Je suis d'accord avec toi mtheory : les 2 visions sont toutes aussi valable l'une que l'autre.
Je n'ai qu'une vision multivectorielle (je suis en prépa, ceci explique sans doute cela) et mes connaissances en représentation linéaire des groupes sont assez faibles.
J'attend l'an prochain (euh non plutôt dans deux ans) pour voir ce que donne la vision de Mariposa qui me semble intimement liée à la MQ.
Comme tu utilises le langage canonique (cad correcte sur le plan mathématique) j'ai été voir dans les livres lde mathématiques l'introduction des tenseurs pour mieux comprendre comment je raisonne.Envoyé par Rincevent
Pour aider la discussion voilà ce que j'ai trouvé dans le BASS (page 99)
"Du point de vue physique, il n'est pas toujours commode de considérer un tenseur comme un élément d'un espace vectoriel abstrait à n2 dimensions. Il est souvent préférable de considérer un tenseur comme un être géométrique relatif à E et défini par N2 composantes obéissant aux formules de transformations.......
Ces composantes sont les coefficients d'une forme bilinéaire dont la valeur numérique, en un couple de vecteurs donné X et Y, est indépendante de la base choisie".
Effectivement je pense comme suit:
Quand je dis vecteur tout court dans la langue officielle ça veut dire une 1 forme soit un vecteur de E* (espace dual) sous-tendu par une base e*.
Ensuite je forme l'espace produit tensoriel définit par la base e*.e*
Un tenseur T de rang 2 est tout simplement un vecteur de cet espace.
Conséquences:
Il est évident qu'un changement de base dans E* induit une relation précise entre composantes du tenseur T exprimé dans les 2 bases: c'est d'ailleurs le moyen pour vérifier qu'un vecteur quelconque de cet espace est on n'est pas un tenseur.
2- une fois construit l'espace produit tensoriel, je manipule les tenseurs comme des vecteurs classiques (les indices sont la mémoire de la construction de l'espace tensoriel). Par exemple je peux faire agir un opérateur, je peux partitionner l'espace etc...
En fait comme je l'avais fait remarqué je n'ai pas besoin (explicitememt) de la notion d'espace dual.On comprend mieux pourquoi j'insiste pour dire qu'un tenseur est un vecteur muni de propriétés spéciales (le changement de base).
Un tenseur a toujours la même direction (concept d'invariance), seuls ses composantes varient avec la base, d'où l importance générale des tenseurs pour exprimer la physique. La théorie de représentations des groupes est toute proche!!
Je viens de saisir
En fait tu te places dans l'espace vectoriel des formes linéaires (tenseur d'ordre 1, ou vecteur au sens commun), puis l'espace vectoriel des applications bilinéaires dont les vecteurs sont justement les tenseurs d'ordre 2
Du coup j'ai saisi ton concept de vecteur colonne
Mais cela reste tributaire de la base de. Donc la fin de la citation du BASS est imprécise : effectivement les coeff ne dépendent pas de la base sur E, mais ils dépendent de la base choisie sur
EDIT (petit oubli) : moralité du débat : lorsque l'on parle de vecteur, toujours préciser de quel espace vectoriel on parle
ouais, ouais, j'ai été un peu un boulet sur ce coup-là... initialement, je comprenais parfaitement le point de vue de mariposa, même si je trouvais "réducteur" de dire que la notion de tenseur est moins large que celle de vecteur...
pis au bout du compte, je sais plus comment j'ai fait mais j'ai oublié son point de vue en cours de discussion
oui, oui, évidemment puisque les changements de bases forment un groupe.
je pense que dans le fond on est d'accord. Juste que pour moi le tenseur est plus riche que le vecteur alors que pour toi c'est plus ou moins l'inverse puisque le tenseur est un vecteur particulier.
Je reviens sur la question des tenseurs de telle sorte a comprendre les différentes lectures car à mon avis il n'y a qu'une seule idée centrale: Ecrire des lois physique indépendamment de toute représentation.
Si cela est possible je vous invite a consulter le Feynman (électromagnétisme 2) il y a un chapitre entier sur les tenseurs (20 pages de 196 à 216). Cela correspond à "ma" vision (ma pratique
de la chose).
1- Il introduit le tenseur par un exemple: le tenseur de polarisabilité, puis:
2-Tout de suite il analyse la transformation des composantes d'un tenseur: il conclue le paragraphe:
"......Le tenseur de polarisabilité a(i,j) dont les 9 composantes se transformeront d'une certaine façon avec un changement de coordonnées."
plus loin (en haut page 203):
"On représente souvent un tenseur en groupant les 9 coefficients dans un tableau entre crochets:
...................
Pour les axes principaux a,b,c seuls les termes de la diagonale ne sont pas nuls; nous disons alors que "le tenseur est diagonal" (c'est lui qui met les guillemets)."
On note dans tous les cas il prend des gants pour parler des tenseurs: il s'agit de grouper les 9 coefficient dans un tableau (il ne dit pas matrice). Cela correspond a ma présentation des tenseurs. Pour reprendre l'expression de Rincevent le tableau c'est une visualisation du tenseur sous forme de matrice, mais ce n'est pas une matrice.
La présentation de Feymann est particulièrement intéressante dans la mesure où celui-ci connait très bien la "version RG" (ce n'est pas mon cas). Je doute qu'après avoir expliqué qu'un tenseur c'est un vecteur et non pas une matrice que celui-ci va démontrer qu"en fait un tenseur c'est aussi une matrice.
En conclusion provisoire, dans une perspective unitaire:
1- On peut présenter les tenseurs et toute la machinerie qui va avec en ignorant totalement la présentation mathématique usuelle que l'on trouve dans les livres de math et dans les livres de RG.
2- Je veux bien dire qu'un tenseur est un multivecteur (si un multivecteur est bien pensé comme un vecteur"). Mais un tenseur n'est pas une matrice (dixit Feynmann et votre serviteur)
3- Le tenseur est un vecteur muni de propriétés spéciales: c'est donc une restriction mais qui a boutit a une richesse conceptuelle et opérationnelle.
4 L'approche que j'ai présenté (et que je partage avec le maître) possède des limites.
En combinant la structure d'espace vectoriel avec la structure d'application linéaire, on introduit le concept d'espace dual associé qui est l'espace vectoriel des applications. de là le dual du dual est l'espace origine etc...
Dans ce contexte les tenseurs se présentent comme un approndissement et/ou élargissement du concept de tenseur indispensable pour la RG, mais inutile, pour la plus part de la physique. pour s'en convaincre il sufit de comparer la définition pédestre du produit scalaire avec le produit scalaire "revisité".
5- Sur le rapport entre tenseurs et matrices:
J'ai pris le livre deRay d'Inverno sur la RG. un parcours rapide ne m'a pas permi de voir des matrices. il n'y a toujours que des relations entre coéficient!!
Si toutefois on peut manipuler techniquement le tenseurs comme des matrices (sans mettre en cause son caractère vectorielle) alors il faut le démontrer. Je reste ouvert et attentif a tout argument
complétement d'accord!
Je reviendrai sur le post plus tard .
Si tu le dit, c'est que ca doit etre le cas.
J'ai lu ton exemple avec le champs electrique et le champs magnetique. Ce que j'en ai compris, c'est que si on fait un changement de base sur un vecteur et qu'on obtient un second vecteur (différent) alors on a un tenseur. Mais si le resultat est le meme, alors ce n'est pas un tenseur. Je suis loin d'etre sur d'avoir compris.
Pour que je comprenne bien ce qu'est un tenseur, faut que je comprenne pas-à-pas (quitte a comprendre a moitié au debut). Donc si on peut me confirmé que les petits pas que je fais ne sont pas faux, ca serais deja une grande aide pour moi.
Par contre, J'ai bien compris que ce n'est pas parce que j'ai un vecteur sous les yeux que c'est un tenseur. Par contre, un tenseur est un vecteur (un peu special), il me semble.
C'est deja ca de gagné
PS: mariposa, je te remercie de prendre du temps pour m'expliquer basiquement ce que c'est. Parce que partir directement dans des concepts abstrait, c'est pas evident.
sur ça nous sommes évidemment d'accord.
mais je ne pense pas que quiconque ait dit qu'un tenseur d'ordre deux "est" une matrice.Je doute qu'après avoir expliqué qu'un tenseur c'est un vecteur et non pas une matrice que celui-ci va démontrer qu"en fait un tenseur c'est aussi une matrice.
euh, c'est-à-dire ? on les définit comment alors? car je vois pas comment tu pourras définir un tenseur (pour un physicien) sans parler de changement de bases, or, en faisant cela tu fais ce que tu trouves dans les livres de RG...1- On peut présenter les tenseurs et toute la machinerie qui va avec en ignorant totalement la présentation mathématique usuelle que l'on trouve dans les livres de math et dans les livres de RG.
et dixit plus de 99,99% des gens qui connaissent les tenseurs aussi... je vois personne dans ce fil qui insisterait pour dire qu'un tenseur d'ordre 2 est une matrice...Mais un tenseur n'est pas une matrice (dixit Feynmann et votre serviteur)
en disant cela tu compares des trucs qui ne sont pas nécessairement comparables. Ton tenseur est une restriction par rapport à un vecteur qui vivrait dans3- Le tenseur est un vecteur muni de propriétés spéciales: c'est donc une restriction mais qui a boutit a une richesse conceptuelle et opérationnelle.
En clair, cela n'a aucun sens rigoureux de dire que c'est une restriction. Faut dire par rapport à quoi. Car je maintiens qu'un tenseur est un objet plus riche qu'un vecteur et cela est tout aussi vrai que ton affirmation si je place ce discours dans le cadre de l'espace des applications multilinéaires sur R x R*, espace qui est beaucoup plus "physique" que R^9.
non. C'est également très utile si tu fais des choses en relativité restreinte ou si, tout simplement, tu cherches à écrire des équations sous forme covariante, ce qui est utile pas uniquement dans un cadre relativiste (je sais plus ce que c'est exactement, mais il existe au moins un invariant hydrodynamique qui a d'abord été mis en évidence dans un cadre relativiste avant que son équivalent newtonien le soit : tous les gens auparavant n'avaient pas utilisé l'algèbre de Cartan et étaient restés bloqués face à des calculs inextricables sans techniques aussi puissantes que celle-ci).Dans ce contexte les tenseurs se présentent comme un approndissement et/ou élargissement du concept de tenseur indispensable pour la RG, mais inutile, pour la plus part de la physique.
mais je ne comprends pas ton refus de reconnaître l'utilité de la géométrie différentielle : c'est le cadre naturel pour trouver les invariants (et représentations) sous difféomorphisme et tu es pourtant un défenseur de la théorie des groupes...
pourrais-tu éclaircir ce que tu veux dire, stp ?pour s'en convaincre il sufit de comparer la définition pédestre du produit scalaire avec le produit scalaire "revisité".
c'est très simple à démontrer : on peut reformuler tout le calcul matriciel sous forme tensoriel. Mais ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit : pour moi le calcul matriciel est moins riche que le calcul tensoriel et je n'ai jamais prétendu le contraire. Les matrices sont une représentation des tenseurs d'ordre 2. Et en tant que simples représentations, elles sont moins riches que le concept sous-jacent.J'ai pris le livre deRay d'Inverno sur la RG. un parcours rapide ne m'a pas permi de voir des matrices. il n'y a toujours que des relations entre coéficient!!
Si toutefois on peut manipuler techniquement le tenseurs comme des matrices (sans mettre en cause son caractère vectorielle) alors il faut le démontrer. Je reste ouvert et attentif a tout argument
J'interviens à la lumière de ce que j'ai compris des points de vue en présence (c'est-à-dire de celui de Rincevent, qui étais aussi celui que je partageais, et celui de Mariposa).
J'insiste pour dire que toute discussion est stérile tant que l'on ne dit pas dans quel espace vectoriel on se place.
Un tenseur est effectivement un vecteur dans
Si l'on se restreint à ne parler que de E, alors un tenseur d'ordre p est une application p-linéaire de E dans K. Donc ce n'est pas un vecteur de E. On ne peut donc pas parler de vecteur à propos du tenseur si on n'utilise que l'espace E dans la discussion.
Dans la première version (espace dual) effectivement le tenseur est représenté par un vecteur colonne dans une base de
Dans la seconde version toutefois, le tenseur, s'il est d'ordre 2, est représentable aussi par une matrice de taille n*n (si E est de dimension n), et respectant la loi usuelle de changement de base des matrices représentant des formes bilinéaires.
Les deux points de vue sont strictement équivalents et mathématiquement rigoureux, l'un n'est pas meilleur qu'un autre, et tout dépend du contexte dans lequel le tenseur est employé.
Supposons un vent horizontal souflant devant ta maison. Le vent a une intensité et une direction précise, bref le "vent physique" est représenté par un vecteur qui est le "vent mathématique". Si tu veux indiqué la propriété est le vent par téléphone tu vas être obligé de le décrire par 2 coomposantes dans un repère déterminé (par exemple, la rue Jean-Jaurès). mais tu aurais pu tout aussi bien utliser comme repère le square Albert Camus.
En bref le vecteur vent mathématique est unique mais il existe une infinité de représentations de celui-ci (autant qu'il y a de changements de bases). Mathématiquement les composantes (Vx, Vy) dans une base (x,y) vont se tranformer entre d'autres composantes dans une autre base. Le chagement de base va piloter le changement des composantes.
Exemple simple: si x devient -x et si y devient y alors Vx devient -Vx et Vy devient Vy. on dit que les composantes de V se transforment comme la base. Donc c'est un tenseur de rang 1.
Tout ça peut paraître banal. Cà commence a être intéressant lorque l'on construit des espace vectoriels par multiplication entre eux que l'on appelle produit tensoriel (c'est la même idée que le produit cartésien appliqué entre nombres réels sauf que l'on dit tensoriel au lieu de cartésien).
On peut construire un espace vectoriel comme le produit de deux espace vectoriels. Par exemple un de dimension 2 l'autre de dimension 7 la dimension du nouvel espace est 14. Le nouveau jeu intelectuel consiste a étudier les propriétés de cet espace. Une de ces propriétés est d'étudier le comportement des composantes du vecteur de cet espace lorque l'on fait des changements de base dans les espaces "méres".
Redescendons d'un cran dans la généralité et effectuons le produit tensoriel de 2 espaces euclidiens R3.R3. On a donc une base {xx,xy,xz,yx etc.....} cad un espace a 9 dimensions.
Maintenant interessons nous au champ électrique définit dans les espace de base. Dans le nouvel espace on a un vecteur a 9 composantes du style Ex.Ey etcc..
Effectons un changement de base x en -x alors Ex.Ex devient Ex.Ex
Ex.Ey devient -Ex.Ey Ez.Ey devient Ez.Ey etc...
A l'évidence ce comportement n'est pas celui d'un tenseur de rang 1 mais celui d'un tenseur de rang 2 parceque les 9 composantes du vecteur se transforment comme 2 fois les vecteurs de base.
Donc pour résumer et en toute généralité il faut étudier le comportement des composantes d'un vecteur lorsque l'on effectue des changements de base dans les espaces de référence (très souvent l'espace euclidien). selon le comportement on dira quel est le rang du tenseur. (etant entendu qu'un vecteur peut ne pas répondre a aucun critère de tensorialité).
Pour rester au niveau de généralité des tenseurs un peu de relativité.
1- Dans notre espace euclidien l'impulsion est un vecteur (tenseur de rang 1) alors que l'énergie est un scalaire (tenseur de rang 0). de la même façon l'espace x,y,z et le temps ça n'a rien a voir. Chacun de son coté. Nous sommes dans la relativité galiléenne.
2- la découverte de la relativité restreinte amène a décrire la physique dans un espace Euclidien a 4 dimensions (en fait dit pseudo-euclidien a cause de la définition de la distance) qui sous-tend une base x,y,z,t. Pour passer a une autre base le changement de base s'appelle transformation de lorentz.
3- On concoit que a partir de cette espace on puisse avoir des tenseurs de rang 1 a 4 composantes, de rang 2 a 16 composantes.
Et bien les 3 composantes de l'impulsion + la valeur énergie forment ensemble un tenseur de rang 1
4- On peut écrire les équations de Maxwell en termes de tenseurs, celles-ci deviennent très simples montrant toute la beauté du langage des tenseurs.
OK. Si le calcul matriciel est entièrement contenu dans le calcul tensoriel alors il doit être possible logiquement de représenter (et non pas visualiser) les tenseurs par des matrices sans altérer le concept de tenseur.
Je n'ai jamais dit que la géométrie différentielle était inutile, puisque je pense le contraire. Ce que j'essaie d'argumenter est que l'on peut présenter et comprendre la philosophie des tenseurs avec "peu" de mathématiques. j'ai donc essayé de situer le seuil où il est nécessaire d'étendre le langage pour par exemple traiter de relativité.
Dans cet esprit je note qu'une présentation "élaborée" démarre avec le concept d'espace dual. Mon argument consiste a se passer de la notion de dualité et d'emblée de construire des tenseurs par produit tensoriel. A la limite je ne sais même pas ce qu'est une application!!!
Ma présentation est strictement identique a celle de Feynmann comme quiconque pourra le vérifier.
D'une manière imagée il s'agit d'écrire quelquechose du style:
Les tenseurs pour les nuls.
Du point de vue mathématiques ma philosophie est de prendre les instruments les plus simples possibles. Si le règle de l'addition suffit inutile de se servir de la table de multiplication.
En ce qui concerne les tenseurs ce qui serait intéressant (de mon point de vue) serait de montrer a partir de quel moment et pourquoi il est indispensable de reformuler l'approche des tenseurs. Je crains que rien d'explicite n'existe a ce propos. A nous de le l'exprimer?
ça dépend alors de ce que tu veux dire par "comprendre" et par "peu"... mais je suis entièrement d'accord avec la démarche même si je doute de la possibilité de faire autre chose que sentir le besoin de définir des objets plus riches (cf la notion de vecteur qui sort naturellement du travail sur une équation vectorielle à partir des composantes et en ignorant le caractère "vectoriel").
pas nécessairement. On peut se passer des formes si on est en coordonnées cartésiennes dans un espace métrique (on est pas obligé de dire que la métrique est une 2-forme).Dans cet esprit je note qu'une présentation "élaborée" démarre avec le concept d'espace dual.
et tu définis comment la notion d'espace vectoriel sans celle d'application ?A la limite je ne sais même pas ce qu'est une application!!!
mais justement : la "simplicité" est un concept bien flou... une équation vectorielle notée avec des trucs fléchées est bien plus "simple" (en ce sens où son contenu se comprend plus aisément) que la même chose écrite en composantes...Du point de vue mathématiques ma philosophie est de prendre les instruments les plus simples possibles. Si le règle de l'addition suffit inutile de se servir de la table de multiplication.
pour moi tu vas retrouver le même critère que celui qui te pousse à définir la notion de représentation linéaire irréductible d'un groupe.je crains que rien d'explicite n'existe a ce propos. A nous de le l'exprimer?
Bonjour tout le monde,
J'ai lu en partie le forum destiné aux tenseurs, et ce que je vois, c'est que si on ne les a pas déjà manipulés et/ou étudiés, il semble bien difficile pour un néophyte de se faire une représentation "viable".
Néanmoins je félicite sincèrement les gens qui ont fait l'effort de partager leurs connaissances à ce sujet, car pour peu qu'on en déjà un peu entendu parler en cours, leurs explications aident vraiment à clarifier les choses.
Je m'y étais penché un jour et j'étais allé voir le livre de Laurent Schwartz à ce propos (pour ceux qui connaissent pas, c'est quand même un Médaille Fields). Les concepts utilisés sont différents de ceux évoqués sur ce forum.
En effet, il débute son livre avec ce problème.
Etant donné trois espaces vectoriels E,F,G et les applications bilinéaires de ExF dans G, est-il possible de réduire l'étude des toutes ces applications bilinéaires à l'étude d'applications linéaires. La réponse est oui. Il existe une unique application bilinéaire u0 à un isomorphime près et un unique espace vectoriel appelé produit tensoriel de E et F telle que: pour tout application bilinéaire u de ExF dans G, il existe une unique application linéaire v de produit_tensoriel(E,F) dans G telle que : u = v°u0.
A partir de là on déduit pour les vecteurs de l'espace tensoriel, toutes les propriétés que vous avez citées.
En espérant que ce forum soit encore actif, a plus!
J'ai lu toutes la discussion, je félicite les auteurs de ce donner tellement de mal à expliquer
La seul chose qui manque sont des exemples simples avec des valeurs numériques. Ca m'aiderait beaucoup a comprendre ce que représente ces écriture.
Bonjour a tous,
les vecteurs et autres spineurs sont lies aux representations des groupes. Plus de details sur :
http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-1/cel-1.html
un cours (en francais svp !) super bien fait
Geo
Salut,
pour une introduction aux spineurs par les quaternions, je vous invite à visionner la première moitié de cette conférence.
Cordialement.
Je me demandais quand tu allais intervenir dans cette discussion
En tout cas merci pour le lien
@+
Julien
yop
dites moi si je me trompe mais tenseurs et spineurs sont des vecteurs de l'espace vectoriel des tenseurs et des spineurs (respectivement)?
++
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question.
il y a plusieurs sortes d'espèces de tenseurs caractérisées par leurs valences (n,p) cad n fois covariants p fois contravariants. A chaque espèce correspond un espace vectoriel. Il n'y a donc pas un espace tensoriel mais une infinité d'espaces tensoriels que l'on peut construire à partir d'un seul espace vectoriel (et de son dual) "générateur".
Même chose pour les spineurs qui existent en plusieurs espèces.
Bonjour :
Je ne comprends rien en spineurs ...Quelqu'un peut - il nous donner une définition mathématique rigoureuse de ce qu'est la notion de spineur, et de nous clarifier comment on obtient un spineur à partir de la notion de tenseur ?
Merci à vous tous.
Bonjour,
Les spineurs sont des éléments1 d'un espace vectoriel E qui est une représentation de spin j demi entier de SU(2). Quant au lien avec la notion de tenseur, rien n'empêche a priori de construire des tenseurs à partir de spineurs, en utilisant l'espace E et son dual E*.
1 une remarque, j'ai appelé les spineurs éléments d'un espace vectoriel, au sens mathématiques du terme ce sont donc des vecteurs. (car ils appartiennent à un espace vectoriel). Cependant les physiciens préfèrent souvent réserver le nom de vecteur aux éléments d'un espace vectoriel qui est une représentation de spin j=1 de SU(2).
