mais c'est bien, je pense que nos deux réponses se complètent.