Equations du mouvement mécanique classique

[invite0ae5fec9]

Bonjour, j'ai des questions concernant les équations du mouvement en mécanique classique :
1) Ma première question concerne les référentiels galiléen :
Si on prend des système de référence quelconques, on se retrouve avec des espaces non homogènes, anisotropes et un temps non uniforme, ce qui compliquerait la description du mouvement (dans ce genre de système, un corps au repos peut commencer à se mouvoir sans sollicitation extérieure), c'est pourquoi on a opté pour des systèmes de référence où l'espace est homogène, isotrope et où le temps est uniforme, ces systèmes de références sont des systèmes de référence appelés galiléens. Ce genre de système est caractérisé par un espace homogène, donc les fonctions définies dans ce système de référence ne dépendent pas des points (du coup position des particules), isotrope (donc les fonctions ne dépendent pas des vecteurs qui ont une direction), et un temps uniforme, donc pas de dépendance temporelle, du coup si on prend notre fonction de Lagrange L, elle ne dépends pas des coordonnées, et ne peut pas dépendre du vecteur vitesse, elle dépend du carré du module du vecteur vitesse (v^2), on obtient donc , ce qui fait que , et étant donné que L dépend uniquement de v^2, on a que v est constant, ce qui est une démonstration de la loi d'inertie : Dans un système galiléen, tout mouvement libre s'effectue avec une vitesse constante en grandeur et en direction.
Mon problème est donc le suivant : Tout d'abord, dans la démonstration, je ne vois pas quand nous avons supposé que le mouvement était libre, L dépend de v^2 à cause des caractéristiques du référentiel galiléen, et les équations du mouvement on été écrites grâce au principe de Hamilton, qui dit que l'action doit être minimale, quand avons nous supposé qu'il n'y avait pas de sollicitations extérieures ? . Ensuite, je ne comprend pas pourquoi L dépend de , L ne peut pas dépendre de v car ce dernier est un vecteur, et que nous avons dit que l'espace était isotrope, mais il pourrait dépendre du module de v, ou même de ... ? Enfin, je ne comprend pas vraiment ce que signifie espace isotrope, homogène, et temps uniforme physiquement.

2) Ma deuxième question concerne cette remarque : La fonction de Lagrange n'est déterminée qu'à la dérivée totale d'une fonction quelconque des coordonnées et du temps, on suppose au début que nous avons deux fonctions L et L' telles que :, en intégrant on obtient donc avec S l'action, les termes constants disparaissent quand on varie l'action et on finit par trouver que la condition coincide avec , ce qui fait que même si on a deux fonctions de lagrange différentes, les équations du mouvement sont les même si la différence est la dérivée totale par rapport au temps d'une fonction des coordonnées et du temps.
Mon question ici est la suivante : au début on a supposé que la différence c'était la dérivée totale, et on a trouvait que ceci nous donnait les mêmes équations du mouvement, mais cela veut il dire que le seul cas où deux fonctions de Lagrange donnent les mêmes équations de mouvement est celui évoqué précédemment, où y a t-il d'autres cas ?

3) Quand nous avons décrit le mouvement d'un point matériel libre dans un système galiléen, on a considéré deux systèmes de référence galiléens K et K' avec l'un se déplaçant par rapport à l'autre avec une vitesse , on a donc la vitesse du point matériel dans chaque système qui vérifie la relation : , on a deux référentiels galiléens, il faut que les équations du mouvement soient les mêmes, pour ce faire, il faut que la différence entre le lagrangien dans K et le lagrangien dans K' soit la dérivée totale d'une fonction qui dépend du temps et des coordonnées, on a donc , on néglige le terme avec epsilon au carré pour trouver : , on trouve donc que avec a une constante, on va la choisir en général égale à m/2, m étant appelée masse du point matériel, la partie que je n'ai pas compris : on va donc montrer que la masse ne peut être négative, en effet, , et donc l'intégrale d'action prendrait des valeurs négatives aussi grandes que l'on veut en valeur absolue, et donc elle n'aurait pas de minimum, ce qui est faux.

Merci par avance
Cordialement
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Au sujet de votre 1), la notion de référentiel n'est pas relié à l'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie de l'espace. Vous amalgamez.

C'est le tome 1 du cours de Landau qui vous sert de référence ?

[invite0ae5fec9]

Bonjour, en effet, c'est bien le tome 1 du cours de physique théorique de L. Landau, le tome de Mécanique.

[invite0ae5fec9]

Une idée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

À part vous dire de relire plus attentivement et si besoin plusieurs fois, je ne vois pas trop quoi faire. Tout est dans le livre.

[Amanuensis]

Deux points pas nécessairement résolus par une relecture du Landau (qui est assez concis!):

Ensuite, je ne comprend pas pourquoi L dépend de , L ne peut pas dépendre de v car ce dernier est un vecteur, et que nous avons dit que l'espace était isotrope, mais il pourrait dépendre du module de v, ou même de ... ?

Dépendre du module de v et dépendre de v², c'est la même chose car v² =|v|². De même, si v³ = |v|³, alors dépendre de v³ c'est pareil que dépendre de v².

Enfin, je ne comprend pas vraiment ce que signifie espace isotrope, homogène, et temps uniforme physiquement.

Rien de plus que ce que cela signifie. À savoir (simple traduction) invariant par translation spatiale (homogénéité), par rotation spatiale (isotropie) et par translation temporelle (temps uniforme). Ou encore, lois (équations de mouvement) indépendantes du lieu (homogénéité), de l'orientation (isotropie) et de l'instant (temps uniforme).

[invite0ae5fec9]

Bonjour, je m'excuse du retard je viens de voir votre réponse, oui je vois mieux, donc dans la démonstration on aurait pu mettre n'importe quelle fonction qui dépend de v, et pour la deuxième ce sont donc les caractéristiques mathématiques de l'espace dans lequel on travaille, merci encore pour votre réponse !