Aiguille de Buffon : la désullusion ?

[invite452d5a24]

Salut,

L'expérience de Buffon, elle tendrait à montrer que si l'on disopsait de suffisament de temps on retrouverait et une approximation de pi aussi bonne que voulue (à une proba prés que l'on peut rendre aussi faible que l'on veut).

Le gros problème c'est que l'expérience ne marcherait que si l'aiguille était un segment et que les traits horizontaux serait des droites, alors qu'en est-il dans notre monde, où le segment à une épaisseur disons 1 minimétre variant de +-1 micro métre (du à la thermie) et les traits horizontaux ont une épaisseur de 1 millimètre, alors retomberai-t-on théoriquement sur pi ?

Cordialement.
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[JPL]

Dans les temps anciens j’avais vu au Palais de la Découverte, dans la salle où en frise il y avait 707 décimales de Pi (fausses a partir d’un certain niveau) une expérience protégée par un globe dans laquelle en appuyant su un bouton (je ne me souviens plus des détails) on pouvait produire un lancer pseudo-aléatoire dont les résultats étaient comptabilisés, l’intersection étant détectée quand l’aiguille chevauchait deux plaques métalliques sous tension. Le résultat provisoire était je crois de 3,... et la première décimale était encore fausse.

Cela fait bien longtemps que je n’y suis plus retourné et je ne sais pas si l’expérience existe encore, a été modernisée ou a disparu.

[invite9dc7b526]

Le gros problème c'est que l'expérience ne marcherait que si l'aiguille était un segment et que les traits horizontaux serait des droites, alors qu'en est-il dans notre monde, où le segment à une épaisseur disons 1 minimétre variant de +-1 micro métre (du à la thermie) et les traits horizontaux ont une épaisseur de 1 millimètre, alors retomberai-t-on théoriquement sur pi ?

de mon point de vue l'épaisseur de l'aiguille ne joue aucun rôle et de plus l'aiguille n'a pas besoin d'être rectiligne.

[invite452d5a24]

Salut,

de mon point de vue l'épaisseur de l'aiguille ne joue aucun rôle et de plus l'aiguille n'a pas besoin d'être rectiligne.

Alors comment expliques-tu que l'expérience décrite par JPL soit un échec ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Ce n’est pas un échec mais une expérience statistique dont la précision ne pouvait augmenter qu’avec le nombre de coups et chaque visiteur était invité à appuyer sur le bouton. Je ne me souviens pas du tout quel était le mécanisme qui assurait un lancer à peu près aléatoire de l’aiguille. C’est peut-être là que résidait la limitation de l’expérience.

[invite452d5a24]

Ce n’est pas un échec mais une expérience statistique dont la précision ne pouvait augmenter qu’avec le nombre de coups et chaque visiteur était invité à appuyer sur le bouton. Je ne me souviens pas du tout quel était le mécanisme qui assurait un lancer à peu près aléatoire de l’aiguille. C’est peut-être là que résidait la limitation de l’expérience.

Si on suppose qu'il y a environs 100 lancer par jour, et que ton expo exister depuis plus de 3 ans, on en serait quand même aux environs de 100 000 lancés, ce qui voudrait dire que l'on pourrait espérer une meilleure précision que celle à laquelle tu as eu accée.

[obi76]

Pour un décimale en plus il faut environ 100 fois plus de lancer que pour la précédente...

[invite452d5a24]

Pour un décimale en plus il faut environ 100 fois plus de lancer que pour la précédente...

Et pour la première décimale (3,...) combien de lancer faut-il ?

[JPL]

Il me semble me souvenir que la première décimale était fausse mais je ne peux pas le garantir parce que cela remonte à une époque où j’avais une vingtaine d’années. Je n’ose pas annoncer le gap

[invite9dc7b526]

en théorie avec beaucoup de malchance, quel que soit le nombre de lancers tu peux trouver n'importe quelle valeur pour pi.

En pratique il faut se fixer une petite probabilité (disons 1/1000) et calculer un intervalle de confiance à ce seuil pour la moyenne de N tirages dans la loi de Bernoulli de paramètre 1/pi. Il faut ensuite inverser cet intervalle et choisir N tel que l'intervalle inversé soit inclus dans l'intervalle ]2.5,3.5[. Tu aurais ainsi le plus petit nombre de tirages tel que la probabilité de ne pas trouver le chiffre 3 soit moindre que 1/1000.

[obi76]

Alors, en PJ l'erreur absolue en fonction du nombre de tirages.

Pour faire simple : première valeur (3), il faut déjà une dizaine de tirage (très fortement aléatoire)
deuxième valeur (3.1) : environ 4700
troisième valeur (3.14) : environ 250 000

Je ne suis pas allé plus loin.

[invite9dc7b526]

Je viens de faire ce calcul et au seuil de 1 pour 1000 je trouve qu'il faut 1900 lancers et environ 300000 pour le deuxième chiffre (mais c'est parce que le troisième est un 4, donc près de 5 qui est la limite pour changer de chiffre)

[invite452d5a24]

J'ai fais une simulation, et j'obtiens avec 100 000 lancés, 3.141...

Le code source pour qui voudrait vérifier :

#En Maple

p:=evalf(Pi/2);
r:=0: 
M:=100000; 
for i from 1 to M do h:=rand(1..1000)()/1000.; t:=rand(1..1000)()/1000.*p; if(h/cos(t)<1) then r:=r+1: fi: od: 
M/r*2.; #le résultat : 3.141196796

[obi76]

Il faut faire extrêmement attention dans vos conclusions. J'ai pris la plus grande valeur du lancer qui donne les décimales voulues. Passer par hasard sur la bonne valeur pour s'en éloigner ensuite, c'est que ça n'est pas convergé (ça arrive plein de fois). C'est pour ça que tracer la courbe permet de voir si c'est convergé ou pas.

Sinon j'ai 3.1415 au 490° lancer, mais ça s'en éloigne ensuite très vite. Ca ne veut rien dire.

Mais au final on obtient bien les mêmes ordres de grandeur.

[invite9dc7b526]

voici ce que donnent 1000 simulations de 100000 lancers chacune. C'est bien centré sur 3.14 (normal la moyenne résulte de 100 millions de tirages) mais il y a de la dispersion.

[invite452d5a24]

J'ai refait l'expérience avec 1 millions de lancé, je trouve 3.142628180.

Maintenant je vais diminuer la précision de mes lancets, avec au lieu de 1000 (pas), 5.

Et voilà cela converge notoirement vers 2., donc oui, il semblerait que quand la précision n'est pas suffisante on se rapproche pas de pi (comme dans notre monde physique)

[invite452d5a24]

Je me suis fait avoir par mon enthousiasme, en fait en prenant la précision du pas de 3, on converge vers un truc proche de 3., mais la désullusion se confirme.

p:=evalf(Pi/2); 
m:=3; #la précision du pas
r:=0: 
M:=100000; 
for i from 1 to M do h:=rand(1..m)()/m*1.; t:=rand(1..m)()/m*1.*p; if(h/cos(t)<1) then r:=r+1: fi: od: 
M/r*2.; # résultat 2.992309764

[obi76]

Et voilà cela converge notoirement vers 2., donc oui, il semblerait que quand la précision n'est pas suffisante on se rapproche pas de pi (comme dans notre monde physique)

Bien sur que si on se rapproche de pi. Mais il va vous falloir un nombre de tirage excessivement élevé. Si vous voulez une dizaine de décimale avec cette méthode, aucun ordinateur au monde n'en sera capable.

[Deedee81]

Salut,

Outre ce problème de convergence, il est vrai que pour des objets physiques, la longueur, le parallélisme des lattes, etc... tout ça ne peut être infiniment précis. Et ça ne va pas nécessairement converger vers la valeur théorique. Toutefois, on peut construire des objets suffisamment précis pour avoir quelques décimales. Mais ça reste évidemment vrai de toute méthode physique de détermination de grandeurs mathématiques.
Si on simule ça sur ordi, ce problème de précision disparait (suffit d'avoir assez de décimales ).

Reste ce problème de convergence. Très médiocre ici.

Un autre exemple de mauvaise convergence est le développement de Taylor pour ln2. C'est pour ça que les calculatrices et ordinateurs utilisent divers algorithmes améliorant la convergence, comme l'algorithme CORDIC.
C'est d'ailleurs aussi ce qui explique que les records de calculs de décimales de pi ont été obtenus avec des formules qui sont franchement affreuses. Elles sont choisies pour être de convergence extrêmement rapide.

[obi76]

A 60 000 000 000 je suis à 3.14157. Inutile d'aller plus loin. Aucune désillusion, ça marche, c'est juste lent...

[invite452d5a24]

A 60 000 000 000 je suis à 3.14157. Inutile d'aller plus loin. Aucune désillusion, ça marche, c'est juste lent...

Non, il suffit de baisser la précision, pour voir clairement que cela dépend de la précision, ainsi en prenant une discrétisation de 10 (m=10) on obtient aprés :
1000 000 de tirages : 3.125...

si on prend m=3 on obtient aprés 1000 000 de tirages : 2.9923...

Donc la désullusion se confirme, une désullusion que je pense on pourrait confimer par le calcul théorique.

[coussin]

Le calcul théorique est simple et vous dit que ça converge vers pi. C'est l'implémentation numérique qui est éventuellement difficile.

[invite452d5a24]

Le calcul théorique est simple et vous dit que ça converge vers pi.

Si l'écart entre les lignes et la longueur du baton est connu avec une précision de 1 millimétre (par exemple) alors j'en doute fortement, calcul informatique à l'appuie.

[obi76]

Si en plus vous ne comprenez pas commznt marche la programmation, inutile de prendre ça comme argument. Je sais ce que je fais quand je code, et ce nest pas un problème d'arrondi pour les 5 premières decimales lorsqu'on est en flottant 64 bits.

[obi76]

Bref pensez ce que vous voulez mais arrêtez de sortir n'importe quoi, svp.

[coussin]

En plus, la variance asymptotique est en 1/N. Donc, autant dire le pire des cas...

[invite452d5a24]

et ce nest pas un problème d'arrondi pour les 5 premières decimales lorsqu'on est en flottant 64 bits.

Mais de quoi on parle là ?

Pour ma part je parle de l'imprécision due au fait que la longueur entre 2 lignes horizontale n'est pas exactement la longueur de l'aiguille, et dans ma première expérience j'ai pris une imprécision de 1/1000, et dans les autres 1/3, 1/5 et 1/10, et on voit clairement que cela influe sur le résultat, fais une simulation tu le verras !

[obi76]

Ca influe sur la vitesse de convergence, pas sur le résultat.

[invite452d5a24]

Ca influe sur la vitesse de convergence, pas sur le résultat.

Ok fait l'expérience alors, change la longueur de la tige de 10%, sans changer la longueur des parallèles, et regarde si cela ne change que la vitesse de convergence, même topo avec le calcul théorique.

Si aprés cela tu restes sur ta position, j'en resterais là, ayant épuisé tous les arguments à ma disposition, mais merci de faire l'expérience ou le calcul de manière effective, avant de me répondre.

[invite452d5a24]

J'ai trouvé un argument plus convaincant et sans calcul, si tu augmentes la taille de l'aiguille, on perçoit que cela va augmenter la proba avec la laquelle c'est aiguille va couper les lignes parallèles, en effet cela aurait lieu plus souvent, ainsi on voit bien que changer la taille de l'aiguille change les probas, et donc une incertitude sur la taille de l'aiguille, en ferait de même.