Incohérence - théorème d'ampère pour le champ H

[invite0e1a5b89]

Bonsoir,

Une incohérence me rend quelque peu dubitatif.

Considérons un tore de fer sur lequel est enroulé un fil parcouru par un courant d'intensité i.



On a la formule issue des équations de Maxwell :


En supposant le milieu linéaire :


D'après le théorème d'Ampère :

Avec C un contour fermé sur le tore et S(C) une surface s'appuyant sur ce contour, correctement orienté (vers le dessin).
On suppose maintenant de plus que dans le milieu de fer, , et qu'il s'agit d'un conducteur ohmique de sorte que
Alors :
donc est on circulation conservative donc
car on est dans le fer.

donc

Ce qui est bien sûr absurde.

L'hypothèse de trop est-elle de supposer que dans le conducteur ? Ou au contraire il est possible que , mais cela viendrait d'une mauvaise utilisation du théorème de Stokes ?

Je précise que ce raisonnement n'est pas de moi, j'essaye de comprendre où cela coince, la personne en question étant persuadé que dans le fer.

Merci à vous,

zTony
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[Resartus]

Bonjour,
Pour que la circulation le long d'un contour soit nulle, il faut que le rotationnel soit nul partout à l'intérieur de ce contour.
Or, le rotationnel de H est bien nul dans le fer, mais il n'est pas nul partout à l'intérieur du tore (puisque il y a le courant qui circule dans les spires de cuivre).

[stefjm]

Croisement Resartus,
Bonjour,
Confusion entre le courant dans le fer (densité de courant j) et le courant dans le fil (n.i) ?
Cordialement.

[invite0e1a5b89]

Merci beaucoup Resartus ! Effectivement, j'ai été revoir la démonstration (de physique) de :
est à circulation conservative
On utilise le théorème de Stokes qui est l'intégrale sur toute la surface d'où la condition nécessaire que tu as mentionnée

Merci beaucoup !

Merci aussi pour votre réponse stefjm

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0e1a5b89]

Je rajoute tout de même un point :
Si
alors il existe un champ scalaire V tel que :

Est dans ce cas en intégrant sur le contour :


Et dans ce cas là, ce que Resartus a mentionné ne semple plus valable.

Pour autant, je sais bien que les démonstrations "à la physicienne" peuvent présenter de nombreuses faiblesses et je reste convaincu par l'argument de Resartus.
Cependant, si vous pointez du doigt ce qui ne va pas dans ma démonstration, j'en serai plus soulagé.

Pour ce que vous avez mentionnées stefjm, j'ai du mal à comprendre la confusion car on applique que dans le matériau fer.

Merci à vous,
zTony

[Resartus]

Bonjour,
Mathématiquement, le fait que le gradient d'un potentiel est de rotationnel nul est une conséquence du théorème de Schwartz sur les dérivées partielles. C'est immédiat à vérifier en écrivant les termes du rotationnel.

Mais la réciproque est nettement moins facile à démontrer et il faut des conditions particulières sur le domaine. C'est le lemme de Poincaré.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Poincaré
Le rotationnel est une forme de degré 1, et il faut que le domaine où le rotationnel est nul soit simplement connexe pour que le champ dérive d'un potentiel sur ce domaine. Ce n'est pas le cas ici : le contour sur le tore ne peut pas être topologiquement contracté à un point sans franchir des zones de rotationnel non nul.