Diagramme de Bode[Exercices]

[invite82983063]

Bonjour dans ce livre : Automatique de Yves Granjon

J'ai l’exercice suivant :

Tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) d’un système de fonction de transfert G( p)
défini par :

G( p) = 1000/(p + 1)* (p + 100)


Voici la correction proposé par monsieur Granjon :

Déterminons tout d’abord un équivalent du gain lorsque p tend vers 0 (c’est-à-dire lorsque v tend vers 0).

On a : G( p) =∼ 1000/100 = 10 ⇒ G(w) =∼ 10

soit : GdB = 20 log G(w) ∼ 20 dB

Nous pouvons donc tracer le premier segment asymptotique du diagramme de gain, valable entre 0 et la première
pulsation de coupure, c’est-à-dire w = 1 rad/s (figure 3.16).

Au delà de cette pulsation de coupure, nous changeons de direction asymptotique ; comme le terme ( p + 1) se trouve au
dénominateur, la pente se décrémente d’une unité. Nous obtenons donc un segment de droite de pente [−1], autrement
dit −20 dB/décade. Ce segment formant un graphe continu avec le segment précédent, il suffit de veiller à respecter la
valeur de la pente. Comme cet équivalent reste valable jusqu’à la coupure suivante (v = 100 rad/s), nous traçons un
segment qui décroît de 40 dB sur l’intervalle [1, 100] qui correspond à 2 décades.

À partir de w = 100 rad/s, nous aurons une direction asymptotique de pente [−2] puisque le terme ( p + 100) se trouve
au dénominateur. Veillons à respecter la valeur de la pente : entre 100 et 1000 rad/s, le gain chute de 40 dB (pente
−40 dB/décade).
Le diagramme asymptotique de phase se déduit immédiatement du diagramme de gain en associant à chaque segment
de pente [n] une direction asymptotique de phase égale à n*pi/2.


Mon interrogation porte donc sur pourquoi pour (p+100) au dénominateur on a une pente de -2 et pas - 1

(Selon moi si le terme est au dénominateur ça veut dire que la pente est de -1 comme pour (p+1) pourquoi elle devient tout à coup -2 ?

Merci bien
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[petitmousse49]

Bonjour
Le gain de ce filtre peut s'écrire :



Pour tracer le diagramme de Bode, tu peux appliquer la règle empirique très utilisée en chimie pour les calculs de pH : si A est un réel strictement positif et B un réel :



Tu peux donc considérer trois cas qui vont correspondre aux trois asymptotes :

Premier cas :

(conforme à ton corrigé)

Deuxième cas : soit : environ (en rad/s) :



On obtient bien une pente de -20dB par décade.

Troisième cas :





On obtient bien une pente de -40dB par décade. Tu aurais pu arriver à ce résultat en remarquant qu'à haute fréquence :



La méthode que je viens de t'indiquer à l'avantage de fournir les équations des trois droites asymptotiques.

[petitmousse49]

Pour illustrer mon message précédent, voici le diagramme du gain (courbe rouge). J'ai porté en abscisse x tel que ω=10^x , les pointillés noirs correspondent au diagramme asymptotique. Le diagramme du gain se confond avec ce diagramme asymptotique sur les intervalles de pulsations indiqués dans mon message précédent. Pour tracer le diagramme, il suffit de tracer le diagramme asymptotique puis de calculer le gain pour ω=1rad/s puis pour ω=100rad/s. Une fois placés ces deux points dans le repère, il suffit de terminer "à main levée". Je te fournis aussi le diagramme de la phase.
Gain.gif
Gain2.gif

[invite82983063]

merci c'est bien compris !

[A voir en vidéo sur Futura]