Définition Vecteur, tenseur, spineur, twisteur...

[invite8ef897e4]

Bonjour a tous.

Je me suis dit dernierement qu'il pourrait etre utile de rassembler differentes definitions de concepts mathematiques intervenant en physique. Il serait selon moi profitable a tout le monde que l'on compare les differentes definitions equivalentes entre elles, pour le profane qui n'est pas familier avec ces objets, mais aussi pour celui qui a l'habitude d'utiliser (par exmple) les tenseurs dans un context specifique tel que (par exemple) les calculs de contraintes dans les materiaux sans avoir conscience d'autres applications telle que (par exemple) la relativite generale. Pour l'etudiant qui decouvre la notion de spineur, il est au debut tres difficile de construire une representation mentale de l'objet, beaucoup plus difficile que de manier les symboles. Il existe tout un zoo de differents spineurs, interconnectes, similaires, et cela prend un certain temps avant de retrouver ses petits dans toute cette foule.

Si donc vous utilisez ce genre de "collection de nombres" (les coordonnees d'un vecteur par exmple) qui possedent egalement leur propre interpretation geometrique (plus ou moins) simple (telle qu'une "fleche" dans le cas d'un vecteur) je vous propose de poster ici votre definition et/ou votre interpretation, ainsi eventuellement que le context dans lequel vous utilisez ces objets. Mettre en evidence des liens entre differentes disciplines permet souvent de soulever un lievre.

Qu'en pensez-vous ?
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[invite36602837]

Je suis pour, surtout que vu les termes, c'est moi le profane.

[Gwyddon]

Je suis pour !

Je propose (au vu de mes très modestes connaissances !) :

1 Le vecteur :

a - Définition mathématique générale :

Un vecteur est élément d'un K-espace vectoriel (E,+, .) , défini par :
* (E,+) est un groupe abélien (ie commutatif), c'est-à-dire + est une loi de composition interne associative ( (x+y)+z = x+ (y+z) ), admettant un élément neutre e (ie pour tout x dans E x+e=e+x = x) noté 0 (ou , souvent le cas en affine ) et telle que tout élément admette un inverse : pour tout x dans E, il existe un unique y noté -x tel que x+y = y+x =0.

* K est un corps commutatif dont . est la loi interne multiplicative

* . est une loi de composition externe sur E : à un élément de K, nommé scalaire, et un élément x de E elle associe l'élément de E.

* (E,+,.) vérifie les axiomes suivants pour x y dans E, dans K :

_

_

_

_ où 1 est le neutre de K pour la loi multiplicative . sur K.

Typiquement, , (le plan réel) , (l'espace réel) et plus généralement sont des espaces vectoriels sur le corps .

On peut envisager de même , , etc.. comme -espaces vectoriels ou comme -espaces vectoriels.

b - Définition pratique en physique :

Souvent les espaces sur lesquels on travaille sont de dimension finie : il existe une famille de vecteurs (x1, x2, .. , xn) qui engendre l'espace, et telle que si est une famille de scalaires tels que alors tous les sont nuls.

Une telle famille est appelée base de l'espace, et la dimension n de l'espace est le cardinal d'une telle base.

On peut alors représenter chaque vecteur de E par ses composantes dans cette base, et donc représenter les vecteurs par une colonne de nombre :



On a alors pour les changements de base, si P est la matrice de passage de (ei) à (ei'), X représentant dans (ei) et X' représentant dans (ei') alors .

Très souvent aussi en physique, la base en question est orthonormée.

2 Le tenseur :

a - Une définition mathématique :

Je travaille ici en espace euclidien E : c'est un espace vectoriel de dimension finie (disons n) muni d'un produit scalaire.

On définit un tenseur d'ordre p sur E comme étant une application p-linéaire de E dans K le corps de base de E (généralement K = ou en physique). Une telle application p-linéaire est aussi appelée forme p-linéaire.

b - En physique :

Lorsque p=0, le tenseur est un scalaire.

Lorsque p=1, le tenseur est un vecteur (ceci car à tout forme linéaire u n peut associer un unique vecteur x tel que pour tout y dans E, on ait u(x)= <x,y> où <,> est un produit scalaire sur E)

On peut donc identifier ce vecteur avec le tenseur (et faire comme précédemment, avec une base)

Lorsque p=2, on peut représenter le tenseur u par une matrice n*n telle que le coefficient (a_ij) soit tel que a_ij = u(xi,xj) où (xi) est une base de E. Mais attention ! Les changements de base ne sont pas les mêmes que dans le cas des applications linéaires, c'est la transposée qui est utilisé et non l'inverse pour la matrice définissant le changement de base : si P est la matrice de passage de (ei) à (ei'), A la matrice représentant u dans (ei) et A' représentant u dans (ei') alors .

En physique, il existe toute sortes de tenseurs. Quelques exemples :

_ le tenseur métrique de Minkowski de la relativité restreinte (tenseur d'ordre 2)


_ le tenseur électromagnétique (tenseur d'ordre 2)


_ le tenseur complètement antisymétrique d'ordre 4 tels que ses éléments non-nuls sont tels que les indices (a,b,c,d) (généralisation de la notation (a_ij) des matrices) correspondent à une permutation de (0,1,2,3) ; si cette permutation est paire, alors l'élément vaut 1, si elle est impaire l'élément vaut -1. Sert en électromagnétisme.

_ Les tenseurs de Riemann et de Ricci en relativité générale (qui permettent de décrire la courbure de l'espace-temps)

_ Les tenseurs de contraintes en mécanique des solides (là je n'y connais strictement rien)

3 Un peu de spineur :

Là c'est bien plus flou, mais il me semble que c'est un tenseur à composantes dans *(alors qu'au dessus, j'ai plus ou moins envisagé seulement le cas de tenseurs réels).

Ainsi un bispineur est un 2-spineur de rang 1 (c'est-à-dire un vecteur à deux composantes complexes).


Bon voilà ça s'arrête là, à compléter donc (surtout pour les spineurs, et il manque les twisteur, je ne sais pas ce que c'est)

Julien

[invite8ef897e4]

Bravo Julien, joli message
c'est un bel effort !

1 le vecteur
C'est un point de vue tres mathematique que tu offres ici, meme dans ta partie "physique". Donc nous ne commencons pas facilement pour le novice !

Pour proposer une version un peu plus simple, un vecteur est essentiellement une "fleche" entre deux points. Le vecteur est donc geometriquement caracterise par une direction (parallele a une certaine droite), une longueur (ou plus generalement une norme, ou un module) et un sens (typiquement, vers le haut ou vers le bas sur une droite).

Comme application physique immediate, je pense au vecteur vitesse. Intuitivement on apprehende assez bien ce concept.

2 Le tenseur
pour la definition mathematique du tenseur, on peut prendre de facon plus generale : un tenseur d'ordre (p,q) (ou de genre (p,q), ou encore p fois contravariant et q fois covariant, cf plus tard ) est une application lineaire de ou est l'espace dual. Tout cela est deja tres technique... L'espace dual est l'ensemble des formes lineaires sur : un element de l'espace dual est une fonction qui prend comme argument un des elements de (un vecteur) et qui lui associe un nombre (i.e. un element du corps de base). Cette association est donc lineaire. Le premier resultat important pour comprendre cet espace dual, c'est que, en dimension finie il est possible d'associer un et un seul element de a tout element de : toute forme lineaire peut s'exprimer comme un produit scalaire avec un vecteur particulier, qui represente "canoniquement" la forme lineaire. Dit autrement, tel que
Cette suite de symbole se lit : "quel que soit v element du dual de E, il existe un unique vecteur V dans E tel que pour tout autre vecteur U, l'image de U par v soit egal au produit scalaire de U et V"

J'arrete ici ma digression technique...

Comment se faire une idee de ce que represente un tenseur ? Bon, prenons les deformations dans le solides : un point dans un solide se trouve deplace a cause de la deformation de ce solide. En premiere approximation, on peut supposer que cette deformation est lineaire. Cette affirmation signifie que, les coordonnees du point deplace sont donnees par des combinaisons linaires des coordonnees du point avant deformation. Par exemple, pour connaitre la nouvelle coordonnee "x", j'ai besoin de trois coefficient qui multiplient chacunes des coordonees "x", "y" et "z" du point de depart. Le nouveau "x" est la somme des trois produits ainsi formes. J'ai besoin de meme de trois coefficients pour calculer la nouvelle coordonee "y", et encore trois autres pour "z". En tout, neuf coefficients. Le tenseur des deformations est donc, en chaque point du solide, un ensemble de 9 coefficients. On peut arranger les calculs sous forme de tableau, et alors on appelle simplement ce tenseur une "matrice". Le matrices sont des tenseurs de rang (1,1).

Quelqu'un a-t-il d'autres propositions pour definir un vecteur ?
Je tiens tout particulierement a discuter des differentes definitions possibles et equivalentes de la notion de tenseur. J'espere aussi d'autres exemples, peut-etre plus elabores, illustrant cette notion de tenseur. Bien evidemment, les spineurs et twisteurs restent encore ouverts

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

pour raison de post croise, j'ai manque le debut des spineurs par Julien. Donc :

3 Le spineur
Tout d'abord, les spineurs sont des objets tres fondamentaux en mathematiques. Il apparaissent naturellement lorsque l'on essaie de classifier les differentes representations de groupes classiques. C'est Cartan qui les a definis dans ce context, au debut du siecle. C'est seulement bien plus tard que les physiciens se sont rendus compte qu'eux aussi avaient besoin des spineurs. Je crois que c'est Dirac qui a retrouve cette notion, sans connaitre les travaux de Cartan, et a introduit les spineurs pour decrire les particules fondamentales.

Et je corrige ma conclusion precedente : la notion de spineur reste encore largmenent inexploree a ce stade de la discussion. Cette notion etant plus difficile, peut-etre est-il preferable de l'introduire plus doucement.

[Gwyddon]

Merci humanino, c'est sympa

Au sujet des vecteurs, je reconnais que pour un novice, ma définition du vecteur est bien trop mathématique. je préfère, et de loin, la tienne.

A propos des spineurs, ça m'intéresse pas mal d'avoir la définition à la Cartan. La représentation linéaire des groupes étant un domaine fascinant des maths ...

Physiquement, c'est effectivement Dirac qui a introduit les spineurs en 1930 pour résoudre l'équation suivante en mécanique quantique, où apparaît pour la première fois le concept d'antiparticule : . Les matrices de Pauli décrivant le spin apparaissent naturellement dans la description de Dirac.

[mariposa]

J'ai une autre façon de voir ce que sont les objets mathématiques cités tels qu'ils me semblent utilisés dans tous les domaines de la physique.

1- Je part de la définition d'un vecteur tel que définit par les mathématiciens.

2- je défini un tenseur comme un vecteur muni de propriétés spéciales vis a vis des changements de base. On note qu'avec cette définition un tenseur est une notion moins générale qu'un vecteur.

3- quand on classe les tenseurs par leur rang, il s'agit de les classer selon leur comportement par changement de base. On notera que selon ma définition (dans un espace de dimension 3) un tenseur de rang 2 est un vecteur a 9 composantes, un tenseur de rang 1 est un vecteur et un tenseur de rang 0 est un vecteur.

4- En physique les groupes joue un role très important. En MQ un Hamiltonien agit dans un espace de Hilbert. L'hamiltonien commute avec tous éléments d'un groupe (ce qui défini le groupe de l'hamiltonien). On est donc amené a représenter les élements d'un groupe par des matrices dans un espace de Hilbert. Tout ca amène a classer les vecteurs et les opérateurs selon leur comportement vis a vis des opérations de groupes. On introduit ainsi la notion de représentation irréductible, d'opérateurs tensoriels irréductibles etc...

Un exemple: Un tenseur de rang 2 (comme une contrainte mécanique) définit sur l'espace Euclidien.Quand on veut construire un hamiltonien (un scalaire) On effectue des produits scalaires d'opérateurs qui appartiennent aux représentations irréductibles du groupe (par exemple O(3). Dans ce cas la contrainte mécanique vecteur a 9 composantes se décompose selon les représentations irréductibles du groupe.
Cet exemple simple montre qu'un même objet mathématique, la contrainte peut être classé de 2 manières différentes, selon qu'il agit dans l'espace Euclidien ou dans l'espace de Hilbert.

4- Le concept de spineur (bi-spineur) est un vecteur a 4 composantes définit par le groupe de lorentz.

5- J'imagine que le twistor est vecteur de l'espace projectif complexe construit sur Minskowski.

Je serais tenté de dire que que le twistor est a l'espace projectif ce qu'est le bispineur a l'espace Minskowki. Dans les 2 cas il s'agit de bien exploiter l'invariance du cone de lumière dans les transformations de Lorentz. Tout est affaire de représentation

[Gwyddon]

Salut Mariposa,

D'un point de vue mathématique, ta définition du tenseur me gène beaucoup ; un vecteur n'a pas de "propriété spéciale" vis-à-vis des changements de base, et peut avoir neuf composantes sans être un tenseur.

Je me doute que tu sais de quoi tu parles, mais je pense que pour quelqu'un qui ne connaît pas trop les définitions exactes derrières les termes vecteurs/tenseurs, cela peut embrouiller les choses.

Julien

[mariposa]

Salut Mariposa,

D'un point de vue mathématique, ta définition du tenseur me gène beaucoup ; un vecteur n'a pas de "propriété spéciale" vis-à-vis des changements de base, et peut avoir neuf composantes sans être un tenseur.
Julien

Tout a fait d'accord (problême de dialogue). j'ai bien dit que si un vecteur possède des propriétés spéciales (dans un changement de base) alors on peut introduire la notion de tenseur. Et donc comme tu le dis un vecteur peut avoir 9 composantes sans être pour autant un tenseur. Pour voir si c'est un tenseur il faut effectuer des changements de base et comparer son comportement avec celui de la base.

[Gwyddon]

Ok.

Alors dans ce cas je propose que l'on écrive les lois de changements de base spécifiques à chacun des objets donnés.

Julien

[mariposa]

Ok.

Alors dans ce cas je propose que l'on écrive les lois de changements de base spécifiques à chacun des objets donnés.

Julien

C'est une très bonne idée. Pour ma part je ne sais pas me servir de latex, donc je ne pourrais que réagir a ce que tu écrits (et d'autres). Pour ce qui est des spineurs ca va être difficile. Quant aux twistors je suis 100% demandeur et j'espère qu'il y aura des interventions de gens qualifiés.

apparté: je part dans une petite heure et je reviens dimanche soir

[invite36602837]

Je vous encourage a continuer. C'est deja très utile, je commence ENFIN a percevoir ce qu'est un tenseur (parce qu'avant on m'aurait dit un petit gris c'etait la meme chose )

[mtheory]

Bon ,je m'essaye aux tenseurs.
Physiquement on dit qu'une grandeur est vectorielle quand on peut lui associer une direction et un sens selon une droite/fléche et une grandeur .Un champ de vecteur est alors l'association d'un vecteur en chaque point.
A ce stade remarquons qu'un champ de vecteurs peut s'interpréter comme un champ de vitesse avec des lignes de courants associées.
Maintenant un vecteur est associé à une equation de droite or si l'on considère l'équation d'une sphère ou d'une surface quadrique (ellipsoïde,paraboloïde etc...) on aura:
a₁₁X²+a₁₂XY+a₂₂Y² +...+a₃₃Z²=K

où a_ij est un tableau ,une matrice symétrique, dit tenseur de rang 2.Donc un vecteur est associé à une équation de droite et un tenseur symétrique de rang 2 est associé à une équation de surface.
De plus un produit vectoriel de deux vecteurs représente un élément de surface que l'on peut résummer avec un tenseur antisymétrique de rang deux.
Vous devinez la suite ,un champ de deux surfaces (fermées ou pas) est donc lié à un champ de tenseur de rang deux et plus généralement un p tenseurs est lié à des objets géométriques généralisant les courbes/surfaces à p dimensions.
Un tenseur est donc une sorte de multivecteur de rang p pouvant se décomposer comme l'association/produit de p vecteurs.
Ainsi le tenseur du champ electromagnétique est la donné de deux vecteurs étroitements associés E et B et F est une combinaison linéaire de produits de E et B.

Une dernière remarque si je multiplie deux équations de droite je vais obtenir une forme quadratique ,si je contracte un tenseur de rang 2 c'est comme faire un produit scalaire etc...le calcul tensoriel émerge donc de la théorie des polynomes à n variables en m dimensions et de la géométrie algébrique associé.On cherchait à extraire des systèmes de polynomes associés aux points/droites/surfaces d'une configuration géométrique donnée des quantités invariantes par changements de systèmes de coordonnées exprimant des propriétés géométriques.
Les théorème de Thalès et pythagore sont des invariants associés à ces polynomes et ainsi chercher l'ensemble des invariants à un système de polynomes sous un groupe de transformation donné est un moyen superpuissant de faire de la géométrie.
Comme les équations quantiques sont aussi sous forme de polynomes (matrices,produit tensoriel) et d'algèbres multilinéaires on conçoit que les groupes y aient là aussi un rôle central.

Oh,j'oubliais le mot tenseur vient justement de l'étude des tensions dans un milieu continu et surtout de l'optique anisotrope des milieux cristallins au 19 ème siecle.En effet une onde electromagnétique avec un champ électrique donné en traversant un réseau cristallin posédant un groupe de symétrie donné est transformé en E'_i=P_ijE_j, E'_x=P_xxE_x+... +P_xzE_z,là aussi on trouve l'idée d'un bivecteur comme dans la description de la biréfringence.

[invite8ef897e4]

Donc un vecteur est associé à une équation de droite et un tenseur symétrique de rang 2 est associé à une équation de surface.

C'est le choix du grand Albert lui-meme dans ses "4 conferences" (a Princeton en 1921)

Pour bien enfocer le clou : il y a principalement deux sortes de definitions qui ont ete donnees : certaines definitions sont globales et geometriques, d'autres sont locales et font references a "la collection de scalaires" que represente le tenseur. Dans ce dernier cas, on donne directement les lois de transformations des tenseurs (comprenant un nombre arbitraire d'indices) comme point de depart. Il faut bien sur se souvenir qu'il est possible de demontrer ces lois de transformations a partir des definition equivalentes, globales et geometriques. Mais en pratique, ce sont generalement uniquement ces lois dont on a besoin dans les calculs. Soulignons aussi que les tenseurs ont deux types d'indices : contravariants et covariants, generalement respectivement places en exposants et en indices :
est un tenseur deux fois contravariant et une fois covariant. Cela signifie que sa loi de transformation est donne par :

Cette formule n'a rien de mysterieux : elle semble trop petite pour etre lue, mais en fait il est seulement necessaire de reperer les positions respectives des differents indices. En particulier, lorsqu'un indice identique est repete en bas et en haut, cela signifie qu'il faut prendre la somme sur cet indice "muet" qui n'apparait que d'un seul cote de l'equation. Penrose a developpe le context "d'indice symbolique". Lorsqu'on ecrit on fait usuellement reference a la collection de composantes scalaire. Mais on peut aussi noter symboliquement la grandeur geometrique unique et globale, en considerant que les indices ne sont que des symboles pour nous rappeler de quel type de tenseur on parle. Sur le fait que les equations tensorielles ne sont pas difficiles a lire, mais necessitent seulement de bien reperer les positions relatives des differents indices : Penrose a devoleppe une technique assez puissante pour representer ces relations simplement.

Pour ceux qui veulent mediter, voici une illustration, avec deux directions "1" et "2" et les composantes respectives :

credit : excellent lecture, in english

Encore une remarque : dans un systeme de coordonnees orthogonales, la distinction entre "covariant" et "contravariant" est purement technique : les valeurs numeriques sont identiques. On le voit trivialement sur le dessin precedent.

[mtheory]

C'est le choix du grand Albert lui-meme dans ses "4 conferences" (a Princeton en 1921)

Eh oui, on le trouve aussi chez Weyl dans 'espace-temps-matière'.A l'époque ils prenaient TOUJOURS le temps d'expliquer clairement l'origine des concepts et ne parachutaient pas du formalisme.

[mtheory]

Ainsi le tenseur du champ electromagnétique est la donné de deux vecteurs étroitements associés E et B et F est une combinaison linéaire de produits de E et B.

Décidement le jour où j'ai écrit tout ça mes neuronnes n'étaient pas dans leur état normales.Je pensais à la décomposition de F_ab à partir de la quadrivitesse d'un observateur :

F_ab=2_[aE_b]-_abcd^cB^d


ainsi qu'au tenseur des contraintes de Maxwell en 3D,contenu dans le tenseur d'impulsion énergie 4D T_ab.

_ab =E_aE_b+ B_aB_b -_ab(E² +B²)

Dans : a,b vaut 1,2,3 et dans T: 0,1,2,3

E'_x=P_xxE_x+...P_xzE_z,là aussi on trouve l'idée d'un bivecteur comme dans la description de la biréfringence.

[Rincevent]

_ab =E_aE_b+ B_aB_b -_ab(E² +B²)

Dans : a,b vaut 1,2,3 et dans T: 0,1,2,3

ma participation reste actuellement passive, mais ça pourrait pas être le moment où une âme généreuse en profite pour glisser la notion de produit tensoriel et divers trucs autour?

[invite8ef897e4]

Je me lance dans la definition du produit tensoriel (juste la definition !)

Une remarque preliminaire : connaissez-vous le produit exterieur ? En toute generalite, il est defini sur les formes differentielles, qui sont (grossierement) les tenseurs antisymetriques. Evidemment, puisqu'on discute des tenseurs, il semble premature d'introduire les formes differentielles ! Pourtant, les formes differentielles ont leur existence independante. Je crois qu'elles ont ete decouvertes, ou plutot formalisees strictement, par Cartan. Ca me frappe qu'il ait aussi decouvert les spineurs ! Je crois qu'Einstein a un jour dit que Cartan etait le maitre dont il aurait aime etre l'eleve. Un fameux compliment ! Le produit exterieur le plus simple, c'est le produit vectoriel ! Or vous savez sans doute, le produit vectoriel de deux vecteurs represente la surface (orientee) du triangle sous tendue par ces deux vecteurs. Les formes differentielles sont si importantes, et existent independamment des tenseurs, parce qu'elles permettent de generaliser cette notion de forme volume. Le determinant typiquement est une forme volume.

Fin de la remarque preliminaire...

A priori, la notion de produit tensoriel est tres simple : prenons deux tenseurs et . Alors le produit tensoriel est un nouveau tenseur dont les composantes sont

Dans le membre de gauche, il faut comprendre qu'il s'agit d'un element particulier, d'une composante de l'objet produit tensoriel. Cette composante est reperee par un certain nombre d'indices. Dans le membre de droite, il faut lire le produit (ordinaire) de deux nombres, qui sont deux elements des tenseurs de depart.

Il est facile de voir par cette definition que chaque indice du tenseur produit garde le meme genre (contravariant ou covariant) et que donc le tenseur produit a pour ordre la somme des ordres des tenseurs dont on forme le produit.

De facon un peu plus rigoureuse :
prenons deux tenseurs, d'ordres respectifs et sur l'espace vectoriel E. Rappelons que cela signifie, par exemple, que le premier tenseur prend en argument vecteurs dans E et formes lineaires sur E, et leur associe un scalaire.
(un scalaire est un element du corps de base, usuellement soit un nombre reel soit un nombre complexe, selon que le corps de base est R ou C, mais il faut noter que l'on n'est pas restreint seulement au corps des scalaires complexes ou reels ! C'est sans doute beaucoup plus complique, mais j'imagine qu'il n'y a rien qui nous empeche fondamentalement de choisir comme corps de base les quaternions par exemple ! Je n'ai personellement jamais explore ces possibilites).
Nous concluons donc d'apres ce qui precede que le tenseur produit prend en argument vecteurs et formes (des elements de l'espace dual) , et leur associe (de facon lineaire) un scalaire. La definition geometrique du produit tensoriel est :



Encore une fois, examinons attentivement cette formule : a gauche, il y a un produit tensoriel : . On evalue cet objet et lui fournissant plein d'arguments : . Ces arguments sont a la fois des formes (avec les indices en bas) et des vecteurs (avec les indices en haut). Dans le membre de droite, nous avons le produit de deux nombres, qui sont obtenus comme les resultats respectifs de l'evaluation de chaque tenseur de depart lorsqu'on lui donne un sous-ensemble des arguments. Les deux sous-ensemble sont complementaires ! Ils n'ont aucun elements en commun, mais bien entendu aucun element n'est oublie a la fin.

Dans ce context, nous considerons le tenseur comme un objet fonctionnel (une fonction) qui prend un certain nombre d'arguments (les formes et les vecteurs) et fournit comme reponse (ou encore : associe a tous ces arguments) un scalaire (un nombre, en element du corps de base). Mais il faut garder a l'esprit que, cette association etant lineaire, il est trivial de traduire cette expression formelle :
Tenseur (objet) = scalaire
en une veritable expression developpee selon toutes les composantes (avec plein d'indices !).

A nouveau, nous sommes en pleine "dualite" de formalismes : le physicien travaille generalement avec les composantes, le mathematicien travaille generalement avec les objets geometriques.

[Meumeul]

SAlut,

tout d'abord MERCI A TOUS, ce fil est d'une grande aide

Dans ton post #14 Humanino, les composantes ,....sur la figure sont bien les longueurs des segments?

Merci

[invite36602837]

Je veux pas passer pour le mec chiant jamais satisfait, mais meme en faisant des efforts de comprehension, c'est toujours opaque pour moi le concept de tenseur.

A ce que j'ai compris, c'est une forme de vecteur un peu plus complexe. Deja que moi et les vecteurs on est pas très copain, alors je sens que le tenseur va me prendre la tete (mais j'aime ca, alors je persiste, et pis avec les efforts que vous fournissez, je peux bien moi aussi faire un effort pour comprendre ).

Ce que j'ai vu des vecteurs se resume la statique et ca date quant meme d'il y a 4ans. Si je me rappel bien (ce qui n'est pas sur), le vecteur représente une force (direction, intensité).

Si j'essai de comprendre ce que vous avez deja dit, je comprend qu'un tenseur représente un/des objet sur lequel on applique une/des force (le tenseur etant tout cela). Suis-je juste ou a coté de la plaque ???

Ce que j'ai de la peine a comprendre, c'est tout les termes associé tel que "covariant", "contravariant", "rang" ou "ordre" car je ne les ai jamais vu aux cours. J'imagine que "rang" et "ordre" sont l'equivalant pour les tenseurs des "rang" pour les equations classique (x3=8, equation de rang 3 où X=2). Suis-je a nouveau juste ???

Par contre, contravariant et covariant, je vois pas du tout a quoi ca peut bien correspondre.

Autre question : Est-ce que je peux comparer (avec des pincettes) un tenseur a une fonction en informatique ???

Dans le sens ou une fonction (informatique) a des arguments en entrée et donne un résultat en accord avec les arguments et selon une logique propre a la fonction (2 fonction-tenseur différent donneront des resultat différents avec les meme arguments). C'est mon interpretation de la phrase d'humanino :
Dans ce context, nous considerons le tenseur comme un objet fonctionnel (une fonction) qui prend un certain nombre d'arguments (les formes et les vecteurs) et fournit comme reponse (ou encore : associe a tous ces arguments) un scalaire (un nombre, en element du corps de base).

C'est pt etre incomparable, mais j'ai besoin de savoir (pour que mon petit cerveau sache ou aller chercher des références pour comprendre ce que je ne comprend pas encore).

[roll]

Voila un truc pas mal sur les tenseurs (pas trop dur à comprendre mais il faut déjà connaitre les vecteurs et les matrices):
http://esm2.imt-mrs.fr/gar/tenseurs.pdf

[mariposa]

Je veux pas passer pour le mec chiant jamais satisfait, mais meme en faisant des efforts de comprehension, c'est toujours opaque pour moi le concept de tenseur

.

Tu as raison le concept de tenseur prend du temps, mais c'est quand même simple.

A ce que j'ai compris, c'est une forme de vecteur un peu plus complexe. Deja que moi et les vecteurs on est pas très copain, alors je sens que le tenseur va me prendre la tete (mais j'aime ca, alors je persiste, et pis avec les efforts que vous fournissez, je peux bien moi aussi faire un effort pour comprendre ).

Ce que j'ai vu des vecteurs se resume la statique et ca date quant meme d'il y a 4ans. Si je me rappel bien (ce qui n'est pas sur), le vecteur représente une force (direction, intensité).

Si j'essai de comprendre ce que vous avez deja dit, je comprend qu'un tenseur représente un/des objet sur lequel on applique une/des force (le tenseur etant tout cela). Suis-je juste ou a coté de la plaque ???

Prenons un exemple:

le champ électrique E.

Dans une base déterminée (x, y, z) il est représenté par 3 composantes Ex, Ey,Ez

Comme tu le sais E est un vecteur. Est ce que E est un tenseur?

Pour le savoir il faut étudier le comportement des composantes de E quand on fait un changement de base. Pour cela il faut écrire la matrice de changement de base qui va de (x,y,z) à (x',y',z'). Après quoi on regarde que sont devenues les composantes de E dans la nouvelle base. On trouve que les composantes se tranforment comme les vecteurs de base. Par exemple si le changement de base part de (x,y,z) vers (-x,y,z) alors les composantes dans la nouvelle base sont: (-Ex,Ey,Ez).

Dans ce cas le vecteur E est un tenseur (on verra plus tard que c'est un tenseur de rang 1) parceque les composantes De E se transforme comme les vecteurs de base.

Un magnifique contre-exemple: le vecteur champ magnétique.

En allant un peu vite tu pourrais penser que B comme E est un tenseur de rang 1.

En fait B est définit comme un produit vectoriel noté ici ^.
On a B= I^dl où I est un vecteur courant électrique et dl un petit vecteur de longueur.

I est un tenseur de rang 1 et dl est un tenseur de rang 1. Est que le produit vectoriel possède une propriété particulière dans les changements de base?

Si on change x en -x alors I devient -I et dl devient -dl et don B devient B (cad inchangé).

Conclusion: le champ magnétique B n'est pas un tenseur de rang 1 (ni même de rang 2).

Remarque:

Un tenseur est un vecteur muni de propriétés spéciales (son comportement dans un changement de base). Un tenseur n'est donc pas un super-vecteur comme souvent écrit (suggéré par le paquet d'indice qui donne l'illusion de la généralité alors qu'il s'agit d'une restriction). Autrement dit tous les tenseurs sont des vecteurs, la réciproque est fausse (voir champ magnétique).

Pour aborder les tenseurs on a utilisé 2 "objets" mathématiques.

1- Les tenseurs qui sont des vecteurs qui sont représentés par des lignes ou des colonnes.

2- les changements de base qui sont représentés par des matrices.
En aucun cas on peut dire qu'un tenseur est représenté par une matrice (comme souvent dit à propos des tenseurs de rang 2)

3- Quand on a affaire a une famille d'opérateurs on peut former avec eux un espace vectoriel et les bases qui en découlent.

Exemple: l'opérateur gradient est un ensemble de 3 opérateurs qui sous-tendent un espace à 3 dimensions, c'est donc un vecteur. soient (d/dx,d/dy,d/dz) le vecteur gradient défini par rapport à (x,y,z) il est facile de vérifier que les 3 composantes du gradient se transforment comme les coordonnées. donc le gradient est un tenseur de rang 1. Cet exemple montre que par vecteurs il ne pas faut penser à une flèche, mais respecter les axiomes mathématiques relatifs aux espaces vectoriels.
En particulier en physique un opérateur est à la fois quelquechose qui agit sur des vecteurs mais est lui-même une composante d'un vecteur (pouvant être éventuellement une composante d'un tenseur).

Par contre, contravariant et covariant, je vois pas du tout a quoi ca peut bien correspondre

.

Pour l'instant laisse tomber, c'est pas important pour comprendre les tenseurs dans un premier temps. pour préparer le terrain commence par étudier ce qu'est l'espace dual d'un espace vectoriel.

[Gwyddon]

2- les changements de base qui sont représentés par des matrices.
En aucun cas on peut dire qu'un tenseur est représenté par une matrice (comme souvent dit à propos des tenseurs de rang 2)

Salut mariposa,

Je tempère un peu cette phrase : un tenseur de rang deux est représenté par une matrice dès lors que l'on se fixe une loi de changement de base. En gros, si on change de base, et si on note *la matrice de passage, on sait que si X est un vecteur dans la première base, ses composantes notées X' dans la seconde vérifient alors que pour le tenseur de rang 2 représenté par la matrice A, le changement de base s'écrit plutôt [/tex] A' = ^t P A P [/tex] .

[mariposa]

Salut mariposa,

Je tempère un peu cette phrase : un tenseur de rang deux est représenté par une matrice dès lors que l'on se fixe une loi de changement de base. En gros, si on change de base, et si on note *la matrice de passage, on sait que si X est un vecteur dans la première base, ses composantes notées X' dans la seconde vérifient alors que pour le tenseur de rang 2 représenté par la matrice A, le changement de base s'écrit plutôt [/tex] A' = ^t P A P [/tex] .

Ouai mais c'est une tres mauvaise idée pour une bonne compréhension du concept de tenseur, car ce n'est pas valable pour les tenseurs de rang supérieur.
Pour cette raison j'insiste pour dire qu'un tenseur est un vecteur est donc qu'il se représente par une matrice ligne ou une matrice colonne.

[Rincevent]

bonjour,

Ouai mais c'est une tres mauvaise idée pour une bonne compréhension du concept de tenseur, car ce n'est pas valable pour les tenseurs de rang supérieur.

je ne suis pas vraiment d'accord... je trouve au contraire que l'écriture sous la forme d'une seule ligne ou colonne noie la séparation entre les composantes, séparation qui est bien faite dans l'écriture matricielle. De plus, la "visualisation" d'un tenseur d'ordre 2 comme une matrice (la matrice étant une "représentation" du tenseur et pas celui-ci) facilite la compréhension du produit tensoriel d'un covecteur (=1-forme) et d'un vecteur : le tenseur d'ordre 2 obtenu est directement le produit matriciel du covecteur qui peut être regardé comme un "vecteur ligne" (une matrice 1 x n) et le vecteur qui est directement un vecteur colonne (une matrice n x 1). D'ailleurs, la "force" de cette visualisation est soutenue par le fait que le "produit scalaire" (application de la forme sur le vecteur) se calcule également aisément par produit matriciel.

histoire que ce que je raconte serve, je vais illustrer pour ceux qui connaîtraient pas (je reste en dimension 3 pour simplifier) :

comme il a déjà été dit, un vecteur peut être représenté par ses composantes sous la forme :



je redis divers trucs déjà mentionnés (mais pas tous ) : une 1-forme est par définition une fonction agissant d'un espace vectoriel dans le corps (typiquement l'ensemble des réels ou des complexes) sur lequel est construit cet espace (cf définitions plus haut). Autrement dit, la forme associe un nombre à un vecteur. L'espace dual (= l'espace vectoriel formé par les formes, on le note , cf plus haut) étant un espace vectoriel, on peut se poser la question de ce à quoi ressemble son dual. En dimension finie, on montre que le dual du dual est isomorphe (= indiscernable) de l'espace vectoriel initial. On peut noter ça sous la forme (ça sera pas utile pour le reste de ce que je vais écrire).

un vecteur appartenant à est donc nommé covecteur ou 1-forme (ou forme) et peut être représenté sous la forme



NB: j'ai mis les indices en bas et pas en haut et c'est relié à ce que disait humanino plus haut : étant donné que l'espace dual a la même dimension que l'espace vectoriel initial, on comprend qu'il existe une application "naturelle" qui associe à un élément de un élément de . Cette application est grossièrement celle qui associe au vecteur

la forme
de telle manière que le résultat de appliquée sur un vecteur soit le produit scalaire .

on pourrait développer cela mais je ne le ferai pas... (on pourra toutefois noter qu'avec la convention ligne colonne cette application qui associe une forme à un vecteur se manifeste en langage matricielle comme la transposition).

toujours est-il qu'avec la notation matricielle, on peut écrire l'action d'une forme sur un vecteur sous la forme

qui est une matrice 1x1, c'est-à-dire un nombre.

maintenant, si on fait l'inverse, on obtient un vecteur de formes (chaque composante du vecteur est une forme) qui peut être visualisée sous la forme d'une matrice 3x3 [c'est en fait un tenseur (1,1) selon les conventions résumées par humanino] qui s'obtient aisément :




d'autre part, pour les tenseurs de rang supérieur, on peut également réussir à visualiser les choses à l'aide de vecteurs et/ou matrices. Ainsi, un tenseur de rang trois peut être regardé comme une "matrice de vecteurs" ou une sorte de cube de nombres. Le fait que le truc est un tenseur (propriété vis-à-vis des changements de bases) se traduisant par l'absence d'orientation privilégiée pour le cube. Cela se généralise en dimensions supérieures d'ailleurs...

est-ce uniquement une image sans intérêt? je pense pas. Si l'on regarde les coefficients de connexion (qui ne sont pas un tenseur car ils ne se comportent pas comme il faut lors d'un changement de bases, cf plus haut), en fait la nature différente des deux premiers indices invite à "voir" ce "tableau" d'ordre 3 comme une forme à valeur matricielle et/ou une matrice dont les composantes sont des 1-formes... c'est d'ailleurs la même chose dans les théories de jauge où l'on écrit parfois un truc du genre pour dire que F est un tenseur d'ordre deux selon Lorentz et un vecteur pour le groupe de jauge.


^a cette différence de nature n'est souvent pas flagrante lorsque l'on travaille en RG (sans spineurs par exemple) car par simplicité on n'introduit pas la notion de "fibré" et utilise donc toujours dans l'espace vectoriel tangent une base associée au système de coordonnées choisi pour la variété... on a alors un truc du genre où les trois indices sont "identiques de nature" car lorsqu'on fait un changement de coordonnées sur la variété, on fait simultanément (et souvent sans le dire) un changement de base dans les espaces tangents. Mais la différence de nature est d'une certaine manière "ce qui fait' que le ne se comporte pas comme un tenseur.

[invite8ef897e4]

Dans ton post #14 Humanino, les composantes ,....sur la figure sont bien les longueurs des segments?

oui c'est bien ca

[mariposa]

bonjour,



je ne suis pas vraiment d'accord... je trouve au contraire que l'écriture sous la forme d'une seule ligne ou colonne noie la séparation entre les composantes, séparation qui est bien faite dans l'écriture matricielle. De plus, la "visualisation" d'un tenseur d'ordre 2 comme une matrice (la matrice étant une "représentation" du tenseur et pas celui-ci) facilite la compréhension du produit tensoriel d'un covecteur (=1-forme) et d'un vecteur : le tenseur d'ordre 2 obtenu est directement le produit matriciel du covecteur qui peut être regardé comme un "vecteur ligne" (une matrice 1 x n) et le vecteur qui est directement un vecteur colonne (une matrice n x 1). D'ailleurs, la "force" de cette visualisation est soutenue par le fait que le "produit scalaire" (application de la forme sur le vecteur) se calcule également aisément par produit matriciel

.

Bonjour,

1- Je suis d'accord sur le fait que l'on peut visualiser un tenseur de rang 2 par une matrice, un tenseur de rang 3 par un cube de nombre, après c'est plus possible.

2- Par contre on n'a pas le droit de dire que le tenseur de rang 2 est représenté par une matrice 3.3 parceque le mot représentation est un mot réservé en physique (et en math). Donc:

Un vecteur (ou un tenseur) est représenté par une matrice ligne (ou colonne).
Un opérateur est représenté par une matrice.
Un opérateur vectoriel ( voir tensoriel) est représenté par une matrice ligne (ou colonne) ou chaque élément de matrice est une matrice.

L'équation de Schrodinger n'est qu'une représentation particulière, la représentation{r} d'une équation d'évolution indépendante de toute représentation.

3- J'ai essayé de me mettre de ton point de vue en essayant de voir les choses en pensant matrice.

J'ai donc résolu le problème suivant tres simple:

Soit T un tenseur de rang 2 défini sur un espace E de dimension quelconque N. Etant donné un changement de base B (une matrice N.N) dans l'espace E déterminez la matrice de passage de T dans l'espace E.E notée A

Et bien en faisant ce calcul a aucun moment on ne manipule une matrice N.N visualisation de T.

Le plus drole est que le résultat final peut se "présenter" comme une matrice A = un produit matrice colonne de B par matrice ligne de B (notée C pour pas mélanger les indices).

Ce qui est drôle c'est que la matrice A est vraiment une représentation d'un changement de base alors que la mise en colonne du changement de base B n' est qu'une visualisation d'une matrice qui elle représente un vrai changement de base!!!


La leçon personnel que je retiens pour le moment de cette discussion serait d'introduire le plus tard possible la notion d'espace dual et donc ses conséquences (tenseur covariant, contravariant , mixte) pour comprendre la philosophie des tenseurs sur lesquels je reviendrais plus tard. Bien entendu lorsque l'on veut faire de la RG et donc de la géométrie différentielle , ca devient incontournable.

Je me souhaite un bon appétit; A bientôt.

[Rincevent]

bonjour,

.1- Je suis d'accord sur le fait que l'on peut visualiser un tenseur de rang 2 par une matrice, un tenseur de rang 3 par un cube de nombre, après c'est plus possible.

je ne suis pas d'accord. Déjà pour visualiser en 3D, tu fais quelque chose qui n'est pas trivial et qui repose sur la notion de projection. Il est plus difficile de le faire en dimensions plus élevées, mais pas impossible. Cela demande un entraînement, mais c'est faisable. Il existe d'ailleurs divers bouquins où des "trucs" sont expliqués. Désolé, je n'ai plus les titres en tête...

2- Par contre on n'a pas le droit de dire que le tenseur de rang 2 est représenté par une matrice 3.3 parceque le mot représentation est un mot réservé en physique (et en math).

bah justement : le sens mathématique usuel s'applique parfaitement là. Le tenseur est un objet géométrique et/ou algébrique. Si tu regardes ses composantes dans une base donnée, tu as une matrice.

Un vecteur (ou un tenseur) est représenté par une matrice ligne (ou colonne).

pourquoi "tenseur -> colonne"?

L'équation de Schrodinger n'est qu'une représentation particulière, la représentation{r} d'une équation d'évolution indépendante de toute représentation.

oui, c'est toujours le même principe : la matrice est la représentation d'un tenseur d'ordre deux lorsqu'on le projete sur une base donnée.

Soit T un tenseur de rang 2 défini sur un espace E de dimension quelconque N. Etant donné un changement de base B (une matrice N.N) dans l'espace E déterminez la matrice de passage de T dans l'espace E.E notée A

euh, j'avoue que je comprends pas la question... si tu fais un changement de base, il n'y a pas "une matrice de passage de T"...

et je vois pas trop où tu veux en venir d'ailleurs... j'ai jamais dit qu'il était nécessaire d'utiliser la représentation matricielle d'un tenseur d'ordre 2. Juste que c'est possible et que ça aide parfois.

Je me souhaite un bon appétit

bon goûter ou thé vue l'heure qu'il est

[Gwyddon]

Salut mariposa,

J'avoue que je commence à y perdre mon latin en essayant de comprendre ta manière de voir les choses.

Pour moi, un tenseur (enfin en tout cas euclidien) et un vecteur sont fondamentalement deux objets distincts : l'un représente une forme n-linéaire, l'autre représente l'objet sur lequel l'application agit...

En dimension finie, on a de la chance, un vecteur est isomorphe à une forme linéaire, donc on peut identifier vecteur et tenseur d'ordre 1. Mais au-delà, ce n'est plus possible, donc je dirais que le tenseur est plus général que le vecteur vu qu'il englobe ce dernier.

Et tout ça sans considération de bases... Donc valable en toute généralité.

Après, si on se fixe des bases, on peut raisonner matriciellement pour les tenseurs d'ordre 2, et effectivement au sens mathématique du terme une matrice représente le tenseur.

[mtheory]

Je crois que l'origine de nos divergences provient de nos différences d'éducation/centres d'intérêts.
Pour les gens plutôt géométrie différentielle et RG les tenseurs sont bien des 'matrices' et des multivecteurs et c'est ainsi qu'on maitrise le mieux les choses.
Pour les gens ayant eut un premier contact avec les tenseurs en MQ ,avec la théorie des groupes et leur représentations irréductibles, ils préférent penser autrement.
C'est plutôt comme lorsqu'on parle de K[X₁,...,X_n] où l'on a une structure d'espace vectoriel de polynôme.

T_ijk..lm sont bien les composantes d'un polynome.

Donc Mariposa doit préférer penser aux tenseurs dans ce cadre là où représentation est techniquement lié à espace vectoriel.
Malgré tout je crois ,contrairement à lui , qu'on ne doit pas rejeter l'autre vision des choses qui me semble tout aussi valable.
Il faut juste savoir quel est le point de vue le plus approprié pour l'usage qu'on veut en faire.
En général les gens font un panachage de ces aspects.