Unité de mesure dans une formulation de l'équation de Bernoulli

[Adraham]

Bonjour, j'ai une question concernant une formulation de l'équation de Bernoulli, à savoir :

v²/2 + gz + p/rho = constante.

Si je transcris cette équation en métrique, l'unité de mesure de chaque terme de l'équation serait... m²/s².
Or, le théorème de Bernoulli est sensé représenter l'équilibre de l'énergie à chaque endroit dans l'écoulement d'un fluide incompressible, en excluant les pertes de charge. En quoi des m²/s² représentent-ils une forme d'énergie ?

Un peu d'assistance serait fort apprécié.
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[obi76]

Bonjour,

l'équation de Bernouilli c'est rho v²/2 + rho g z + p = cste. C'est une égalité de pression, pas d'énergie.

[Adraham]

Hum... disons qu'on énonce le théorème de Bernoulli sous forme d'équation. Il y a trois choix facile, dépendamment quel terme on aimerait isoler :

v²/2 + gz + rho/p

1/2 rho v² + rho g z + p

v²/2g + z + p/(rho g)


Lorsque l'on vérifie les unités :

Le premier donne des m²/s², ce qui me semble ne vouloir rien dire. D'où mon interrogation.
Le second, oui, ça donne des kg/(s² m) ou simplement (N/m²) ou encore Pa, donc c'est une pression. C'est simple.
Le troisième, ça donne des mètres de liquide, soit une autre façon de représenter la pression. Ce qui est normal puisqu'on convertit une pression de kPa en mètre d'eau par exemple en divisant par le poids volumique de l'eau.

Donc je remarque que les deux dernières formulation ont un "sens": une pression en Pa et une pression en mètre d'eau.

Le premier, lui, donne des m²/s², ce qui ne semble pas une unité usuelle pour ce genre de représentation.

Maintenant, comme c'est une équation qu'on reformule en multipliant par ce qu'on veut, peut-être qu'il n'y a pas de sens ou d'utilité particulière à la première équation. Après tout, je pourrais tout aussi bien prendre la 2e équation, la multiplier par z², et obtenir :
1/2 rho v² z² + rho g z³ + pz² = constante, ce qui me donnerait des N*m, soit des joules. Est ce que la sommes des trois termes aurait un lien quelquonque avec de l'énergie ? Pas vraiment.

Peut-être aussi que je ne comprends pas la représentation de la première équation parce que nous ne sommes pas habitués à utiliser les m²/s² comme moyen de représenter la pression... Si on vivait sur plusieurs planète avec des pressions différentes, on pourrait vendre des pompes où la pression maximale serait non pas en m d'eau, mais en mH20/g. Alors la première équation pourrait être associée plus facilement à une réalité.

[Calvert]

Salut,

tu peux voir ça comme une énergie massique (par unité de masse du fluide). Par exemple, v²/2 est une énergie cinétique massique, etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Adraham]

Bonjour, merci à vous deux pour vos réponses rapide.

Cette réponse d'énergie massique m'aide beaucoup, on peut donc voir chaque paramètre comme une quantité d'énergie (cinématique, potentielle gravitationelle et "de pression") emmagaziné dans le fluide. En considérant l'absence de perte de charge par frottement, l'énergie change de forme mais le total d'énergie massique ne change pas.

Sur wikipedia, la 2 écriture de l'équation est utilisée, soit :
1/2 rho v² + rho g z + p

où chaque terme représenterait la densité volumique d'énergie potentielle. J'ai vérifié et effectivement, si je divise des N x m par des m³, j'obtiens des kg / (s² m), ce qui est l'unité de la 2e formulation.

DONC :

Si je ne suis pas fou...


v²/2 + gz + rho/p = constante

Cette formulation démontre que l'énergie massique potentielle, soit l'énergie par kg de fluide, demeure constante.


1/2 rho v² + rho g z + p

Cette formulation démontre que la densité volumique d'énergie potentielle, soit l'énergie par m³ de fluide, demeure constante.
Cette formulation démontre également que la somme des pressions (exprimé en Pa) demeure constante.


v²/2g + z + p/(rho g)

Cette formulation n'a pas vraiment de sens par rapport à la conservation de l'énergie.
Cette formulation démontre que la somme des pressions (exprimé en mètre d'eau) demeure constante.


Jusqu'ici, je suis dans le droit chemin ? Parce que j'en arrive à une prochaine question...

[obi76]

Une pression, c'est une énergie volumique (et aussi une force surfacique). Si la masse volumique est constante, alors en divisant tous les termes de l'équation de Bernouilli, vous faites le lien avec une énergie massique, voilà tout...

Par contre si la masse volumique n'est pas constante, vous ne pouvez plus faire cette manip.

v²/2 + gz + rho/p = constante

Cette formulation démontre que l'énergie massique potentielle, soit l'énergie par kg de fluide, demeure constante.

Uniquement si v²/2 et rho/p sont constants...

1/2 rho v² + rho g z + p

Cette formulation démontre que la densité volumique d'énergie potentielle, soit l'énergie par m³ de fluide, demeure constante.

Idem que ci-dessus. Mais je ne vois pas où vous voulez en venir...

[Adraham]

Je veux en venir à une compréhension intuitive (imagée ?)de ce que pourrait représenter les termes de l'équation en fonction de l'équation utilisée. Seulement ça. Et oui, si je parles de l'équation de Bernoulli, c'est conditionnel à ce que les limites du théorème soit respectées.

J'ai peut-être un peu de difficulté à considérer une pression comme autre chose qu'une force surfacique. Je comprend que les unités sont les mêmes, soit le (N x m)/m³ donc le N/m², mais ça ne m’apparaît pas être la même chose. Par exemple, la pression de l'eau sur une plaque est indépendante du volume d'eau, mais seulement de sa hauteur et de la surface de la plaque. À savoir que l'océan qui appuie sur une plaque de 1 m x 1 m ne produira pas une plus grande pression que si c'était un m³ d'eau avec la même élévation d'eau. Donc exprimer la pression sous forme (N/m²), je le comprends bien, mais sous une forme (N m)/m³, j'ai un peu de difficulté à me l'imaginer. C'est comme si je disais: un m³ d'eau, à 10 mètre de profondeur, peut produire un travail de x Nm.

Mais encore une fois, peut-être que je vais chercher trop loin...