Mécanique quantique - Relation de fermeture

[fabio123]

Bonjour,

j'aimerais comprendre mathématiquement parlant (peut être je devrais transférer ce post dans le forum maths) la relation de fermeture en mécanique quantique, c'est à dire en prenant 2 vecteurs d'états, un bra et un ket , que l'on ait :



1) Cette relation de fermeture est-elle valable pour n'importe quel bra et son ket associé ?

2) Si on raisonne de manière matricielle, comment interpréter que soit en fait un opérateur identité ?

Voici l'expression matricielle de :



Désolé, je n'ai pas réussi avec Latex à produire le bon formatage (pour former une ligne horizontale ,avec juste après, une colonne) pour la multiplication entre le covecteur et le ket associé .

J'ai vu il me semble que l'opérateur peut être considérer comme un projecteur, ce que je comprends en l'appliquant à un ket quelconque.

Mais je ne vois pas, dans les produits matriciels, bra et ket, ci-dessus, que équivaut à une matrice identité (d'ailleurs peut-on considérer que c'est une matrice ?).

Peut être est-ce du au fait que si le bra est normalisé ?

Quelqu'un pourrait m'aider à saisir cette subtilité ?

toute aide est la bienvenue
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[albanxiii]

Bonjour,

Les bras et kets intervenant dans une relation de fermeture sont les vecteurs propres (et bras associés) d'une observable (ou d'un ensemble complet d'observables qui commutent).
Les observables étant hermitiennes et diagonalisables cela indique que ces kets forment une base de l'espace des états du système étudié. Une fois qu'on a compris que ce sont des vecteurs d'une base de l'espace des états, le reste devient "facile".

2) Si on raisonne de manière matricielle, comment interpréter que soit en fait un opérateur identité ?

L'identité s'écrirait plutôt , il faut faire la somme sur tous les vecteurs propres, c'est à dire sur tous les vecteurs de la base considérée. Cela change tout ce que vous avez écrit ensuite... vous pouvez refaire les calculs

Vous avez raison de parler de projection. Avec l'expression où intervient la somme sur tous les kets, vous voyez que vous projetez sur tous les vecteurs d'une base. On retrouve donc l'identité, chaque étant la composante du ket sur le vecteur .

Je passe sous silence le cas des valeurs propres multiples qui correspondent à des états dégénérés, mais c'est le même principe, puisqu'en se plaçant dans le sous espace correspondant à une valeur propre dégénérée, on peut trouver une base dans laquelle la restriction de l’observable (ou de l'ensemble....) est diagonale.

[fabio123]

Merci albanxiii pour ta réponse.

Néanmoins, j'ai encore quelques difficultés à tout comprendre.

1) tu dis que le ket utilisé dans la relation de fermeture doit être un vecteur propre associé à une observable (disons A).

Mais ne peut-on pas prendre comme étant un vecteur (un ket en fait) quelconque mais faisant partie d'une base et surtout une base orthonormée ? (de telle façon que l'on ait toujours la norme (ça correspond peut être ainsi avec ce que tu dis "vecteur propre d'une observable" mais j'ai du mal à voir la différence entre la norme du ket et la somme des probabilités qui doit être égale à 1 avec un vecteur d'état quelconque).

2) J'ai 2 façons de voir la relation :

• 2.1)

soit comme la somme d'un produit entre un bra et un ket (comme un crochet de dualité) qui donne un scalaire (ce scalaire doit être égal à 1 sachant que : Est-ce que le facteur correspond à la somme des probabilités qui est égale à 1 ?[/B])

• 2.2)

soit comme une matrice classique définie par le produit tensoriel entre les bras et les ket de cette manière :



c'est-à-dire un tenseur (1,1) (une fois covariant avec les vecteurs de la base duale et une fois contravariant avec les vecteurs

Laquelle des 2 façons de voir ci-dessus (2.1 et 2.2 ) est correcte ? j'aimerais éclaircir ces confusions que je fais.

en vous remerciant pour vos clarifications.