[MQ]Estimation des probabilités

[Paradigm]

Bonjour,

La mécanique quantique fait un grand usage des probabilités :

1/ Lorsque le systèmes est préparé dans un état pur et donc parfaitement connu, le postulat de la mesure conduit à des prédictions de nature probabiliste calculées à partir du concept d'amplitude de probabilité.

2/ Lorsque le système est préparé dans un état mixte, mélange statistique d'état, nous utilisons aussi la notion de probabilité pour décrire ce mélange statistique.


Dans le cas 1/ Comment sont estimées les amplitudes de probabilité servant au calcul des probabilités P(a_n) du résultat d'une mesure d'un observable donné ?

Le cas 2/ traite du caractère incomplet concernant l'information initiale sur l'état du système, que nous disposons. Situation que l'on retrouve dans le domaine de la mécanique statistique classique. L'estimation des probabilités pour décrire le mélange statistique suit les mêmes méthodes qu'en mécanique statistique classique ?

Cordialement,
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[Paradigm]

Bonsoir,

On peut lire "La théorie physique la plus précise et la mieux vérifiée" ! Comment ?

De manière empirique on cherche à définir les valeurs de probabilité conduisant aux résultats de mesure sur la base de l'interprétation fréquentiste des probabilités ? Pour ensuite déterminer les valeurs des amplitudes de probabilité ?

Cordialement,

[invite54165721]

A ma connaissance on ne mesure jamais des amplitudes de probabilités. en revanche la chose est tres simples pour les probabilités.
prenons concretement un opérateur O. il a des valeurs propres et on veut mesurer la probabilité que pour une particule dans un etat donné, la mesure de O soit comprise entre a et b.
on fait une premiere mesure et si le résultat est entre a et b on note 1 sinon 0
on recommence avec une autre particule etc. on obtient ainsi une moyenne entre 0 et 1, c'est la probabilité cherchée que l'état soit pur ou mixte.
pour le coté mathématique on a un espace de Hilbert H des états de la particule. l'ensemble des vecteurs propres de O avec une valeur propre entre a et b génere un sous espace vectoriel V de H. je note P l'opérateur de projection orthogonal sur V.
si on le repete deux fois sur un vecteur quelconque la deuxieme fois il le laisse invariant car il est déja dans V
On a P P = P soit P(P- id) = 0
ses valeurs propres sont 0 et 1. sa valeur moyenne dans l'état de la particule est la probabilité qu'on étudie.
si l'etat est pur (on le note a>) C'est <a|P|a>
On peut l écrire également Tr(P |a><a|) en utilisant la trace du produit des opérateuts.
si on a un mélange p1 |a><a| + p2 |b><b| on prend la trace du produit P(p1 |a><a| + p2 |b><b|)
soit car la trace est linéaire
p1 <a|P|a> + p2 <b|P|b>

[Paradigm]

Bonjour alovesupreme, Bonjour à tous,

Merci pour votre réponse. Je cherchais à savoir comment est déterminée opérationnellement l'amplitude de probabilité qui sert à construire le vecteur d'état ou l'opérateur densité d'un micro-système à mesurer. Le formalisme mathématique de la MQ est quant à lui bien expliqué dans des ouvrages comme cette référence qui permet de comprendre à quoi sert une amplitude de probabilité, mais ne donne pas d'information de comment opérationnellement elle est déterminée.

C'est donc une donnée qui ne se construit que mathématiquement à partir de l’expression de l'opérateur/observable auquel on s’intéresse ? comme exprimé par exemple par le postulat 4 dans le cas du spectre discret non dégénéré. L'opérateur A permet de trouver ses valeurs propres et vecteurs propres, ce qui permet de construire l'amplitude de probabilité en faisant la produit scalaire d'un vecteur propre de A avec le vecteur état du système à mesurer.

Par contre l'état du micro-système à étudier est connu par mesure/préparation pour le cas des états pur ce qui n'est pas le cas des états mixtes (mélange statistique d'état pur) ?

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Je pense avoir répondu a la question qui est dans le titre (les probabilités)

ta queston porte aussi sur la mesure des amplitudes, la chose la plus proche qui me vient a l'esprit est la mesure des phases.
je ne suis pas au top la dessus. y a t il un opérateur lié a la phase? en tout cas s'il en existe un il ne commuterait pas avec l'opérateut
nombre de particules.
ainsi pour un etat a une particule la phase est parfaitement indéterminée. c'est un peu comme la position d'une particule décrite par
une onde plane monochromatique

je ne vois pas ce que tu veux dire avec ton apposition pur/melange
on passe continument de l'un a l'autre grace aux matreices densité.

[Paradigm]

je ne vois pas ce que tu veux dire avec ton apposition pur/melange
on passe continument de l'un a l'autre grace aux matreices densité.

Etat pur : état parfaitement connu. Pour déterminer l'état d'un système à un instant donné, il suffit d'effectuer sur le système un ensemble de mesure correspondant à un ECOC.

En pratique cependant, l'état du système n'est souvent qu'imparfaitement déterminé. D'ou la notion de mélange statistique car lorsque l'information que l'on possède sur un système est incomplète, on fait appel à la notion de probabilité.

L'état du système peut être, soit l'etat E1 avec une probabilité p1, soit l'état E2 avec une probabilité p2 ... ou on a évidemment : P1 + p2 + ... pk = 1 Ce qui définit la notion de mélange statistique des etats E1, E2, ..., Ek. Dans le cas d'un etat pur on n'a pas besoin d'introduire de probabilité à ce stade car il est considéré que le vecteur d'état est parfaitement connu, auquel cas toute les probabilité pk sont nulles sauf une, qui vaut 1.

La notion de mélange statistique ne doit pas être confondu avec la superposition d'état. Il n'est pas possible en général de décrire un mélange statistique par un "vecteur d'état moyen" qui serait une superposition des états Ek en effectuant une somme pondérée de probabilité, car on ne peut obtenir de termes d'interférence entres les différents état Ek d'un mélange statistique.

La notion d'opérateur densité peut être utilisé pour les cas pur. Il est complétement équivalent de caractériser le système par son vecteur d'état, ou par un opérateur densité agissant dans l'espace des états. Dans ce cas l'opérateur densité d'un etat E se définit |E><E|. Sa trace = 1 ainsi que la trace du produit par lui même = 1, il est hermitique, le produit par lui même redonne lui même.

Maintenant concernant le mélange statistique l'opérateur densité se définit différemment, il est définit comme l’espérance des opérateurs densités constituant le mélange statistique. La trace de son carré est inférieur ou égal à un ce qui est différents de l'opérateur de densité défini sur un état pur. De même son carré n'est pas égal à lui même contrairement à l'opérateur densité d'un état pur.

En fait l'opérateur densité d'un mélange statistique est un "opérateur moyen", et non un "vecteur moyen" qui permet une description simple du mélange statistiques d'états.

Cordialement,

[invite54165721]

tout ce que tu écris est correct.
le seul point sur le quel on peut différer reste ta question initiale sur l'estimation des amplitudes de probabilités.
pour moi en mécanique de la particule isolée tour au moins, les seules grandeurs qui ont un sens physiques sont les choses qu'on peut mesurer,dont les probabilités, les valeurs propres etc
les matrices densités en font partie, pas les [V> contrairement aux |V><V| car car meme s'il y a unr ambiguité sur le phase de V> il n'y en a pas sur |V><V|
si tu regardes tout ce qui a rapport aux C* algebres aux POVM tu te rendras compte que la généralisation des cas purs aux opérateurs
est fructueuse. les matrices de Heisenberg avaient été largement oubliées elles sont revenues en force.

[Paradigm]

le seul point sur le quel on peut différer reste ta question initiale sur l'estimation des amplitudes de probabilités.

Oui ma question est : comment détermine t-on l'amplitude de probabilité qui n'est semble t-il pas une grandeur physique, mais qui sert au calcul de probabilité des résultats de mesure physique ? Dans cet exemple 1.3.2 Analysis of Experiment 2 l'auteur part de équiprobabilité des résultats pour déterminer la valeur complexe de l'amplitude de proabilité. Procède t-on toujours de cette manière ?

Cordialement,

[invite54165721]

l'équiprobabilité au départ ne joue ici aucun role par rapport a ce qui t'intéresse. ce qui est important c'est quand il dit ceci

Cependant, puisque la phase globale d'un vecteur d'état quantique n'a pas de sens physique significatif (problème 1.2), on peut choisir un coefficient de chaque vecteur comme étant réel et positif sans perte de généralité.

si dans un espace de Hilbert tous les vecteurs sont remplacés par leut multiplié par un meme nombre complexe cos alpha + i sin alpha ca ne change rien a la physique. les produits scalaires sont inchangés.

[Paradigm]

l'équiprobabilité au départ ne joue ici aucun role par rapport a ce qui t'intéresse.

Ben si !! Je cherche à savoir comment est déterminée la valeur de l'amplitude de probabilité, qui sert au calcul de probabilité, pour une expérimentation donné (que cette valeur soit complexe ou réelle). Ma question ne cherche pas à savoir si une grandeur complexe peut avoir ou non un sens physique.

Mon questionnement est d'ordre opérationnel, pratique.

Cordialement,

[invite54165721]

il prend une des amplituldes complexes au hasard et décide qu'elle est réelle positive et se sert des relations entre a b c d pour trouver les valeurs absolues et les phases des autres.
je n'appelle pas ca de la mesure ou de l'estimation

[invite54165721]

dns 1.3.2 Analysis of Experiment 2

,

Since each coefficient is complex, it has an amplitude and phase. However, since the overall phase of a quantum state vector
is not physically meaningful (problem 1.2), we can CHOOSE one coefficient of each vector to be REAL and POSITIVE without any loss of generality

c'est le lien que tu m'as donné relis le. je ne pourrais que redire les memes choses.

[Paradigm]

il prend une des amplituldes complexes au hasard et décide qu'elle est réelle positive et se sert des relations entre a b c d pour trouver les valeurs absolues et les phases des autres.
je n'appelle pas ca de la mesure ou de l'estimation

Equation 1.22 il pose les probabilités égales à 1/2 (équiprobabilité) pour ensuite s'en servir dans les équations suivantes pour déduire a,b,c,d.

Dans le cas de système dont les états ne seraient pas supposés tous équiprobables faut-il faire au une série de même expérimentation en préparant le système dans le même état pour estimer les probabilités afin qu'ensuite on puisse déduire les amplitudes de probabilité ?

Je ne pourrais sans cesse répéter la même question.

Cordialement

[Paradigm]

Bonsoir à tous,

Pour ceux que cela pourrait intéresser une réponse m'a été apportée, qui est de faire usage de la tomographie quantique pour trouver les coefficients d'amplitudes de probabilité : https://physics.stackexchange.com/qu...of-probability

Cordialement,

[invite54165721]

si la réponse t'a été donnée pourrais tu nous la traduire en francais?

comment la tomographie quantique permet elle de déterminer la fonction d'onde complexe d'un état à un électron ?