Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour répondre à une question traitant sur la physique quantique.
On a un opérateur unitaire K(V)=exp(-V(a-a+)) avec V réel, a et a+ les opérateurs annihilation et création.
On appelle â la transformé de a par K(V) et â+ celle de a+.
Il faut montrer que â=(a-V) et â+=(a+-V)
Je vous remercie d'avance
Bonjour, je suppose qu'il s'agit des opérateurs de création et d'annihilation qui obéissent à la relation de commutation canonique.
Et je suppose aussi que la "transformation" en question est
La solution passe par quelques calculs simples. D'abord, on a, par une application triviale de la relation de commutation:
Ensuite on montre facilement par récurrence que pour tout entier naturel n>0 (Ici, j'abandonne le Latex, car il ne semble pas fonctionner, je reçois un message d'injures lors de la prévisualisation.)
a(a-a^+)^n = (a-a^+)^na + n(a-a^+)^{n-1}
Si on applique cela au développement en série de Taylor de l'exponentielle exp(-V(a - a^+)), on obtient
a exp(-V(a-a^+) ) = Sum_n (-V)^n a(a-a^+)^n / n! = exp(-V(a-a^+)) a - V exp(-V(a-a^+))
En multipliant à gauche par K^+, on obtient le premier résultat. L'autre s'obtient de manière très similaire (le truc est de trouver l'expression de commutation correspondante pour a^+).
Désolé, j'ai fait quelques erreurs de calcul (c'est la fatigue, on est vendredi soir). Il faut évidemment lire pour le cas de base:
et corriger les signes dans les expressions qui en découlent (signe moins devant le second terme du cas général).
Pour le dernier terme, on peut remarquer que cela revient à dériver par rapport à (a-a^+); cela n'a pas de sens mathématique, c'est une dérivée purement formelle, mais elle fonctionne sur la série et donne donc
a K = Ka - VK
Merci beaucoup pour votre réponse! J'ai aussi trouver une autre solution sans utiliser d'approximation ( en utilisant l'identité de Glauber)
