Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur



  1. #1
    planck

    Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    bonjour à tous!

    voilà, ma question est, je pense, simple:
    pourriez-vous m'expliquez ce qui fait qu'un champ de tenseur (1,0) est en fait un champ de vecteur?
    j'ai les définitions suivantes:

    un champ de vecteur: j'associe à chaque point P de ma variété M un vecteur, c'est-a-dire . ça j'ai compris, je pense: en chaque point, je demande comme argument d'entrée une fonction de M dans IR. et j'obtiens en tt point un réel, ie au final, j'ai une fonction de M dans IR.

    un champ de tenseur (1,0): j'associe à chaque point P de ma variété un tenseur (1,0); cad que je demande à ce que mon argument d'entrée du tenseur soit dans l'espace cotangent. et j'obtiens en tt point un réel, ie une fonction de M dans IR.

    mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!

    qqn pourrait-il m'aider? merci beaucoup!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    Bonjour,

    Personne d'autre ne répondant, je vais tenter une réponse, en courant le risque de dire des bêtises...

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    un champ de vecteur: j'associe à chaque point P de ma variété M un vecteur, c'est-a-dire . ça j'ai compris, je pense: en chaque point, je demande comme argument d'entrée une fonction de M dans IR. et j'obtiens en tt point un réel, ie au final, j'ai une fonction de M dans IR.
    Je reformule. Notons φ le champ scalaire, c'est-à-dire la fonction de M dans IR. Le champ de vecteur associe à φ le champ scalaire V(φ), une dérivée directionnelle.

    un champ de tenseur (1,0): j'associe à chaque point P de ma variété un tenseur (1,0); cad que je demande à ce que mon argument d'entrée du tenseur soit dans l'espace cotangent. et j'obtiens en tt point un réel, ie une fonction de M dans IR.
    En d'autres termes, un tenseur (1, 0) et un tenseur (0, 1) peuvent être contractés en un réel, Viωi: un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!).

    Or à partir d'un champ scalaire φ, on peut définir le champ dérivé cotangent ω=φ', un tenseur (0, 1). Cela permet de voir un champ V de l'espace tangent comme associant à un champ scalaire φ le champ scalaire V(φ) défini par la contraction de V et de ω=φ' obtenu par dérivation, et on retrouve la première approche.

    Réciproquement, un champ de tenseur (0, 1) peut se définir comme la dérivée d'au moins un champ scalaire, ce qui permet d'utiliser la première approche.

    mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!
    Comme souvent les définitions sont circulaires. Les deux approches se complètent, la première définissant la notion de dérivée à partir d'un champ de vecteurs, et la deuxième définissant la notion de vecteur à partir de la notion de dérivée d'un champ scalaire.

    Cordialement,

  4. #3
    gatsu

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!
    Précisément si !
    Comme un champ tenseur en un point P de la variété prend en argument un élément de l'espace cotangent en ce point et que l'espace cotangent si je ne m'abuse n'est rien d'autre que le dual de l'espace tangent en ce point il suffirait donc qu'un champ de tenseur appartienne au bi-dual de l'espace tangent. Or le bi-dual de l'espace tangent coincide avec l'espace tangent donc un tenseur de rang (1,0) est un vecteur au sens où c'est un élement de l'espace tangent si je ne dis pas de bêtises.

  5. #4
    Rincevent

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Or le bi-dual de l'espace tangent coincide avec l'espace tangent donc un tenseur de rang (1,0) est un vecteur au sens où c'est un élement de l'espace tangent si je ne dis pas de bêtises.
    juste pour préciser généralement, plutôt que "coïncide", on dit qu'il y a isomorphisme entre les deux (lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie)
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. #5
    planck

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    ok, merci beaucoup pour vos réponses

    gatsu, ce que tu me dis me convient. je pensais qu'il y avait une manière plus... "visuelle" de regarder un champ de tenseur (1,0) comme un champ de vecteur, mais si je suis obligé de passer par l'isomorphisme canonique entre E et E** pour m'en convaincre, eh bien... je passerais par là.

    mmy, j'ai lu ta réponse, mais je bloque malheureusement dès le début: tu me parles de contraction de champ (1,0) ou (0,1), et dans ce que je peux lire ça et là, je n'ai de définition de la contraction que pour des champs (p,q), avec p et q strictement supérieurs à 0! (pour le faire tomber en champ (p-1,q-1) )
    est ce que la contraction dont tu parles consiste "simplement" en le fait de fixer un vecteur/covecteur?
    par ailleurs, on tourne pas un peu en rond, dans cette phrase: "un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!)." ? ^^

    et encore merci pour vos réponses!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    Citation Envoyé par planck Voir le message
    mmy, j'ai lu ta réponse, mais je bloque malheureusement dès le début: tu me parles de contraction de champ (1,0) ou (0,1), et dans ce que je peux lire ça et là, je n'ai de définition de la contraction que pour des champs (p,q), avec p et q strictement supérieurs à 0! (pour le faire tomber en champ (p-1,q-1) )
    L'étape manquante est le produit tensoriel. Le produit tensorield'un tenseur (1, 0) par un tenseur (0, 1) est un tenseur (1, 1) que l'on contracte en (1-1, 1-1) = (0, 0), un scalaire. C'était visible dans l'écriture Viωi.


    par ailleurs, on tourne pas un peu en rond, dans cette phrase: "un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!)." ? ^^
    Si bien sûr. Mais c'est la même chose que les réflexions sur le bi-dual qui ont suivi. Plutôt que la vision de dual du dual présentée Gatsu avec l'isomorphisme noté par Rincevent, je préfère (peut-être par méprise) une vision réellement duale, où la définition des vecteurs et des formes est circulaire, c'est à dire où la relation de dualité est directement présentée comme symétrique. La notion d'application linéaire (V, ω) --> Viωi est totalement symétrique, elle ne privilégie aucun des deux termes. (Mais la remarque incidente de Rincevent sur la dimension finie fait vaciller ma position. Quelque chose à creuser, là...)

    Cordialement,

  9. Publicité
  10. #7
    Rincevent

    Re : Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    L'étape manquante est le produit tensoriel.
    on parle plutôt de produit intérieur ou de contraction pour ça...

    http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_product

    (Mais la remarque incidente de Rincevent sur la dimension finie fait vaciller ma position. Quelque chose à creuser, là...)
    juste pour tenter de creuser un peu je dirais que la symétrie n'est pas aussi parfaite que tu le souhaiterais si tu pars d'une définition de l'espace tangent indépendante des coordonnées dans laquelle les vecteurs sont définis par leur application sur des fonctions. Pour avoir une symétrie parfaite j'ai l'impression qu'il est inévitable de définir les vecteurs et autres tenseurs par leur façon de varier sous des changements de coordonnées et donc sans mentionner le rôle "opérateur différentiel"... et les mathématiciens aiment pas trop ça...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. p-form: tenseur ou champ tensoriel ?
    Par limitinfiny dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 21/08/2006, 03h03
  2. Intégrale curviligne d'un champ de vecteur dans IR³
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 08/03/2006, 18h32
  3. Type de tenseur pour le champ magnétique
    Par invité576543 dans le forum Physique
    Réponses: 7
    Dernier message: 02/10/2005, 09h51
  4. Tenseur du champ EB
    Par isozv dans le forum Physique
    Réponses: 5
    Dernier message: 15/07/2005, 20h02
  5. vecteur champ électrique
    Par the strange dans le forum Physique
    Réponses: 3
    Dernier message: 23/09/2004, 11h41