Mécanique quantique, transformation de Fourier d'un peigne de Dirac

[stefjm]

Bonjour,

Quelle sont les utilisations et interprétations en mécanique quantique, du fait qu'un peigne de Dirac temporel (période T) se transforme en peigne de Dirac fréquentiel (période f=1/T)?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Peigne_de_Dirac

Merci.
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[Deedee81]

Salut,

Quelle sont les utilisations et interprétations en mécanique quantique, du fait qu'un peigne de Dirac temporel (période T) se transforme en peigne de Dirac fréquentiel (période f=1/T)?

Je sais qu'on parle d'en faire un étalon de fréquence, mais je ne comprend pas ce que tu veux dire par "utilisations et interprétations en mécanique quantique". Y a rien de spécial. Ou alors il faut peut-être préciser la question.

[stefjm]

La question m'est venue en lisant l'explication d'Amanuensis sur l'indétermination:

On peut présenter une autre application, en théorie de signal. Prenons un son sinusoïdal, une note tenue indéfiniment, comme la tonalité des anciens téléphones. Alors sa fréquence est parfaitement connue, disons 440 Hz. Par contre, la tonalité étant de durée infinie (par hypothèse), il est impossible de définir un instant (de début, de fin, de milieu, ...) de ce signal.

À l'opposé, prenons un «Dirac», un son infinitésimalement bref, comme un «tac» venant d'un choc. L'instant auquel ce son est perçu est parfaitement défini ; mais sa fréquence est totalement indéterminée, son spectre fréquentiel couvre toutes les fréquences, on ne peut pas en choisir une.

En musique c'est la différence entre des notes tenues (bourdon d'une cornemuse) ou des percussions les plus sèches possibles, comme taper les baguettes ensemble ou sur le bord métallique du tambour. Ce n'est pas avec le bourdon d'une cornemuse qu'on pourra indiquer le rythme, et ce n'est pas en tapant des baguettes ensemble qu'on pourra indiquer la tonalité.

Et si on prend un son (un signal) quelconque, un théorème d'indétermination (basé sur la transformation de Fourier) stipule qu'on ne peut pas à la fois indiquer précisément un instant (rythme) et une tonalité (note, fréquence). On peut favoriser l'un ou l'autre, mais en général c'est un compromis, les deux étant un peu imprécis.

C'est une propriété mathématique et physique, incontournable, liés aux ondes. Ce n'est pas lié à des incertitudes de mesures, mais à la physique, et c'est bien modélisé par des maths.

L'exemple que je donne est celui d'ondes sonores, mais cette idée de compromis entre deux aspects se généralise aux modèles ondulatoires en général. L'indétermination de Heisenberg est son application à la «mécanique ondulatoire» comme on appelait dans le temps les balbutiements de la physique quantique ; c'est lié à la nature «onde» des objets physiques modélisés par la physique quantique.

Un dirac tout seul est indéterminé en fréquence, mais un peigne de dirac est précis à la fois en temps et en fréquence.

[Deedee81]

Salut,

La question m'est venue en lisant l'explication d'Amanuensis sur l'indétermination:
Un dirac tout seul est indéterminé en fréquence, mais un peigne de dirac est précis à la fois en temps et en fréquence.

Ah d'accord, je comprend mieux. Hum..... il y a un détail qui m'échappe. Laisse moi y réfléchir (en plus j'ai pleins de réunion aujourd'hui, grumpppppffff)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

A la serpe comme ça, je dirais que c'est du même genre qu'une tonalité continue : on ne peut donner le début, la fin, ou le milieu. Mais c'est une superpositions de plein de tonalités continues (pas très différent d'un signal carré, ou triangle ou tout autre signal périodique non sinusoïdal d'ailleurs...).

m@ch3

[phys4]

La question m'est venue en lisant l'explication d'Amanuensis sur l'indétermination:
Un dirac tout seul est indéterminé en fréquence, mais un peigne de dirac est précis à la fois en temps et en fréquence.

Bonjour,
Un peigne de Dirac redonne une fonction peigne seulement si le signal dure indéfiniment, donc pas de début ni de fin,, si vous limitez son extension temporelle les dents du peigne s'élargissent et les fréquences deviennent moins précises.

[Deedee81]

Etant entendu que c'est la durée totale qui compte (dans le principe d'indétermination, la mesure de la période étant équivalent à la fréquence) :

Un peigne de Dirac redonne une fonction peigne seulement si le signal dure indéfiniment, donc pas de début ni de fin,, si vous limitez son extension temporelle les dents du peigne s'élargissent et les fréquences deviennent moins précises.

Merci, c'est tout à fait ça. M'a fallu bêtement du temps pour tilter.

[stefjm]

Bonjour,
Un peigne de Dirac redonne une fonction peigne seulement si le signal dure indéfiniment, donc pas de début ni de fin,, si vous limitez son extension temporelle les dents du peigne s'élargissent et les fréquences deviennent moins précises.

Bien sûr, mais en physique, on a rarement l'éternité devant et derrière soi.
On fait donc l'hypothèse que très grand est suffisant et on modélise alors au plus simple : peigne de dirac

Deedee m'a mis sur la piste des peignes de fréquence optique qui en est une application en tenant compte du caractère fini.

[Deedee81]

Notons que :

- cette question se pose aussi avec les simples ondes monochromatiques. Lorsqu'un atome excité émet une onde de fréquence nu, la période T d'une oscillation est T=1/nu et si l'un est précis l'autre aussi. Par contre la durée DT totale du train d'onde fixe la précision sur Dnu (le produit des deux étant égal à 1, et après un petit tout par la relation avec la MQ, on a la relation temps-énergie de Heisenberg). C'est la même chose pour le peigne sauf qu'au lieu d'oscillations bien arrondies on a des pics.
- on peut facilement comprendre cette relation entre précision de la période/fréquence/nombre de pics ou d'oscillation versus la durée totale en constatant que le nombre de période (ou de pics) est entier et dans un paquet on a donc une imprécision à une période près. Donc une imprécision relative 1/N (N = nombre d'oscillations ou nombre de pics dans le peigne).
Mais on peut faire un calcul précis en utilisant l'écart quadratique moyen (ce qu'on fait dans tout bon bouquin avec un paquet d'ondes dans un cadre MQ).

[coussin]

C'est le principe des peigne de fréquences : https://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_comb
Un laser dont le spectre est un peigne de fréquence est un étalon temporel.

[stefjm]

Notons que :

- cette question se pose aussi avec les simples ondes monochromatiques. Lorsqu'un atome excité émet une onde de fréquence nu, la période T d'une oscillation est T=1/nu et si l'un est précis l'autre aussi. Par contre la durée DT totale du train d'onde fixe la précision sur Dnu (le produit des deux étant égal à 1, et après un petit tout par la relation avec la MQ, on a la relation temps-énergie de Heisenberg). C'est la même chose pour le peigne sauf qu'au lieu d'oscillations bien arrondies on a des pics.
- on peut facilement comprendre cette relation entre précision de la période/fréquence/nombre de pics ou d'oscillation versus la durée totale en constatant que le nombre de période (ou de pics) est entier et dans un paquet on a donc une imprécision à une période près. Donc une imprécision relative 1/N (N = nombre d'oscillations ou nombre de pics dans le peigne).
Mais on peut faire un calcul précis en utilisant l'écart quadratique moyen (ce qu'on fait dans tout bon bouquin avec un paquet d'ondes dans un cadre MQ).

Merci.
C'est très sympa et intuitif cette imprécision relative en 1/N.
Un lien avec ?

[Deedee81]

Merci.
C'est très sympa et intuitif cette imprécision relative en 1/N.
Un lien avec ?

Oui, via E=h.nu
(d'où le fait que la relation de Heisenberg, est la relation temps-énergie. Et le 2pi dépend quelque peu de la manière de déterminer l'écart Delta truc dans la relation de Heisenberg)

[stefjm]

De tête sur un coin de table, je n'arrive pas encore à faire la relation entre le 1/N et h. Il va falloir que je m'y penche un peu mieux...

[Deedee81]

Salut,

C'est pas difficile :
- Soit une série N d'impulsions (ou d'ondulations) espacées de tau.
- La précision sur la durée total est tau. La durée totale est N.tau (conséquence pur comptage)
- Donc la précision sur la fréquence Delta nu (qui dépend du nombre d'impulsions et de la durée totale) est 1/N.tau ou pire
Démonstration plus rigoureuse : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...39;incertitude
- C'est à dire N.tau * Delta nu >= 1
- Maintenant, appelons T la durée totale et E = h.nu
- Donc T * Delta E >= h
(à une constante près qui dépend de la définition de Delta, habituellement 2pi avec l'écart quadratique moyen)