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Trajectoire avec une acceleration croissante




  1. #1
    TRos

    Trajectoire avec une acceleration croissante

    Bonjour,

    Je me demandais comment exprimer la trajectoire d'un corps avec une acceleration non constante.

    Tout d'abord je souhaiterai vérifier si cela s'applique à mon cas. Si une acceleration est exprimée en fonction d'une vitesse, et que celle ci risque de varier en fonction du temps (démarrage du moteur et arrêt par exemple, ou nouvelles contraintes s'appliquant au mouvement), l'acceleration doit etre prise en compte comme variable ou constante ?

    Enfin, comment trouve-t-on la trajectoire si a = cte * v(t).

    Merci beaucoup, au moins pour votre lecture et le temps consacré.

    -----


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  3. #2
    mach3

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    Citation Envoyé par TRos Voir le message
    Enfin, comment trouve-t-on la trajectoire si a = cte * v(t).
    Renseignez-vous sur la résolution des équations différentielles (dans lesquelles la ou les dérivées d'une fonction dépendent de cette fonction elle-même). Ici, au doigt mouillé, on a une exponentielle.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  4. #3
    Black Jack 2

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    Bonjour,

    On peut trouver l'expression de la vitesse en fonction du temps et aussi la distance parcourue en fonction du temps.

    a(t) = k.v(t)

    dv/dt = k.v (équations à variables saparables)

    dv/v = k.dt

    On intègre ...

    on introduit la vitesse iniale v(0) = Vo ...

    et on a alors v(t) = ...

    et puis pour la distance parcourue en fonction du temps, avec dx/dt = v(t) (trouvé avant) , on déduit x(t) = ...


  5. #4
    Dynamix

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    Salut

    Citation Envoyé par TRos Voir le message
    Enfin, comment trouve-t-on la trajectoire si a = cte * v(t).
    Si "cte" est un scalaire , "a" et "v(t)" sont colinéaires et la trajectoire est une droite .

  6. #5
    TRos

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    dv/dt = k.v (équations à variables saparables)

    dv/v = k.dt
    Bien vu, merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ecolami

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    Bonjour,
    Le problème posé correspond a celui d'une fusée dont la masse diminue avec une poussée constante (voire croissante si ce sont des blocs de poudre). Il doit bien y avoir de la documentation répondant a la question posée. (je ne suis pas physicien).

  9. #7
    Black Jack 2

    Re : Trajectoire avec une acceleration croissante

    Bonjour,

    Il faut de toutes manières que V(0) ne soit pas nulle ... sinon le mobile ne demarrera pas.

    On ne peut donc pas avoir a = k.v (k, constante non nulle)... si on prend V(0) = 0, par contre, si on considère qu'à l'instant 0 le mobile a déjà une vitesse non nulle, alors c'est faisable (comme dans l'aide de mon message précédent).


    Par contre, dans le cas de la fusée, l'accélération augmente bien au court du temps, puisque la masse diminue par consommation de "carburant".

    Néanmoins, pour une fusée à poussée constante, l'accélération ne sera pas proportionnelle à la vitesse.

    Sans tenir compte de la force pesanteur (pour simplifier), pour une fusée à poussée constante, on trouve V(t) = Vi + Vg.ln|Mi/M(t)|

    Avec :

    Vi la vitesse initiale (comprendre la vitesse à l'instant pris comme origine d'horloge. (référentiel terrestre si la fusée décolle de la Terre)
    V(t) la vitesse à un instant t. (référentiel terrestre si la fusée décolle de la Terre)
    Vg la vitesse des gaz de propulion (par rapport à la fusée)
    Mi la masse de la fusée à l'instant t = 0
    M(t) la masse de la fusée à l'instant t (donc M = Mi - masse des gaz émis dans l'intervalle de temps [0 ; t], soit M = Mi - k.t, avec k une constante)

    V = Vi + Vg.ln(Mi/M)
    V = Vi + Vg.ln(Mi/(Mi - kt)) (le - k.t correspond à la diminution de masse due à la consommation costante du "carburant" pour une poussée constante)

    a = dV/dt = Vg * (Mi - kt)/Mi * k.Mi/(Mi - kt)²

    a(t) = Vg * k/(Mi - kt) (avec bien entendu t < < Mi/k)

    Mais quoi qu'on fasse, on n'aura pas a = Const * vitesse... dans le cas d'une fusée à poussée constante.

    Et si on s'arrange (presque impossible) pour avoir une poussée variable de manière à avoir a = const * v, alors on est ramené au cas du message 3.

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