Certes j'ai lu dans tous les journaux de vulgarisation que cela servait à supprimer des infinis désagréables dans les équations, mais encore?
Pourquoi y a-t il des infinis?
Comment en pratique est-ce qu'on les élimine?
Pourquoi ce traitement nous garanti une cohérence physique?
Il y a ce document dans la bibliothèque du forum: The Link mais 60 pages après les fêtes c'est assez indigeste.
Si quelqu’un a les idées éclairantes sur le sujet et des exemples assez simples?
Dernière modification par viiksu ; 03/01/2018 à 11h39.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Salut,
Lorsque l'on développe la théorie quantique des champs perturbatives, on procède comme suit :
- On part d'une formulation lagrangienne de la théorie, par exemple le lagrangien de l'électrodynamique quantique (lagrangien de Dirac plus lagrangien EM + couplage)
- on formule la situation en MQ avec formulation des amplitudes et de la "matrice" (opérateur) de collision, dans le point de vue dit interaction (intermédiaire malin entre le point de vue de Schrödinger et Heisenberg)
- on applique un théorème (Wick) qui permet d'avoir une version perturbative (avec des termes proportionnels à un exposant de la constante de coupage, la constante de structure fine pour l'électromagnétisme).
- on sait traduire les termes perturbatifs de manière graphique : les diagrammes de Feynman (tu dois connaitre ou je te laisser wikipedier)
Chaque graphique se traduit par une formule qui donne la probabilité que se produise cette interaction, ce qui permet de calculer tout ce qu'on veut : sections efficaces, etc...
Dans le graphique, il y a des boucles avec une impulsion des particules dans cette boucle. Et dans la formule on intègre sur cette impulsion (somme de tous les cas possibles).
Malheureusement, souvent, l'intégrale diverge. Par exemple, elle a une forme comme
Intégrale de 1/k, de 0 à l'infini
(divergence logarithmique car une primitive de 1/k est le logarithme)
Et tu peux avoir des divergences linéaires, quadratiques, etc....
A bien y regarder, ces divergences sont dues aux fait que l'on intègre sur des longueurs d'onde arbitrairement courtes (ou des des interactions ponctuelles, c'est kif).
Mais aussi parce qu'il y a quelque chose d'illogique dans la méthode.
Le résultat final, physique, correspond à une superposition quantique de tous les diagrammes. Ainsi, une particule seule qui se balade est entourée d'un nuage de particules virtuelles.
La particule seule est la "particule nue" et avec son nuage "particule habillée".
Le lagrangien de départ décrit les paramètres (masse, charge) de la particule nue.
Or une particule n'existe JAMAIS sans son nuage de particules virtuelles.
Donc la particule physique est la particule habillée. Et la particule nue n'est qu'une vue de l'esprit, une astuce théorique.
En fait, les masses et charges connues ne sont pas celles des particules nues mais celles des particules habillées. Y a comme un os.
Donc on va :
- Régulariser (par exemple on change intégrale de 0 à l'infini par intégrale de 0 à Kmax) pour rendre les résultats finis (donc ayant un sens mathématique)
- On va utiliser une méthode pour dire : ces masses charges sont celles du résultat final et non ceux de la particule nue
- on enlève la régularisation (on fait disparaitre Kmax)
- Les théoriciens ont vérifié que le résultat de dépendait pas des méthodes de régularisation (il y en a plusieurs : dimensionnelle, de Pauli-Villars, etc...) ou de renormalisation
Si en choisissant un nombre de paramètres fini (masse de l'électron et charge de l'électron en électrodynamique) tous les diagrammes deviennent fini : BINGO. Théorie renormalisable.
S'il faut une infinité de paramètres, on est mort pendu : théories non renormalisables
(il existe diverses méthodes pour le déterminer, ainsi en électrodynamique on trouve qu'il faut trois paramètres mais une identité remarquable, l'identité de Ward, fait que certains diagrammes s'annulent l'un l'autre, ce qui améliore le résultat)
Notons que cela fait recette de cuisine et on peut s'étonner qu'une théorie partant de trucs non physiques (les particules nues) marche aussi bien. Mais la théorie dite du groupe de renormalisation ou l'approche par les phénomènes critiques a permis de montrer pourquoi ça marchait si bien (la particule nue est la limite de la particule habillée à très très très haute énergie).
Inconvénient : les masses charges choisies en paramètres de renormalisation doivent être mesurées : ils ne sont pas prédictibles par la théorie.
Voilà, voilà. Alors l'ensemble est extrêmement technique (de la formulation des amplitudes aux corrections dites radiatives, les premières corrections à une boucle, en passant par Wick, etc, c'est typiquement une centaine de page bourrées d'équations affreuses, dans n'importe quel bon bouquin). Mais tu as les grands lignes du principe.
Dernière modification par Deedee81 ; 03/01/2018 à 12h24.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci pour ce long développement à méditer
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Trouvé un article qui me parait particulièrement intéressant sur le sujet:
Séries divergentes
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
C'est démoniaque ces séries divergentesThe divergent series are the invention of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever - NH Abel
Oui et pourtant la QFT semble basée sur cela, les physiciens prennent d'énormes libertés avec les maths que les mathématiciens ont du mal à formaliser après, ainsi la fonction d'onde qui est plus précisément formalisée avec les distributions de Laurent Schwartz un de nos grands mathématiciens. Elles ont le bon goût de s'annuler assez vite cela m'aurait ennuyé d'avoir une partie de moi-même sur Pluton.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Salut,
Attention, il y a deux choses dans les calculs de la QFT perturbatives.
On a d'une part une somme de diagrammes de Feynman, et là, oui c'est une série.
Et le calcul de chaque terme, une intégrale sur les variables de boucles (voir le message 2).
La renormalisation, ça concerne le deuxième.
Mais les séries de diagrammes aussi posent problèmes car elles ont une divergence asymptotique. C'est-à-dire une divergence lente qui fait que le résultat calculé doit s'écarter du résultat correct mais seulement pour de "gros" diagrammes avec beaucoup de boucles. Or en général on limite les calculs à trois à cinq boucles. Il y a deux raisons à cette limitation : l'explosion du nombre de diagrammes (quatre boucles pour le moment magnétique anomal de l'électron : 891 diagrammes) et la précision plus que suffisante (le moment magnétique anomal fait partie des grandeurs les plus précises au monde (8 chiffres significatifs !!!!)
Le problème devrait se manifester à très haute énergie et est dû au fait que la QFT n'est probablement (conditionnel de mise) qu'une approximation d'une meilleure théorie à haute énergie.
Jai lu (mais je ne connais pas les calculs) que la limite sensible n'est pas loin du maximum atteint par le LHC (c'est une des raisons qui laisse espérer voir une "nouvelle physique" avec le LHC).
Envoyé par viiksu
Ca c'est bien vrai.
Un exemple est la méthode quantification. La quantification canonique (la plus simple) a été très bien et vite formalisée.
Mais elle s'est avérée inadéquate dans certains cas, comme dans les théories quantiques des champs de jauge non abéliens.
C'est une des raisons qui ont poussé Feynman a développer sa méthode de quantification par les intégrales de chemin.
Physiquement bien fondée..... au début les intégrales de chemins étaient fort mal définies (en particulier la mesurede l'intégrale et l'espace mesuré correspondant).
Cela n'a pas empêché les physiciens de les utiliser en attendant que les mathématiciens consolident la théorie.
Et combien de fois ne lit-on pas des trucs comme "en dehors de quelques exceptions qu'on peut préciser mathématiquement mais qui ne nous concernent pas". Et ton exemple des fonctions d'ondes non normalisables est excellent aussi.
Tanoudji insiste sur ce point (qu'il faut les rendre normalisable avec une fonction "d'amortissement" (smeared) et vérifier et que même si on sait que d'autres ont déjà fait ce travail pour vérifier que les résultats sont justes, ca vaut la peine de le faire au moins une fois).
EDIT et ça me rappelle mon prof de physique. Pi vaut 3.14159etc... pour le mathématicien, il vaut 3.14 pour le physicien et il vaut 3 pour vois (ingénieur)(sous-entendu : "ne faite pas de calcul a une précision supérieure à la précision de vos instruments de mesure". Il disait que celui qui n'arrondirait pas correctement ses résultats aurait zéro).
Dernière modification par Deedee81 ; 04/01/2018 à 14h24.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Notons que cette "liberté" peut causer de mauvaises surprises. J'avais déjà vu des cas, mais je ne me souviens plus lesquels. Sauf un :
Thiemann signale que chercher une théorie perturbative de la gravité peut être une mauvaise idée (la théorie des cordes pour ne pas la nommer).
Il donne en effet des exemples de formulations perturbatives qui ne convergent pas vers la formulation non perturbative !
Et il donne des arguments laissant à penser que ce problème existe avec la gravité.
Et pour cause : la formulation QFT habituelle est non renormalisable (et le reste à tout ordre). Alors qu'on peut montrer que la prise en compte non perturbative de la gravité fait disparaitre toutes les divergences !!!! (il y a un théorème sur ça, il est dans le wikipedia anglais mais je ne sais plus le nom du théorème).
Ca ne signifie pas que l'approche perturbative est fausse. Même dans le cas non renormalisable.
La QED (électrodynamique) est asymptotiquement divergente. Mais il n'empêche qu'elle marche très bien.
Mais si on veut une théorie fondamentalement correcte au niveau non perturbatif, c'est assez gênant.
Donc, faut faire gaffe.
(si quelqu'un a d'autres exemples, qu'il n'hésite pas. Je sais qu'il y a des pièges/exemples instructifs en physique plus "habituelle", c'est juste que je ne m'en souviens plus).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour, si je peux me permettre, un résumé un peu plus simple et j'espère moins technique.
Qu'est ce que la renormalisation? Prenons QED. On commence par introduire des électrons, positrons et photons fictifs car "libres", sans interaction, et on traite leur interaction comme une perturbation. Il en résulte que les paramètres charge, masse et (plus subtilement) l'amplitude des champs qu'on définit au début sont fictifs. En effet, ils sont modifiés par les interactions. Par exemple la charge est "écrantée" par les paires virtuelles positron-électron, un peu comme l'est la charge électrique dans une solution ionique. Un autre exemple est celui d'un sous-marin qui a une masse effective plus grande en immersion qu'en cale sèche, car pour le déplacer il faut aussi déplacer l'eau qui se trouve devant lui. A la différence qu'on ne peut pas mettre les électrons en cale sèche; il sont toujours en interaction avec les photons. Les électrons et photons libres qu'on définit au départ avant de développer en série sont donc fictifs. La prise en compte intelligente de ces modifications, c'est la renormalisation. Même chose pour les autres interactions, faibles, fortes et gravitationnelles, avec des tas de complications permettant de se prendre la tête pendant les longues soirées d'hiver.
Pourquoi y a-t-il des infinis? Il faut se rappeler qu'en mécanique quantique, tout ce qui peut arriver doit arriver, donc dans les états intermédiaires de la théorie des perturbations on doit faire une somme sur toutes les énergies possibles, jusque l'infini. Et cela donne des intégrales divergentes. Mais bien entendu, aucun physicien ne croit sérieusement que, par exemple, notre théorie de l'électrodynamique quantique reste valable sans modification jusqu'à une énergie infinie. Il est amusant de noter toutefois que le célèbre physicien russe Lev Landau avait fait semblant d'y croire et avait trouvé la démonstration que l'électrodynamique quantique renormalisée à tous les ordres doit être triviale, c'est à dire que les électrons, positrons et photons n'interagissent pas entre eux. Elle est en quelque sorte trop renormalisable, et elle s'autodétruit si on la prend complètement au sérieux jusqu'à l'infini. Mais je prends cela comme une preuve par l'absurde que cette théorie n'est pas un bon modèle de la réalité vers les très très hautes énergies (il faut passer à l'électrofaible, puis à une théorie de grande unification, puis à autre chose: une théorie supersymétrique? des supercordes? mais peu importe, autre chose). On va donc régulariser, calculer les intégrales sur un domaine fini, ce qui revient à couper la partie de la théorie qu'on ne connaît pas, et on introduit ainsi une échelle d'énergie indéterminée, qu'on appelle un cutoff. On doit évidemment remplacer les paramètres mesurés par leurs valeurs renormarlisées, les valeurs de départ étant complètement fictives.
Pourquoi cela rend-il les choses cohérentes? C'est un miracle.
La gravitation quantique dans sa formulation de base (où on traite quantiquement la version linéarisée de la relativité générale) n'est pas renormalisable. Le miracle ne s'y produit pas. C'est 't Hooft et Veltman (prix Nobel pour la renormalisation des théories de jauge) qui l'ont démontré. Du point de vue mathématique, cela signifie que la théorie dépend virtuellement d'un nombre infini de paramètres qu'il faudrait tous mesurer, autrement dit qu'elle n'a aucun pouvoir prédictif. Du point de vue physique, on ne peut que faire une conjecture d'après laquelle cela signifierait qu'elle est dépend en réalité du détail de la théorie qui l'étend dans les domaines d'énergie qui font diverger les sommes. Une telle théorie fixera ces paramètres qui sont arbitraires dans la théorie de base.
Salut ThM, ça me fait plaisir de te (re)voir ici.
Merci pour cette explication bien faites données sous un tout autre angle. C'est le bienvenu.
Lorsque l'on définit la matrice de collision S, on part d'un état in de particules libres pour arriver à un état out de particules libres. Or il se fait que pour les champs, les espaces in et out ne sont pas toujours unitairement équivalents (je ne sais plus où j'avais vu un joli exemple avec un réseau de spins). Donc, en toute rigueur, la matrice S n'existe pas ou plus précisément elle ne peut exister que sans interaction. Et pourtant...... ça marche !!!!! C'est vrai que le mot miracle n'est pas trop fort. J'ai toujours été perplexe devant ça. Et dire que ci-dessus on parlait de "prendre des libertés avec les maths". On ne peut pas mieux dire.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Argh! Je n'ai pas le niveau pour vous suivre les amis. cependant j'ai cru comprendre que la renormalisation consistait (en partie?) à introduire une (ou plusieurs?) valeurs mesurées dans un modèle qui devient alors prédictif pour les autres valeurs. Alors question naïve le LHC étant limité à la modeste (je rigole) énergie de 14Tev comment étendrons nous un modèle aux hautes énergies sans mesures?
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Salut,
C'est vaste, complexe et fort technique. Donc, je peux comprendre. Mais on a quand même fait un effort de vulgarisation.
Si quelque chose ne te semble pas clair, n'hésite pas à demander des précisions.
En effet, c'est ce que je disais dans le message deux (pour l'électrodynamique quantique, j'ai même précisé : deux valeurs, la masse et la charge de l'électron. Normalement il en faudrait trois pour cette théorie mais une particularité, due à des symétries, améliore un peu la renormalisation).
Mais la question consiste surtout à savoir pourquoi il faut faire ça, et comment.
Et pourquoi parfois ça ne marche pas (si on introduit le graviton, par exemple, la théorie devient non renormalisable : il faudrait introduire une infinité de valeurs mesurées)
Note que pour savoir combien il faut introduire de valeurs mesurées, il faut examiner les diagrammes de Feynman et certaines de leurs propriétés. Cela s'appelle "comptage des puissances".
Ce n'est pas vraiment relié au problème de renormalisation.
Réponse :
- en construisant un accélérateur encore plus puissant
- en devinant
- en observant des phénomènes encore plus énergétiques (comme les rayons cosmiques, le record est 10^20 eV : https://fr.wikipedia.org/wiki/Particule_Oh-My-God )
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
Ces questions ont plus à voir avec les "divergences infrarouges" (liées aux grandes distances/basses énergies/photon de masse nulle), qui forment en elles-mêmes un sujet entier, alors que la renormalisation a à voir avec les "divergences ultraviolettes" (liées aux petites distances/hautes énergies).Lorsque l'on définit la matrice de collision S, on part d'un état in de particules libres pour arriver à un état out de particules libres. Or il se fait que pour les champs, les espaces in et out ne sont pas toujours unitairement équivalents (je ne sais plus où j'avais vu un joli exemple avec un réseau de spins). Donc, en toute rigueur, la matrice S n'existe pas ou plus précisément elle ne peut exister que sans interaction. Et pourtant...... ça marche !!!!! C'est vrai que le mot miracle n'est pas trop fort. J'ai toujours été perplexe devant ça.
Salut,
D'accord avec la fin (renormalisation et divergences UV) mais ça :
Je ne comprend pas bien. Quel est le lien entre la bizarrerie des non équivalence unitaire des espaces in et out et les divergences infrarouges ?
(je dois dire que je n'ai pas creusé le sujet sur cette "bizarrerie" et le fait que la théorie marche bien malgré cette énorme anomalie)
Tu veux dire que la non équivalence ne peut se produire que si on a des modes sans masses ? (je dois bien avouer que je 'en serais pas autrement surpris car je sais que cette non équivalence est liée au cône de lumière. Pour une théorie non relativiste, ce problème ne se pose pas)
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Oui, je crois que vous avez compris l'essentiel (plusieurs paramètres, mais en nombre fini de préférence). S'il en faut une infinité (cas non renormalisable), on a encore la possibilité d'utiliser la théorie dans un domaine de validité réduit, on appelle cela une "théorie effective", et c'est une méthode qui a fait ses preuves aussi pour simplifier des théories renormalisables mais compliquées. Derrière cette appréciation simple, il y a évidemment une grande complexité. La preuve complète de la renormalisabilité des théories QED, Yang-Mills, QCD etc, est difficile, notamment pour des raisons combinatoires qui à mon avis restent encore mal comprises en général.
@Deedee: je me demande s'il est approprié de mentionner le théorème de Haag (c'est bien de cela qu'il s'agit?) dans le cadre de cette question, cela pourrait nous embarquer dans des questions difficiles qui ne vont pas intéresser viksuu, car un peu hors sujet. Mais ces questions me passionnent et je voudrais faire part de mon idée en deux mots. Moi non plus, je ne comprends pas bien le lien avec les divergences infrarouges ou ultraviolettes, mais il est évident que tout se tient dans une théorie déductive, donc on doit pouvoir trouver des connexions. J'ai une opinion un peu inhabituelle (je crois) à propos du théorème de Haag: je crois qu'il est faux. Certes, il est démontré rigoureusement à partir d'axiomes, mais je soupçonne que certains de ces axiomes sont erronés dans la "vraie vie", même s'ils permettent de construire une TQC qui "marche". D'autre part, la théorie renormalisée est très différente de la théorie libre, je crois qu'on n'apprécie pas toujours ce fait à sa juste valeur, et il n'est pas surprenant qu'on trouve des incohérences mathématiques si on veut représenter les états in et out comme des états libres en faisant tendre le couplage vers zéro à grandes distances, ce que l'on souhaite faire avec la représentation d'interaction.
Cela dit, je rejoins la plupart des auteurs qui ont écrit sur ce sujet: ces bizarreries montrent qu'on ne dispose pas encore d'une théorie mathématique formellement consistante et complète de la théorie quantique des champs. Witten l'a mentionné dans une récente interview dans Quanta Magazine ( https://www.quantamagazine.org/edwar...lity-20171128/ ). Il dit ceci: "(...) quantum field theory is very central to physics, and it’s actually also clearly very important for math. But it’s extremely difficult for mathematicians to study; the way physicists define it is very hard for mathematicians to follow with a rigorous theory. That’s extremely strange, that the world is based so much on a mathematical structure that’s so difficult."
Mais je trouve que c'est cela qui rend la chose si intéressante et passionnante. Le fait que ça "marche" montre qu'on a en main au moins des éléments de vérité. De plus, ce n'est pas le seul cas en physique, quoique dans une moindre mesure: par exemple il y a l'équation de Navier-Stokes, dont on ne connait pas de théorème d'existence et d'unicité des solutions (c'est un des millenium problems, mis à prix pour 1 million de dollars). Au contraire, des travaux récents semblent montrer qu'elle n'est pas consistante, ce qui est surprenant pour une vénérable vieille équation qui s'applique à des objets quotidiens et qu'on utilise pour simuler pratiquement tout ce qui flotte, coule, souffle ou vole.
Oui c'est extrêmement bizarre il semblerait que le monde ne soit pas strictement mathématique à la mode Platon. Théorèmes non prouvés mais qui marchent, domaines de validité, recettes de cuisine, les maths semblent être une boite à outils mais ne sont pas le monde.
Si en passant vous avez une référence littéraire pour la QFT accessible niveau? disons que je sais ce qu'est un Lagrangien et que j'ai une bonne idée de la relativité, je lis aussi l'Anglais sans problèmes sauf pour ces films Américains ou même les sous-titres anglais sont incompréhensibles bourrés de fuck and shit.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Le problème avec la théorie quantique des champs est qu'il y a une multitude de livres et de cours en ligne, chacun différant de ses voisins par de subtils détails. Et ils sont pour la plupart écrits pour apprendre à calculer des processus avec des particules, donc sont très difficiles sur le plan technique. Ils ont aussi beaucoup évolué depuis les classiques de Bjorken et Drell. Ils sont difficiles à lire car s'adressent à des étudiants d'un niveau assez élevé en mécanique quantique et en relativité ("approfondies").
Pour une bonne vulgarisation: Feynman, Lumière et Matière, une étrange histoire. (disponible en français; en anglais le titre est QED: The Strange Theory of Light and Matter).
Pour une référence "littéraire", c'est-à-dire libérée des détails calculatoires, il y a le livre de Paul Teller: "An interpretive introduction to quantum field theory", Princeton university press, https://books.google.be/books?id=4f3...gbs_navlinks_s . Assez orienté "philosophie", mais ce n'est pas de la vulgarisation: il parle d'espaces de Hilbert, de mécanique quantique etc.
Pour une introduction plus mathématique mais accessible, avec pas mal d'explications sur les concepts, j'ai trois références:
- Tom Lancaster, Quantum field theory for the gifted amateur (Oxford University Press): ne demande qu'une connaissance de base de la relativité et des notions de mécanique quantique non relativiste. Il explique plein de choses de manière très pédagogique, en particulier la renormalisation, SANS supposer le "haut niveau" comme les livres plus classiques. Cela en fait un cas unique à ma connaissance.
- Anthony Zee, Quantum field theory in a nutshell (Princeton University Press): on apprend les méthodes de calcul, mais il insiste plutôt sur le contenu physique et la compréhension générale de ce que l'on fait (notamment la renormalisation), ce qui en fait un cours sans doute insuffisant pour devenir un physicien expert des particules, mais vise "une tête bien faite" plutôt qu'une "tête bien pleine".
- Anthony Duncan, The conceptual framework of quantum field theory, Oxford (plus difficile techniquement que les précédents, mais il a le mérite de sonder profondément le contenu conceptuel).
Dernière modification par ThM55 ; 06/01/2018 à 10h36. Motif: Orthographe, redondance
Bonjour,
J'aimerais donner un point de vue sur la renormalisation orthogonal (bien que fondamentalement équivalent) à ceux donnés par Deedee81 et ThM55, car prenant pour point de départ l'intégrale de Feynman. Feynman a montré comment la théorie quantique non-relativiste d'une particule pouvait se reformuler en termes d'intégration sur l'espace de toutes les trajectoires possibles de la particule classique. D'une manière parallèle, une des approches possibles à la théorie quantique des champs est d'essayer d'intégrer sur des espaces de configurations de champs classiques. Paramétrer ces configurations de champ requiert un nombre infini de variables: la valeur du champ en chacun des points de l'espace-temps. On a donc à considérer une intégration portant sur un nombre infini de variables et il n'est pas clair ce que cela signifie mathématiquement a priori. Pour progresser, on peut tout d'abord remplacer l'espace-temps infini par un espace-temps de volume fini, une sorte de boîte spatio-temporelle, puis discrétiser cette boîte en la remplaçant par une grille de points. Autrement dit, on a remplacé le nombre infini de points de l'espace-temps initial par un nombre fini de points d'une grille. Une configuration d'un champ sur la grille est donnée par le nombre fini de valeurs du champs aux points de la grille. L'intégrale sur les configurations du champ se réduit donc à une intégrale sur un nombre fini de variables, qui a un sens mathématique usuel.
Le problème est que cette grille n'est qu'une approximation de l'espace-temps et notre intégrale avec un nombre fini de variables n'est donc qu'une approximation à la quantité physique qu'on cherche à calculer. Pour obtenir une meilleure approximation, on peut essayer d'augmenter la taille de la grille et sa densité. Si dans la limité où la taille de la grille et sa densité tendent vers l'infini, les valeurs des intégrales calculées à chaque étape tendent vers une valeur limite, alors cette limite sera la valeur prédite par notre théorie pour la quantité physique qu'on cherche à calculer. Le problème est que le plus souvent, si on prend cette limite de manière "naïve", avec un Lagrangien fixe pour le champ vivant sur la grille, alors les valeurs des intégrales calculées à chaque étape ne convergent pas. Pour avoir une limite bien définie, il faut en général autoriser les paramètres du Lagrangien à dépendre des paramètres de la grille. Cette relation non-triviale entre paramètres du Lagrangien et paramètres de la grille est la "renormalisation".
J'espère que la description ci-dessus est assez concrète et qu'il est clair qu'elle contient des idées familières en calcul numérique. Pour calculer une intégrale ordinaire, avec un nombre fini de variables, une approche numérique consiste à discrétiser l'espace des variables, pour réduire l'intégrale à une somme. On obtient ainsi une valeur approchée de l'intégrale. En prenant des discrétisations de plus en plus fines, on obtient des approximations de plus en plus précises et dans la limite où le pas de la discrétisation tend vers zéro, on trouve la valeur de l'intégrale. En fait (pour des fonctions raisonnables), ce procédé de discrétisation et de passage à la limite est essentiellement la définition de l'intégrale. Le concept d'intégrale est aujourd'hui familier à n'importe qui ayant fait un peu de mathématiques mais ça n'a pas toujours été le cas.
La définition des théories quantiques des champs par intégrale de Feynman suit la même logique de discrétisation et de passage à la limite, à la différence près que ce passage à la limite est nettement plus difficile à comprendre. En un sens, la théorie quantique des champs aujourd'hui est encore similaire au calcul différentiel et intégral du 17ième siècle.
le théorème de Haag est lié aux divergences infrarouges et est, à mon avis, quelque chose d'essentiellement trivial. Une variante simple de l'argument est:je me demande s'il est approprié de mentionner le théorème de Haag (c'est bien de cela qu'il s'agit?) dans le cadre de cette question, cela pourrait nous embarquer dans des questions difficiles qui ne vont pas intéresser viksuu, car un peu hors sujet. Mais ces questions me passionnent et je voudrais faire part de mon idée en deux mots. Moi non plus, je ne comprends pas bien le lien avec les divergences infrarouges ou ultraviolettes, mais il est évident que tout se tient dans une théorie déductive, donc on doit pouvoir trouver des connexions. J'ai une opinion un peu inhabituelle (je crois) à propos du théorème de Haag: je crois qu'il est faux. Certes, il est démontré rigoureusement à partir d'axiomes, mais je soupçonne que certains de ces axiomes sont erronés dans la "vraie vie", même s'ils permettent de construire une TQC qui "marche".
Le "vide" (état d'énergie minimal) de la théorie avec interactions est différent du "vide" de la théorie libre.
Si l'on essaye de voir le "vide" de la théorie avec interactions du point de vue de la théorie libre, on trouve un état qui dans la théorie libre a une densité d'énergie non-nulle. Dans un espace de volume infini, on en déduit que le "vide" de la théorie avec interactions est un état d'énergie infinie du point de vue de la théorie libre.
Le "problème" lié au théorème de Haag est un problème "infrarouge", i.e. lié aux grandes distances, car l'infini de l'argument précédent n'apparaît que parce que l'espace a un volume infini. Si l'on se restreint à une boîte de volume fini, le théorème de Haag ou ses variantes ne s'appliquent pas. Il n'y a donc aucun problème à utiliser une représentation d'interaction pour calculer des grandeurs physiques qui sont limites de grandeurs physiques calculables en volume fini (de manière plus provocante: mettez le LHC dans une boîte d'une année-lumière de côté, les résultats des expériences ne devraient pas beaucoup changer).
Entièrement d'accord. La seule chose infinie en renormalisation est la "distance" entre la théorie libre et la théorie avec interactions.D'autre part, la théorie renormalisée est très différente de la théorie libre, je crois qu'on n'apprécie pas toujours ce fait à sa juste valeur
Les théories perturbatives sont rigoureusement bien définies (diagrammes de Feynman+renormalisation). Je suis d'accord pour les aspects non-perturbatifs.Cela dit, je rejoins la plupart des auteurs qui ont écrit sur ce sujet: ces bizarreries montrent qu'on ne dispose pas encore d'une théorie mathématique formellement consistante et complète de la théorie quantique des champs.
Bonjour,
Si mes souvenirs sont exacts, Richard Feynman, tout en admirant l'astuce de la renormalisation y voyait une "cuisine " confinant au hold up ! Il fallut attendre Alain Connes pour lui trouver une justification mathématique : http://www.alainconnes.org/docs/ramis.pdf
J'ai arrêté là:
Le résultat clé est l’identite entre le procédé récursif utilise par les physiciens et les
formules mathématiques qui résolvent une application γ : C 7→ G d’un cercle C ⊂ S2
a` valeurs dans un groupe pronilpotent G en un rapport d’applications holomorphe
γ± : C± 7→ G des composantes connexes du complémentaire de C dans S2
. La signification géométrique de cette décomposition (de Birkhoff ou Wiener-Hopf) provient
directement de la théorie des fibrés holomorphes de groupe structural G sur la sphère
de Riemann S2
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
En tout cas merci a tous pour vos contributions et merci à Alain Connes d'avoir trouvé une justification mathématique que peut-être lui seul sur terre est capable de comprendre, je le dis sans ironie car ce Monsieur est un pur génie. Finalement les physiciens font des maths théoriques comme M Jourdain la prose: sans le savoir.
Je viens de retrouver "Quantum Field Theory for the gifted amateur" dans ma bibliothèque dès la troisième page on nous balance l'oscillateur harmonique quantique pour l'instant je suis mais reste 400 pages.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Alain Connes a effectivement travaillé sur les structures algébriques et combinatoires de la renormalisation, après la découverte par Kreimer qu'elle était structurée par des algèbres de Hopf. A mon avis on n'en est plus, depuis plus de 40 ans, à considérer la renormalisation comme un "holdup" ou une "recette de cuisine". Du point de vue mathématique, il y a eu la clarification par les méthodes BPHZ et surtout Epstein-Glaser ( http://www.numdam.org/article/AIHPA_...19_3_211_0.pdf ) qui permet de formuler par exemple QED de manière parfaitement régulière du point de vue mathématique, dans le cadre de la théorie des distributions, sans avoir besoin des structures découvertes par Kreimer. Voir aussi le traité de Günther Scharf, Finite quantum electrodynamics (republié récemment en édition bon marché ): idéalement c'est comme dans ce texte qu'on devrait enseigner l'électrodynamique quantique pour qu'elle n'apparaisse plus comme des recettes de cuisine, mais la manipulation de ces distributions sur l'espace-temps est tout de même difficile à maîtriser, et cela ajoute encore une difficulté à une matière qui en comporte déjà beaucoup.
Il faut aussi mentionner le point de vue de Wilson, qui a expliqué la signification physique de tout cela en appliquant le groupe de renormalisation au phénomènes critiques. C'est de la physique statistique de la matière condensée, donc a priori rien à voir avec la physique des particules, mais ce que Wilson a montré est qu'une théorie renormalisable possède quelque chose en commun avec le comportement générique d'une transition de phase au point critique. La similitude est parfaite dans les équations et montre bien ce qu'est une théorie renormalisable, ce que j'ai déjà expliqué plus haut. Je trouve qu'un tel point de vue est finalement plus riche d'enseignements qu'une théorie mathématiquement bien propre.
Dernière modification par ThM55 ; 07/01/2018 à 09h51. Motif: Orthographe
Personnellement, j'ai aussi un peu de mal à accepter la théorie des distributions. Mon prof d'analyse nous disait que la théorie des distributions avait transformé l'analyse fonctionnelle; avant, elle était un jardin à l'anglaise, avec plein de bosquets, de petits chemins labyrinthiques, des vues pittoresques et la théorie des distributions a transformé cela en un jardin à la française avec des allées bien droites, des vues dégagées et lointaines. Je vois ce qu'il voulait dire, mais j'ai toujours gardé l'impression que travailler avec des distributions (par exemple produire des "solutions faibles" d'équations aux dérivées partielles) revenait un peu à tricher avec la réalité. Par exemple un système physique n'a pas de vraie "réponse impulsionnelle", car on ne peut pas fabriquer la distribution de Dirac dans la réalité, ce ne sera jamais qu'une approximation. En travaillant avec des distributions on se met dans une sorte de monde féérique idéal. Qu'en pensez-vous?
Dernière modification par ThM55 ; 07/01/2018 à 10h11. Motif: "s" à la fin au pluriel!
Et merci à toi Viiksu pour ta question ainsi qu'à 0577, Deedee81 et Brhmagupta pour leurs remarques. C'est un sujet très intéressant, j'ai aussi encore beaucoup à apprendre .
Bonjour,
Si on refuse les distributions par principe, on est assez vite conduit à refuser les discontinuités en général.
Pas de dirac dans la vraie vie : Ok.
Intégrons pour régulariser le dirac : On obtient un échelon. Argh discontinuité en 0.
Intégrons encore pour régulariser l'échelon : On obtient une rampe causale. Argh non dérivabilité en 0.
Intégrons encore etc...
Où faut-il s'arrêter?
Autre approche de refus du dirac.
Ce serait très curieux physiquement et perturbant mathématiquement de ne pas avoir d'élément neutre pour la convolution temporelle...
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Salut,
Désolé d'avoir perdu le fil. Week end oblige.
Pour le message précédent. En MQ et en Théorie quantique des champs, on est sensé "amortir" toutes les solutions par des fonctions analytiques, donc il n'y a jamais de Dirac, jamais d'échelon, etc...
Bon, c'est rarement fait dans les cours et les bouquins (sauf celui de Tanoudji sur l'électrodynamique quantique). Mais il faut avoir vérifié au moins une fois de cette manière que les calculs qu'on fait ont un sens (d'autres l'on fait pour nous
Par contre, une fois vérifié, on n'hésite pas à taper des Dirac dans tous les coins. Ca simplifie les calculs
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Une fonction analytique est-elle plus "physique" qu'un dirac?
Il y a quand même une somme infinie dans la définition...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Quid des fonctions d'onde qui en théorie ne sont nulles qu'à l'infini mais en pratique on imagine mal une partie de ses propres atomes se ballader sur Alpha Centauri.
Quoi Dieu n'existerait pas? Mais alors j'aurais payé ma moquette beaucoup trop cher (WA).
Eh bien? Quid?
La MQ vous fournit un cadre dans lequel vous pouvez calculer la probabilité pour qu'une mesure détecte un de vos atomes sur Alpha Centauri. Point.
