Champ de tenseur (1,0), champ de vecteur

[invite21126052]

bonjour à tous!

voilà, ma question est, je pense, simple:
pourriez-vous m'expliquez ce qui fait qu'un champ de tenseur (1,0) est en fait un champ de vecteur?
j'ai les définitions suivantes:

un champ de vecteur: j'associe à chaque point P de ma variété M un vecteur, c'est-a-dire . ça j'ai compris, je pense: en chaque point, je demande comme argument d'entrée une fonction de M dans IR. et j'obtiens en tt point un réel, ie au final, j'ai une fonction de M dans IR.

un champ de tenseur (1,0): j'associe à chaque point P de ma variété un tenseur (1,0); cad que je demande à ce que mon argument d'entrée du tenseur soit dans l'espace cotangent. et j'obtiens en tt point un réel, ie une fonction de M dans IR.

mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!

qqn pourrait-il m'aider? merci beaucoup!
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[invité576543]

Bonjour,

Personne d'autre ne répondant, je vais tenter une réponse, en courant le risque de dire des bêtises...

un champ de vecteur: j'associe à chaque point P de ma variété M un vecteur, c'est-a-dire . ça j'ai compris, je pense: en chaque point, je demande comme argument d'entrée une fonction de M dans IR. et j'obtiens en tt point un réel, ie au final, j'ai une fonction de M dans IR.

Je reformule. Notons φ le champ scalaire, c'est-à-dire la fonction de M dans IR. Le champ de vecteur associe à φ le champ scalaire V(φ), une dérivée directionnelle.

un champ de tenseur (1,0): j'associe à chaque point P de ma variété un tenseur (1,0); cad que je demande à ce que mon argument d'entrée du tenseur soit dans l'espace cotangent. et j'obtiens en tt point un réel, ie une fonction de M dans IR.

En d'autres termes, un tenseur (1, 0) et un tenseur (0, 1) peuvent être contractés en un réel, Vⁱω_i: un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!).

Or à partir d'un champ scalaire φ, on peut définir le champ dérivé cotangent ω=φ', un tenseur (0, 1). Cela permet de voir un champ V de l'espace tangent comme associant à un champ scalaire φ le champ scalaire V(φ) défini par la contraction de V et de ω=φ' obtenu par dérivation, et on retrouve la première approche.

Réciproquement, un champ de tenseur (0, 1) peut se définir comme la dérivée d'au moins un champ scalaire, ce qui permet d'utiliser la première approche.

mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!

Comme souvent les définitions sont circulaires. Les deux approches se complètent, la première définissant la notion de dérivée à partir d'un champ de vecteurs, et la deuxième définissant la notion de vecteur à partir de la notion de dérivée d'un champ scalaire.

Cordialement,

[invite93279690]

mon problème se situe donc dans le type d'argument qu'on donne au champ de tenseur et au champ de vecteur. ils ne peuvent donc pas être les mêmes?!

Précisément si !
Comme un champ tenseur en un point P de la variété prend en argument un élément de l'espace cotangent en ce point et que l'espace cotangent si je ne m'abuse n'est rien d'autre que le dual de l'espace tangent en ce point il suffirait donc qu'un champ de tenseur appartienne au bi-dual de l'espace tangent. Or le bi-dual de l'espace tangent coincide avec l'espace tangent donc un tenseur de rang (1,0) est un vecteur au sens où c'est un élement de l'espace tangent si je ne dis pas de bêtises.

[invitea29d1598]

Or le bi-dual de l'espace tangent coincide avec l'espace tangent donc un tenseur de rang (1,0) est un vecteur au sens où c'est un élement de l'espace tangent si je ne dis pas de bêtises.

juste pour préciser généralement, plutôt que "coïncide", on dit qu'il y a isomorphisme entre les deux (lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite21126052]

ok, merci beaucoup pour vos réponses

gatsu, ce que tu me dis me convient. je pensais qu'il y avait une manière plus... "visuelle" de regarder un champ de tenseur (1,0) comme un champ de vecteur, mais si je suis obligé de passer par l'isomorphisme canonique entre E et E^** pour m'en convaincre, eh bien... je passerais par là.

mmy, j'ai lu ta réponse, mais je bloque malheureusement dès le début: tu me parles de contraction de champ (1,0) ou (0,1), et dans ce que je peux lire ça et là, je n'ai de définition de la contraction que pour des champs (p,q), avec p et q strictement supérieurs à 0! (pour le faire tomber en champ (p-1,q-1) )
est ce que la contraction dont tu parles consiste "simplement" en le fait de fixer un vecteur/covecteur?
par ailleurs, on tourne pas un peu en rond, dans cette phrase: "un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!)." ? ^^

et encore merci pour vos réponses!

[invité576543]

mmy, j'ai lu ta réponse, mais je bloque malheureusement dès le début: tu me parles de contraction de champ (1,0) ou (0,1), et dans ce que je peux lire ça et là, je n'ai de définition de la contraction que pour des champs (p,q), avec p et q strictement supérieurs à 0! (pour le faire tomber en champ (p-1,q-1) )

L'étape manquante est le produit tensoriel. Le produit tensorield'un tenseur (1, 0) par un tenseur (0, 1) est un tenseur (1, 1) que l'on contracte en (1-1, 1-1) = (0, 0), un scalaire. C'était visible dans l'écriture Vⁱω_i.

par ailleurs, on tourne pas un peu en rond, dans cette phrase: "un champ de vecteur et un champ de covecteurs se contractent en un champ scalaire, et on définit le champ de vecteur par son effet sur les champs de covecteurs (et réciproquement!)." ? ^^

Si bien sûr. Mais c'est la même chose que les réflexions sur le bi-dual qui ont suivi. Plutôt que la vision de dual du dual présentée Gatsu avec l'isomorphisme noté par Rincevent, je préfère (peut-être par méprise) une vision réellement duale, où la définition des vecteurs et des formes est circulaire, c'est à dire où la relation de dualité est directement présentée comme symétrique. La notion d'application linéaire (V, ω) --> Vⁱω_i est totalement symétrique, elle ne privilégie aucun des deux termes. (Mais la remarque incidente de Rincevent sur la dimension finie fait vaciller ma position. Quelque chose à creuser, là...)

Cordialement,

[invitea29d1598]

L'étape manquante est le produit tensoriel.

on parle plutôt de produit intérieur ou de contraction pour ça...

http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_product

(Mais la remarque incidente de Rincevent sur la dimension finie fait vaciller ma position. Quelque chose à creuser, là...)

juste pour tenter de creuser un peu je dirais que la symétrie n'est pas aussi parfaite que tu le souhaiterais si tu pars d'une définition de l'espace tangent indépendante des coordonnées dans laquelle les vecteurs sont définis par leur application sur des fonctions. Pour avoir une symétrie parfaite j'ai l'impression qu'il est inévitable de définir les vecteurs et autres tenseurs par leur façon de varier sous des changements de coordonnées et donc sans mentionner le rôle "opérateur différentiel"... et les mathématiciens aiment pas trop ça...