Intégrale curviligne d'un champ de vecteur dans IR³

[Bleyblue]

Bonjour,

On (Herbiti et moi) cherchons à intégrer le champ de vecteur suivant dans :



sur la courbe fermée C = C1 + C2 + C3 :

z = 0 et x² + y² = 1 ()

y = 0 et x² + z² = 1 avec ()

x = 0 et y² + z² = 1 avec (

On cherche donc :



Il reste à paramétriser la courbe (je parcours chaque quart de cercle dans le sens trigonométrique) et j'aimerais vous demander si ma paramétrisation est correcte ou si j'ai commis une erreur ?

C1 :



avec



C2 :



avec



C3 :



avec



Pensez-vous que ce soit juste ?
Je suis quasiment sûr que oui mais Herbiti en a une autre qui me semble juste aussi OR nous obtenons des réponses différentes après calcul et je me demande pourquoi ...

Il va maintenant vous présenter sa paramétrisation.

merci !
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[invite3c81b085]

C1 :



C2 :



C3 :



Avec pour les trois morceaux de courbe:

[invite88ef51f0]

Salut,

je parcours chaque quart de cercle dans le sens trigonométrique)

Parler de sens trigonométrique n'a pas de sens en 3D...
Et pourquoi prends-tu des intervalles de qui se suivent ? Mieux vaut séparer les trois intégrales et faire comme Herbiti.

Sinon, je crois qu'il faudrait un moins dans y pour C3, non ?

[Bleyblue]

Parler de sens trigonométrique n'a pas de sens en 3D...

Oui mais je parlais de quarts de cercles (c'est à dire de courbes planes)

Sinon, je crois qu'il faudrait un moins dans y pour C3, non ?

Il ne me semble pas ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Oui mais je parlais de quarts de cercles (c'est à dire de courbes planes)

Oui, mais ça dépend de quel côté du plan tu regardes. Pour pouvoir parler de sens, il te faut un plan orienté. Personnellement, vu le schéma que j'ai fait, j'aurais plutôt tendance à parler de sens horaire pour parler de la même chose que toi.

Il ne me semble pas ...

J'insiste. Pour C3, . Or sur ...

[invite8915d466]

en fait il faut préciser dans quel sens sont parcourues les courbes, ce qui n'est pas fait dans l'énoncé. J'ai bien l'impression effectivement que vos paramétrages ne tournent pas dans le même sens pour C3, ce qui explique que les résultats soient différents (ça met des signes - dans le résultat final).

Une autre solution est de calculer le rotationnel du champ de vecteur et de prendre le flux sur la surface des cercles, mais c'est pareil il faut orienter la surface en accord avec l'orientation de la courbe.

[Bleyblue]

Une autre solution est de calculer le rotationnel du champ de vecteur et de prendre le flux sur la surface des cercles

Nous ne connaissons pas la notion de rotationnel malheureusement

Et sinon oui je me rends compte qu'il faut un - dans ma paramétrisation pour C3

Mise à part cette erreur vous confirmer que les deux paramétrisations sont équivalentes ou non ?

merci

EDIT :

en fait il faut préciser dans quel sens sont parcourues les courbes,

J'ai oublier de préciser qu'orienté la courbe faisait partie de l'exercice

[Bleyblue]

Oui, mais ça dépend de quel côté du plan tu regardes. Pour pouvoir parler de sens, il te faut un plan orienté.

En effet je n'y ai pas pensé, c'est pourtant évident

merci

[Bleyblue]

Sinon Herbiti au final moi j'ai :



ce qui donne bien pi/2 - 1/3

merci

[invite88ef51f0]

Vous avez le même résultat ? C'était juste le moins le problème ?

[invite3c81b085]

je que le -1/3 moi ... car la courbe deux s'annule aussi

[Bleyblue]

Eh bien non, lui il tombe sur -1/3 il me dit ...

merci

[Bleyblue]

je que le -1/3 moi ... car la courbe deux s'annule aussi

Mais non, pour quelles raisons ?

[invite3c81b085]

dérivée de la courbe 2:
V={-sin(t), 0, cos(t)}
Je remplace la courbe deux dans le champ vectoriel:
W={cos²(t), 0, cos(t)sin(t)}
Je fais le produit des deux vecteurs:
-sin(t)cos²(t)+0+cos²(t)sin(t)= 0
J'intégre ce bazard entre 0 et Pi/2, ce qui fait un beau 0

[Bleyblue]

dérivée de la courbe 2:

Depuis quand dérive t'on une courbe ?

Sinon eh bien je ne comprend pas pourquoi nos résultats diffèrent alors ...

[invite3c81b085]

Où est la faille?

[Bleyblue]

Je ne tombais pas sur le bon résultat à cause d'une erreur de calcul dans une de mes intégrales définies

Donc les deux paramétrisations sont équivalentes et le problème est réglé