Spineur de Weyl - Notation & définition

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre ce que veut dire mon livre par "by definition". Si quelqu'un peut m'aider... voici un extrait du texte:

" et . Ces représentations ont toutes les deux dimension 2 et spin 1/2. On dénote par , avec un spineur dans et par un spineur dans (parfois, l'index de est noté pour indiquer qu'il s'agit d'un index d'une représentation différente de ). est appelé un spineur de Weyl gauche, le spineur de Weyl droit.
On veut déterminer la forme explicite des générateurs , sur les spineurs de Weyl. Considérons pour commencer la représentation . Par définition, sur cette représentation, est représenté par une matrice 2×2 tandis que ."

Or, tout ce que je sais sur et c'est ceci:

"On veut évidemment conserver les spineurs dans la théorie relativiste. Cela signifie qu'on doit élargir l'ensemble des représentations du groupe de Lorentz. La façon la plus simple est de partir de l'algèbre du groupe de Lorentz donnée par [...] et en définissant [ contient les trois générateurs de rotation, et les trois genénérateurs de boost]

.

L'algèbre de Lie devient

."

Comment je peux conclure ce qu'il exprime en gras? Comment je sais qu'un J est une 2x2 et que l'autre est nul? Je veux dire, je suis capable de compter les dimensions, mais comment différentier les J?

Merci beaucoup,

Simon
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[invite8ef93ceb]

Pour être plus clair...

C'est écrit que les représentations de l'algèbre de Lorentz peuvent être étiquettés par deux demi-entiers (j-, j+). Le générateur de rotation, J, est relié à J^+ et J^- par J=J^+ + J^-.

Si je comprends bien, sans qu'il explique trop pourquoi et comment, J^+ majuscule est la représentation de j^+ minuscule?

Donc, on a deux représentations de (j+,j-), l'une associée à j+ l'autre à j- ?

En gros, c'est ma question...

[inviteca4b3353]

Les spineurs usuels ont quatres composantes. Mais ils constituent une representation reductible du groupe de Lorentz notee (1/2,1/2). On decompose cette rep en deux rep irreductibles (1/2,0),(0,1/2) et on nomme les champs associés les spineurs de Weyl.
Maintenant si on regarde l'action des generateurs J et K sur les spineurs a 4 composantes, on remarque qu'elle se decompose en deux blocs orthogonaux, ce qui traduit bien le fait que la rep est reductible.
On peut donc definir des generateurs qui n'agissent que sur la (1/2,0) ou que sur la (0,1/2). C'est tes J+/- !
Par consequent les J+ s'exprime comme une matrice pour (1/2,0) et mais J- est nul car il n'agit pas sur cette rep.

Maintenant pour savoir lequel est le bon, il faut comparer avec les projecteurs sur les chiralité droite et gauche du spineur de Dirac pour voir lequel de J+ ou J- correspond a la chiralité droite ou gauche.

KB

[inviteca4b3353]

Plus de details dans la ref. de base de TQC :

Peskin & Schroeder - Introduction to QFT.

je crois qu'il y au chapitre tres detaillé dans :

Bailin & Love - Supersymmetric gauge theory and Introduction to Strings theory

On trouve ces bouquins dans toutes les bonnes bibliotheque de physique theorique.

KB

PS : J'oubliais Weinberg qui doit tres bien detailler tout ca .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Merci KB!

Oui, j'ai vu un peu l'approche qui décompose les spineurs de Dirac (en travaillant directement dans les représentations, sans trop de notation abstraite...), mais le livre dont je parle commence avec les spineurs de Weyl et construit Dirac, ça m'apparaissait moins intuitif, mais ton message clarifie beaucoup!

Ciao,

Simon