La relation entre position et quantité de mouvement dans mécanique quantique

[khoder_mazen]

BonSoir,
Nous savons que la relation entre l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement et l'amplitude de probabilité de position est une transformation de fourier,
S'il vous plait peut on donner une référence qui deduire ca en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement )
ou c'est impossible et cette relation est une postulat dans la mecanique quantique (en utilisant par example l'operateur de quantité de mouvement) .
Merci.
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[ordage]

BonSoir,
Nous savons que la relation entre l'amplitude de probabilité de quantité de mouvement et l'amplitude de probabilité de position est une transformation de fourier,
S'il vous plait peut on donner une référence qui deduire ca en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement )
ou c'est impossible et cette relation est une postulat dans la mecanique quantique (en utilisant par example l'operateur de quantité de mouvement) .
Merci.

Salut

Comme tu reposes la même question que précédemment, la réponse est la même.
L'équation de Schrödinger est une équation de propagation d'onde (comme l'équation de Klein Gordon) qui sont continues. Ce n'est pas dans cette équation que tu trouveras la réponse à la relation d'incertitude.
C'est quand on applique des opérateurs (associées aux grandeurs à mesurer), qui ne commutent pas, sur cette fonctions d'onde que cette relation se manifeste.
C'est un problème purement mathématique qui est, entre autres, exploité dans les géométries non commutatives.

Cordialement

[khoder_mazen]

Merci beaucoup ordage
mais pourquoi on peut deduire la valeure moyenne <P> en utilisant seulement l'equation de schrodinger en posant <P> = m d<x>/dt
sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ? bien sure on trouve la même réponse si on utilise l'operateur ...

[ThM55]

Dans le formulisme de Dirac, la réponse à la première question est très simple. Dans ce formalisme, l'état quantique d'une particule est un vecteur dans un espace vectoriel complexe. On note ce vecteur . Aux observables coordonnée et quantité de mouvement (à une dimension pour simplifier, mais la généralisation est immédiate) on fait correspondre des opérateurs agissant sur cet espace d'états, notés avec un accent circonflexe: et . Les éléments de l'espace dual sont notés .

On postule la relation de commutation de ces opérateurs: .

Les états propres de ces opérateurs sont notés par exemple , avec la valeur propre apparaissant dans la notation du vecteur, ce qui signifie que .

De la relation de commutation entre les opérateurs pour q et p, on déduit aisément que (A est une constante de normalisation, et pour simplifier on peut prendre ce qu'on veut, par exemple A=1).

La fonction d'onde de Schrödinger est définie chez Dirac par .

La fonction d'onde correspondante dans l'espace des impulsions n'est pour Dirac qu'un changement de base: .

Ces deux fonctions décrivent le même état .

Ils sont reliés par une transformée de Fourier, qui n'est autre qu'une transformation de changement de base (unitaire). On a en effet:



C'est donc immédiat, mais il faut être conscient du fait que le formalisme de Dirac cache les difficultés mathématiques. Il est toutefois possible, si on est un adepte de la rigueur mathématique, de les résoudre toutes, au prix d'une lourdeur peu esthétique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[khoder_mazen]

Merci ThM55
mais est ce qu'on peut faire ca en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

[ThM55]

Non, d'ailleurs cette question est incompréhensible: déjà, si on parle de la fonction d'onde dans l'espace des quantités de mouvement, c'est qu'on postule une observable "quantité de mouvement", et que son opérateur correspond à la quantité de mouvement classique selon la correspondance de Dirac (crochets de Poisson -> commutateurs). Sinon, quel sens cela aurait-il, je ne vois pas.

Pour faire une analogie avec les divisions de la mécanique classique: ce que j'ai décrit plus haut, c'est de la pure cinématique et l'équation de Schrödinger relève de la dynamique; la forme fonctionnelle du hamiltonien détermine l'évolution.

[ordage]

Merci ThM55
mais est ce qu'on peut faire ca en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

Bonjour

Historiquement, dans le cas particulier de l'équation de Schrödinger non relativiste et stationnaire, on voit des exposés dans des ouvrages anciens (j'ai trouvé cela dans un cours qui date des années 60) , où on discute de contraintes sur la fonction d'onde (continuité des dérivées premières, normalisation, définition de la probabilité de présence de la particule par la norme de la "fonction d'onde",..) où ces contraintes conduisent a des restrictions sur les valeurs des paramètres donnant des solutions. Ceci se traduit par une suite discontinue (qui peut être superposé à du continu) de "valeurs propres" induisant le concept de "quantification". L'intérêt est historique et peut être est-il épistémologique, encore que cela ne concerne qu'un cas très particulier, alors que ce que décrit ThM55 est général.
Cordialement

[mariposa]

Merci ThM55
mais est ce qu'on peut faire ca en utilisant seulement l'equation de schrodinger et sa signification statistique (sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ) ?

Bonjour,

Il faut préciser pourquoi intervient la quantité de mouvement en tant qu opérateur.

A- problème purement mathématique:

Soit l'opérateur i.d/dx

Tu peux vérifier que cet opérateur a pour fonctions propres exp(-.i.k.x) avec pour valeurs propres k

De même tu peux vérifier que le commutateur n'est pas nul

[i.d/dx, x]

cela signifie que l'on ne peut pas être fonction propre des 2 opérateurs, c'est l'un ou l'autre.

Tout çà c'est de la mathématique.

B- Et voilà la physique.



De Broglie a proposé que l'on pouvait associer une onde de longueur lambda a une particule de moment cinétique p

A partir de là tu peux en déduire p = h.k ( habarre et k vecteur d'onde.)


Conéséquence si p = h.k alors il s'agit de la valeur propre de l'opérateur i.h.d/dx et donc cette quantité est tout simplement l'opérateur P de valeurs propres p.

Donc la réponse a ta question est que l'opérateur P résulte de considérations mathématiques (extérieur a la MQ) et l’hypothèse physique audacieuse de De Broglie


Ce qui est postulé ce n'est pas l'opérateur P mais l'hypothèse de De Broglie, le reste c'est de la mathématique.

Conclusion:

[P, X] ne commute pas et donc......

[invite02232301]

De même tu peux vérifier que le commutateur n'est pas nul

[i.d/dx, x]

cela signifie que l'on ne peut pas être fonction propre des 2 opérateurs, c'est l'un ou l'autre.

Attention quand meme, c'est pas parce que deux operateurs ne commutent pas qu'ils ne peuvent pas avoir de vecteur propre commun. Ce qui ne peut existe c'est une base de vecteur propre communs pour les deux operateurs (ou une base hilbertienne si on est en dimension finie, et que les operateurs sont bornés).

[mariposa]

Attention quand meme, c'est pas parce que deux operateurs ne commutent pas qu'ils ne peuvent pas avoir de vecteur propre commun. Ce qui ne peut existe c'est une base de vecteur propre communs pour les deux operateurs (ou une base hilbertienne si on est en dimension finie, et que les operateurs sont bornés).

bonjour,

Exacte, merci d'avoir apporter cette précision indispensable.

[khoder_mazen]

Merci beaucoup de votre reponses,
je crois que mon question a de sens ,
dans se link :
http://physicspages.com/2011/01/17/p...-and-momentum/
l'auteur deduire la valeure moyenne <P> en utilisant seulement l'equation de schrodinger en posant <P> = m d<x>/dt sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ,
pourquoi on ne peut pas deduire la relation complete entre la position et quantité de mouvement (TF) sans l'operateur de quantité de mouvement ?
je vois <P> = m d<x>/dt est plus intuitif de la concept de l'operateur !

[mariposa]

Merci beaucoup de votre reponses,
je crois que mon question a de sens ,
dans se link :
http://physicspages.com/2011/01/17/p...-and-momentum/
l'auteur deduire la valeure moyenne <P> en utilisant seulement l'equation de schrodinger en posant <P> = m d<x>/dt sans postuler l'operateur de quantité de mouvement ,
pourquoi on ne peut pas deduire la relation complete entre la position et quantité de mouvement (TF) sans l'operateur de quantité de mouvement ?
je vois <P> = m d<x>/dt est plus intuitif de la concept de l'operateur !

Bonjour,

J'ai regardé la démonstration et je trouve ca plus que tordu.

En effet il part de la valeur moyenne <x> = <F|x|F>

Pour calculer la valeur moyenne de <p>, comment fait-il?

Dans une étape de son calcul il converti la quantité d<x>/dt en une dérivée par rapport a x cad d/dx en utilisant l'équation de Schrodinger, mais cette dérivée c'est justement l'opérateur quantité de mouvement que l'on utilise pour construire l'équation de Schrodinger. Autrement dit il fait pleinement appel à l'opérateur quantité de mouvement. Autrement dit sa démonstration est tautologique.

[khoder_mazen]

Bonsoir mariposa,
1- non il ne depart pas de la concept de l'operateur, seulement il applique la formule de la moyenne en statistique bien sure on a la meme formule mais c'est a dire il utilise seulement la signification statistique de la fonction d'onde.
2- non ce n'est pas un tautologique , on peut compris l'equation de shrodinger sans connaitre l'operateur c'est une equation d'onde c'est a dire bien sure l'operateur implique l'equation de shrodinger mais mathematiquement l'equation de shrodinger n'implique pas necessairement l'operateurs ... .
Merci.

[mariposa]

Bonsoir mariposa,
c'est a dire bien sure l'operateur implique l'equation de shrodinger mais mathematiquement l'equation de shrodinger n'implique pas necessairement l'operateurs ... .
Merci.

Bonjour,

et pourtant si, puisque c'est le principe de la construction de l'équation de Schrödinger. Si ce n'était pas le cas il y aurait une autre méthode pour construire l'équation de Schrödinger.

En fait ce que j 'écrit n'est pas tout a fait vrai, car on peut démontrer l'équation de Schrödinger a partir de l’intégrale de chemin de Feymann

[khoder_mazen]

Merci beaucoup.