Intégrale curviligne

[invite6db91fef]

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour calculer des intégrales curvilignes... En TD nous n'avons rien fait et le cours que j'ai est superflu :/

Du coup, je ne sais même pas par quoi commencer. Il s'agit d'intégrale curviligne (scalaire) simple :


le long du rectangle OABC avec O(0,0), A(0,2), B(3,2) et C(3,0) parcouru dans le sens trigonométrique.

Mes questions :
- Par où commencer ?
- Pourquoi il n'y a pas le signe puisque c'est un contour fermé ?
- Pourquoi il y a dx et dy alors qu'on intègre sur une ligne (ça a un rapport avec le fait que ce soit une courbe peut-être ?)
- Est-ce qu'il faudrait pas utiliser le th. de Green-Riemann ?
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[Bleyblue]

Salut,

Alors je vais essayer de répondre de mon mieux :

- Primo le petit rond sur l'intégrale on peut le mettre pour indiquer que tu intègres sur un chemin fermé mais ce n'est pas obligatoire (c'est plus une habitude de physicien, ils aiment bien ça )

- Ensuite, le théorème de green Rieman je ne le connais pas mais il me semble qu'il sert à ramener ton intégrale curviligne à des intégrales doubles, je pense qu'ici tu peux y arriver sans ça

Par où commencer ?

Tu dois commencer par déterminer une équation paramétrique de ta courbe (ton rectangle ici)
Une fois ça fait, le reste ça se ramène à un bête exercice technique
Donc ici comme ta courbe c'est un rectangle, il suffit de paramétriser les 4 segments de droite qui le constituent

[Bleyblue]

Pourquoi il y a dx et dy alors qu'on intègre sur une ligne (ça a un rapport avec le fait que ce soit une courbe peut-être ?)

Cela fait un petit temps que je n'ai plus revu ma théorie sur les intégrale curvilignes mais il me semble que la raison est la suivante :

Tu intègres un champ de vecteur (donc ici ton champ de vecteur ça serait ton application

Et tu cherche à calculer :



ds étant un vecteur de coordonée (dx,dy) et le . entre v et ds désigne le produit scalaire
Le produit scalaire des vecteurs A(a1,a2) et B(b1,b2) c'est bien a1.b1 + a2.b2

Il y a quelque trous dans ce que j'explique mais en gros je pense que c'est ça

[invite6db91fef]

Merci pour ta réponse!
C'est un peu plus clair mais j'avoue que je ne vois pas trop comment paramétriser. Peux-tu faire un exemple avec un segment ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Oui, en fait il faut le savoir :
Si tu as un segment qui passe par (x0,y0) et par (x1,y1)

Alors les éq. paramétriques de ton segment sont :

x = x0 + (x1 - x0)t
y = y0 + (y1 - y0)t avec 0 <= t <= 1

Tu paramétrises donc tes 4 segments et pour chaque segment tu calcules ton intégrale curviligne (tu as donc 4 intégrales) en la transformant en intégrale définie

Pour ce faire il suffit de remplacer x par sa valeur en fonction de t (c'est à dire x0 + (x1 - x0)t ) de même pour y (y0 + (y1 - y0)t)
dx tu le remplaces par la dérivée de x (c'est à dire (x1 - x0)) et de même pour dy ( (y1 - y0)) et tu intègres par rapport à t pour t variant de 0 à 1

Ca fait un peu recette de cuisine mais ça résulte en fait d'un théorème dont je ne me me souviens plus bien la

[invite6db91fef]

Merci beaucoup!

[invite7d3daefd]

Bonjour,
Je voudrais m'entraîner sur un exercice d'intégrales curvilignes car j'ai beaucoup de difficultés.
Voici l'exercice qui me pose le plus de problèmes :
Considérons la surface conique de révolution
C={ (x,y,z)ЄR3 : z²=x²=y², 0≤z≤H} où H>0 est donné.
a) Déterminer une représentation paramétrique de C et faire une esquisse de cette surface
b) Déterminer l’aire de C en utilisant la représentation paramétrique obtenue sous (a)
c) Déterminer le volume de l’entonnoir conique délimité par la surface C U D
Où D={(x,y,z)ЄR3 : x²+y²≤H², z=H} est le disque de rayon H centré au point C : (0,0,H)
d) Soit f le champ vectoriel dont les trois composantes sont données par f1(x,y,z)=x ; f2(x,y,z)=y ; f3(x,y,z)=z. A l’aide du théorème de la divergence de Gauss, déterminer le flux de f au travers de C U D.
Si quelqu'un a une idée, je suis preneuse.

[invited3a27037]

bonjour

il n'y a pas vraiment besoin de trouver une paramétrisation pour le rectangle

Sur les segments horizontaux, dy=0
Sur les segments verticaux, dx=0
et tu es ramené à 4 intégrales ordinaires

attention, mettre un signe - quand on se déplace de droite à gauche ou de haut en bas.