[MQ] Un exercice du Cohen-Tannoudji

[jacknicklaus]

Bonjour à tous.

Je coince à l'exercice 9 dans le chapitre VI sur les moments cinétiques, dans le "Mécanique quantique" de Cohen-Tannoudji. Cf pièces jointes.

le a) : c'est OK. Je trouve un minimal, pour l'expression demandée, à pour et . J'obtiens bien, par simple calcul des produits-scalaire, l'expression demandée pour la composante de L sur l'axe Lalpha.
le b)
le i) est OK. On fait un changement de repère pour revenir dans le cas du a).

le ii) est OK.On utilise une projection sur les vecteurs unitaires du repère OXYZ = Ux, Uy, Uz dans le repère 0xyz, pour calculer LX, LY, LZ :



on trouve finalement


Hélas, je bloque à la question du calcul de


le ket |l,l> est associé à l'harmonique sphérique et
et d'autre part

Je pense donc faire :

, soit en ne retenant que la partie angulaire theta phi (la partie radiale est normée et l'intégrale vaut 1)

où la fonction g est la partie en theta phi de

Pour trouver la fonction g, j'exprime X,Y,X en fonction de x,y,z comme suggéré dans l'exercice :


puis j'exprime (x,y,z) en sphérique , et enfin en fonction de
mais ca me donne une intégrale inextricable. En effet


et il faut intégrer ce truc à la puissance l... Je ne vois pas du tout comment !

Soit je fais fausse route avec , soit je ne vois pas la méthode permettant de calculer l'intégrale, soit je me suis gouré quelque part

Une idée ?


merci à tous ceux qui voudront bien m'aider_DSC5549_DxO.jpg_DSC5548_DxO.jpg
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[jacknicklaus]

Hello,

personne n'a déjà fait cet exercice du Cohen Tannoudji ?

[jacknicklaus]

bon, ne m'en veuillez pas, je vais tenter ma chance sur "ile de la physique.".
Ca m'agace vraiment de bloquer sur cet exercice.

naturellement, je reviendrais ici pour signaler si j'ai obtenu une réponse, afin de clore le sujet. Ou l'inverse si quelqu'un d'ici trouve la bonne piste....

PS
éventuellement, un conseil sur un forum/site où j'aurais le plus de chances de réponse ?

[azizovsky]

Bonjour, une idée si .. tirer par les ...., on 'a , on multiplie par et on intègre (il faut trouver la variable , je suppose que :, et comme pour la série Fourier : , à cause de l'orthogonalité des fonctions , il ne reste que

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

si les vecteur |l,l> et |l,l>* sont orthonormées , si non on remplace C par C/cst , une cst qui vient de l'intégral ...

[azizovsky]

non avec cette méthode on trouve la relation de Parseval , je crois qu'on doit multiplier par ?? (

[azizovsky]

mais on 'a donc (à toi de voir )

[jacknicklaus]

Merci de cette idée azizovski. De ton calcul (l est fixé) il vient car Psi est normée.

D'ailleurs, dans la forme des dm qu'on est supposé trouver (cf énoncé) on reconnaît à peine déguisé un ce qui est rassurant pour une somme de probabilités.

Mais ca m'avance pas pour le calcul de ce fichu dl... Vraiment, j'ai beau tourner et retourner, je ne vois pas comment faire.

[azizovsky]

Je crois qu'on'a donc :





donc

[jacknicklaus]

Je crois qu'on'a donc :





donc

oh oui !!!!!! : très astucieux !

et donc

ce qui montre que

il ne reste plus qu'à démontrer que la phase de dl est . Le but est proche... !

[azizovsky]

Bonjour, j'ai plongé un peu dans les cours hier soir, je crois qu'on fait fausse route, j'ai regarder tome II de C.Aslangul et et le II de A.Messiah et le III de L.Landau et E.Lifchtz (j'ai lu le II de C.Tannoudji à la biblio municipale au blade il y'a plus de 15ans ...), et à l'usine de production des concepts , maths sup de V.Smirnov III 2ème partie, je n'ai rien tiré (lien avec l'énoncé... ) ...., donc j'ai retourné à la lecture de l'énoncé :

déjà il y'a la relation

pour on trouve:



....

ps: j'ai mal dormi .

[azizovsky]

je dérape :

[azizovsky]

c'est quoi l'équation D20 dans l'énoncé ?

[jacknicklaus]

je dérape :

oui, en effet. C'est cà qu'il faut démontrer.

ta méthode post #9 que j'ai utilisée post #10 donne déjà le bon module :
reste la phase.

mais l'énoncé semble guider l'étudiant vers un développement à partir de Psi(X,Y,Z) que je n'ai pas su utiliser...

en ce qui concerne D-20, c'est simplement la définition de la constante Cl , c'est le facteur Cl dans l'expression de la fonction harmonique sphérique

[jacknicklaus]

c'est quoi l'équation D20 dans l'énoncé ?

ce qui définit Cl